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第6节　抛物线
[课程标准要求]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、
离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
当定点F在直线l上时,平面内与定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=－2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=－2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 坐标 O(0,0)
对称抽 x轴 y轴
焦点 坐标 F(,0) F(－,0) F(0,) F(0,－)
离心率 e=1
准线 方程 x=－ x= y=－ y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
(1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点.
(2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离.
1.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线x2=y的准线方程为(　　)
[A] y=－ [B] x=－
[C] y= [D] x=
2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则 |PQ| 等于(　　)
[A] 9 [B] 8
[C] 7 [D] 6
3.(苏教版选择性必修第一册P117习题3.3(2) T5改编)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=8x [B] y2=4x
[C] y2=2x [D] y2=x
4.(人教A版选择性必修第一册P146复习参考题3 T12改编)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,若点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点,则|QF|=　　　　　.
考点一　抛物线的定义及应用
1.设圆C与圆x2+(y－3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　　)
[A] 抛物线 [B] 双曲线
[C] 椭圆 [D] 圆
2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(　　)
[A] 2 [B] 2 [C] 3 [D] 3
3.已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x－3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
4.(2025·山西晋中模拟)已知抛物线x2=2ay(a>2)的焦点为F,P为抛物线上一点,且满足|PF|=5,设直线PF的倾斜角为θ,若cos θ=,则点P的坐标为　　　　　　.
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
考点二　抛物线的标准方程
1.顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点为直线3x－4y－12=0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
[A] x2=－12y或y2=16x
[B] x2=12y或y2=－16x
[C] x2=9y或y2=12x
[D] x2=－9y或y2=－12x
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=x
[B] y2=9x
[C] y2=x
[D] y2=3x
3.(2025·天津模拟)过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点F作圆C:(x－2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,若△FMN为等边三角形,则p的值为　　　　.
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
考点三　抛物线的几何性质
[例题] (1)已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为　 .
涉及抛物线的点构成的具有对称性的几何图形时,要注意抛物线的对称性与数形结合思想的应用.
[针对训练] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且 PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
　　　　　　　.
(2)已知直线x=1与抛物线C:y2=2px(p>0)交于点M,与x轴交于点N,点A,B都在抛物线C上,且直线AB的斜率为2,点N到直线MA,MB的距离相等,则p的值为　　　　.
微点培优14　抛物线中的二级结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=－p2.
(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=,|BF|=,弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).
(3)+=.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积S△AOB==|AB|·d=|OF|·|y1－y2|(d为顶点到弦AB的距离).
(6)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
类型一　抛物线焦半径公式的应用
[典例1] (2025·湖南衡阳模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|=　.
抛物线的焦半径公式应用的策略
焦半径公式是抛物线定义的“化身”,利用焦半径公式,可以灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离(即焦半径的长)与抛物线上的点到准线的距离的等价转化.“看到焦点应该想到准线,看到准线应该想到焦点”,这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径,也是等价转化思想的充分体现.
[拓展演练1] (2025·广东深圳模拟)已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,则4|AF|+|BF|的最小值是　 .
类型二　抛物线与阿基米德三角形
[典例2] 已知抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点为F,直线x=2与x轴相交于点M,与曲线C相交于点N,且|MN|=|FN|.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A.求证:点A的纵坐标为定值.
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.对于阿基米德三角形,还有下面一些结论:
如图,已知Q是抛物线C:x2=2py(p>0)准线上任意一点,过点Q作抛物线的切线QA,QB分别与抛物线C切于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M(x0,y0)为弦AB的中点,则
(1)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(2)阿基米德三角形底边AB上的中线平行于坐标轴,即xQ=xM.
(3)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x0,y0),则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
(4)若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.若阿基米德三角形的底边过焦点,则其面积的最小值为p2.
(6)点Q的坐标为(,).
(7)底边AB所在的直线方程为(x1+x2)x－2py－x1x2=0.
(8)△QAB的面积为S△QAB=.
[拓展演练2] (多选题)(2025·福建南平模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A,B两点,M为弦AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2,l1,l2相交于点P,下面关于△PAB的描述正确的是(　　)
[A] 点P必在抛物线的准线上
[B] AP⊥PB
[C] △PAB的面积S的最小值为
[D] PF⊥AB
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
抛物线的定义、标准方程 1,3,4
抛物线的几何性质 2,7
抛物线的综合问题 5,6,8,9,10,12,13,14,15
抛物线中的二级结论 11
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知M为抛物线x2=2py(p>0)上一点,M到抛物线的焦点的距离为4,到x轴的距离为3,则p等于(　　)
[A] 　 [B] 1 [C] 2 [D] 4
2.(2025·福建厦门模拟)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个等边三角形的边长为(　　)
[A] 2 [B] 2
[C] 4 [D] 4
3.(2025·河南洛阳模拟)如果点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是(　　)
[A] x2=y
[B] x2=y或x2=－y
[C] x2=12y或x2=－36y
[D] x2=－y
4.(2025·四川成都模拟)设点A(2,3),动点P在抛物线C:y2=4x上,记P到直线x=－2的距离为d,则|AP|+d的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 3
[C] －1 [D] +1
5.(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　)
[A] p=4
[B] |MF|≥|OF|
[C] 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
[D] 当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
6.(多选题)(2025·广西南宁模拟)已知抛物线C1:y2=4x,C2:y2=8x的焦点分别为F1,F2,若A,B分别为C1,C2上的点,且直线AB平行于x轴,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若AF1⊥AB,则|AB|=
[B] 若|AB|=,△F2AB是等腰三角形
[C] 若BF1⊥BA,则四边形F1F2AB是矩形
[D] 四边形F1F2AB可能是菱形
7.(5分)(2025·湖北黄冈模拟)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A,B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点,若AF⊥OB,O为坐标原点,则点A的横坐标为　　　　　　.
8.(10分)已知过点M(,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且·=－3,其中O为坐标原点.
(1)求p的值;
(2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线l的方程.
9.(2025·四川宜宾模拟)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(,y0)(y0>)是C上一点.已知圆M与x轴相切,与线段MF相交于点A,=2,圆M被直线y=截得的弦长为|MA|,则C的准线方程为(　　)
[A] y=－ [B] y=－
[C] y=－1 [D] y=－2
10.(2025·天津模拟)已知过抛物线y2=3x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,=3,抛物线的准线与x轴交于点C,则△ABC的面积为(　　)
[A] [B] [C] [D]
11.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,在抛物线C上存在四个点P,M,Q,N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为F,且PQ⊥MN,则+等于(　　)
[A] [B] 1 [C] [D] 2
12.(5分)(2025·福建泉州模拟)若过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为m(m>0)的直线交C于点A(x1,y1)和B(x2,y2),交C的准线于点D(x3,y3),则mxiyi的最小值为　　　　　　　.
13.(12分)(2025·福建南平模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与圆O:x2+y2=1相切.
(1)求C的方程;
(2)点P(x0,y0)是C上的动点,且x0>1,过点P作圆O的两条切线分别与l交于A,B两点,求△PAB面积的最小值.
14.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作☉A:x2+(y－4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则(　　)
[A] l与☉A相切
[B] 当P,A,B三点共线时,|PQ|=
[C] 当|PB|=2时,PA⊥AB
[D] 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
15.(15分)(2025·河北保定模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点H(－4,y0)到坐标原点O的距离为4.过点P(0,2),且斜率为k(k>0)的直线l与C相交于A,B两点,分别过A,B两点作l的垂线,并与y轴相交于M,N两点.
(1)求C的方程;
(2)若|PN|=4|PM|,求k的值;
(3)若k∈[1,2],记△PAM,△PBN的面积分别为S1,S2,求S1+S2的取值范围.
第6节　抛物线（解析版）
[课程标准要求]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、
离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
当定点F在直线l上时,平面内与定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=－2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=－2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 坐标 O(0,0)
对称抽 x轴 y轴
焦点 坐标 F(,0) F(－,0) F(0,) F(0,－)
离心率 e=1
准线 方程 x=－ x= y=－ y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
(1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点.
(2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离.
1.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线x2=y的准线方程为(　　)
[A] y=－ [B] x=－
[C] y= [D] x=
【答案】 A
【解析】 由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为(0,),准线方程为y=－.
故选A.
2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则 |PQ| 等于(　　)
[A] 9 [B] 8
[C] 7 [D] 6
【答案】 B
【解析】 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=－1.根据题意可得,
|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
故选B.
3.(苏教版选择性必修第一册P117习题3.3(2) T5改编)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=8x [B] y2=4x
[C] y2=2x [D] y2=x
【答案】 B
【解析】 由题意可得|MF|=xM+,则3+=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.
故选B.
4.(人教A版选择性必修第一册P146复习参考题3 T12改编)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,若点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点,则|QF|=　　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意知F(1,0),设Q(x0,y0),A(4,0),其中x0≥0,
则|QA|===,由于点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点,所以x0=2.所以|QF|=x0+1=3.
考点一　抛物线的定义及应用
1.设圆C与圆x2+(y－3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　　)
[A] 抛物线 [B] 双曲线
[C] 椭圆 [D] 圆
【答案】 A
【解析】 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=－1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(　　)
[A] 2 [B] 2 [C] 3 [D] 3
【答案】 B
【解析】 法一　如图,由题意可知F(1,0),设A(,y0),则由抛物线的定义可知|AF|=+1.因为|BF|=3－1=2,所以由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,－2).不妨取A(1,2),则 |AB|===2.故选B.
法二　由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2.因为抛物线的通径长为2p=4,所以AF的长为通径长的一半,所以AF⊥x轴,所以|AB|===2.故选B.
3.已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x－3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 D
【解析】 由抛物线y2=8x知,焦点F(2,0),准线为l1:x=－2,根据题意作图如图所示.点P到直线l:4x－3y+12=0的距离为|PA|,到准线l1:x=－2的距离为|PB|,由抛物线的定义知|PB|=|PF|,所以点P到直线l:4x－3y+12=0和准线l1:x=－2的距离之和为|PF|+|PA|,且点F(2,0)到直线l:4x－3y+12=0的距离为d==4,所以d1+d2的最小值为4.故选D.
4.(2025·山西晋中模拟)已知抛物线x2=2ay(a>2)的焦点为F,P为抛物线上一点,且满足|PF|=5,设直线PF的倾斜角为θ,若cos θ=,则点P的坐标为　　　　　　.
【答案】 (－4,1)
【解析】 由题可知F(0,),
准线为l:y=－,如图,过P作PG⊥l交l于点G,则|PG|=|PF|=5,
过F作FE⊥PG交PG或GP的延长线于点E,
则|EG|=2|OF|=a,∠PFE=θ,|PE|=5－a或|PE|=a－5,又由cos θ=以及倾斜角范围θ∈[0,π)得sin θ==,所以有== a=2或== a=8,又a>2,故a=8,此时x2=2ay=16y,yP=5－=1,将yP=1代入x2=16y得xP=4(舍去)或xP=－4,故P(－4,1).
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
考点二　抛物线的标准方程
1.顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点为直线3x－4y－12=0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
[A] x2=－12y或y2=16x
[B] x2=12y或y2=－16x
[C] x2=9y或y2=12x
[D] x2=－9y或y2=－12x
【答案】 A
【解析】 当焦点为(0,－3)时,设抛物线方程为x2=－2py(p>0),则=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=－12y;当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则=4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.故所求抛物线的标准方程为x2=－12y或y2=16x.故选A.
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=x
[B] y2=9x
[C] y2=x
[D] y2=3x
【答案】 D
【解析】 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,准线与x轴交于点G.
设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得|BD|=a,
故∠BCD=30°,
所以在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|,
因为|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,
所以3+3a=6,解得a=1,
所以|FC|=3,|FG|=|FC|=,
所以p=,
因此抛物线的方程为y2=3x.
故选D.
3.(2025·天津模拟)过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点F作圆C:(x－2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,若△FMN为等边三角形,则p的值为　　　　.
【答案】 4
【解析】 如图,过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点F作圆C:(x－2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,又△FMN为等边三角形,则在直角三角形MCF中,∠CMF=,∠MFC=,
又C(2,0),F(－,0),|CM|=2,|CF|=2+,则sin∠MFC=,即=,则p=4.
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
考点三　抛物线的几何性质
[例题] (1)已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为　 .
【答案】 (1)D　(2)y2=4x或y2=16x
【解析】 (1)因为四边形ABCD是矩形,所以由抛物线与圆的对称性知,弦AB为抛物线y2=2px(p>0)的通径,因为圆的半径为1,抛物线的通径为2p,所以有()2+p2=1,解得p=.
故选D.
(2)根据题意作出满足题意的几何图形如图所示.
其中F(,0),直线QE为抛物线的准线,且准线方程为 x=－,PQ⊥QE,A(0,2).设P(x0,y0)(y0>0),
则 Q(－,y0),|PQ|=x0+.
在△QEF中,O为EF的中点,则A为QF的中点,
即|QE|=4,y0=4.
因为△PQF的面积为10,
所以(x0+)×4=10,即x0=5－.
因为=2px0,所以42=2p(5－),
即p2－10p+16=0.所以p=2或p=8.
所以该抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
涉及抛物线的点构成的具有对称性的几何图形时,要注意抛物线的对称性与数形结合思想的应用.
[针对训练] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且 PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
　　　　　　　.
(2)已知直线x=1与抛物线C:y2=2px(p>0)交于点M,与x轴交于点N,点A,B都在抛物线C上,且直线AB的斜率为2,点N到直线MA,MB的距离相等,则p的值为　　　　.
【答案】 (1)x=－　(2)8
【解析】 (1)由题意得|OF|=,|PF|=p,
∠OPF=∠PQF,
所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以=,即=,解得p=3,
所以C的准线方程为x=－.
(2)设M(,y0),A(,y1),B(,y2),
且|y0|≠|y1|≠|y2|,
则kMA==,
同理可得kMB=,
kAB=.
因为点N到直线MA,MB的距离相等,
所以kMA+kMB=0,
即+=0,
整理得y1+y2=－2y0,
所以kAB===2,y0=－,
故==1,
所以p=8.
微点培优14　抛物线中的二级结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=－p2.
(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=,|BF|=,弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).
(3)+=.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积S△AOB==|AB|·d=|OF|·|y1－y2|(d为顶点到弦AB的距离).
(6)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
类型一　抛物线焦半径公式的应用
[典例1] (2025·湖南衡阳模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|=　.
【答案】
【解析】 作抛物线的准线x=－,记准线与x轴的交点为T,过A,B作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过A,B作x轴的垂线,垂足分别为H,M,如图所示,设∠AFH=θ,在△AFH中,由二级结论知|AF|=;在△BFM中,由二级结论知,|BF|=;由题可知θ=60°,=4,解得p=2,
则|BF|==.
抛物线的焦半径公式应用的策略
焦半径公式是抛物线定义的“化身”,利用焦半径公式,可以灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离(即焦半径的长)与抛物线上的点到准线的距离的等价转化.“看到焦点应该想到准线,看到准线应该想到焦点”,这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径,也是等价转化思想的充分体现.
[拓展演练1] (2025·广东深圳模拟)已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,则4|AF|+|BF|的最小值是　 .
【答案】
【解析】 由二级结论知+==2,
故4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)(+)=++≥+2=,当且仅当|BF|=2|AF|=时,等号成立.
类型二　抛物线与阿基米德三角形
[典例2] 已知抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点为F,直线x=2与x轴相交于点M,与曲线C相交于点N,且|MN|=|FN|.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A.求证:点A的纵坐标为定值.
(1)【解】 由已知得抛物线C:x2=y(a>0)的焦点为 F(0,),由|MN|=|FN|,得|FN|=|MN|=|MN|+,即|MN|=,又点N(2,4a),所以=4a(a>0),即a=,
所以抛物线的方程为x2=2y.
(2)【证明】 因为抛物线x2=2y的焦点为F(0,),
所以设过抛物线x2=2y的焦点的直线为y=kx+.
设直线与抛物线的交点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得x2－2kx－1=0,得 x1x2=－1.
抛物线x2=2y,即二次函数y=x2,对其求导得y′=x,所以抛物线在点P处的切线斜率为k1=x1,可得切线方程为y－y1=x1(x－x1),化简得y=x1x－.
同理,得到抛物线在点Q处的切线方程为y=x2x－,两方程消去x,得两切线交点A纵坐标满足 yA=,因为x1x2=－1,所以yA=－,即点A的纵坐标是定值－.
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.对于阿基米德三角形,还有下面一些结论:
如图,已知Q是抛物线C:x2=2py(p>0)准线上任意一点,过点Q作抛物线的切线QA,QB分别与抛物线C切于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M(x0,y0)为弦AB的中点,则
(1)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(2)阿基米德三角形底边AB上的中线平行于坐标轴,即xQ=xM.
(3)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x0,y0),则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
(4)若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.若阿基米德三角形的底边过焦点,则其面积的最小值为p2.
(6)点Q的坐标为(,).
(7)底边AB所在的直线方程为(x1+x2)x－2py－x1x2=0.
(8)△QAB的面积为S△QAB=.
[拓展演练2] (多选题)(2025·福建南平模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A,B两点,M为弦AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2,l1,l2相交于点P,下面关于△PAB的描述正确的是(　　)
[A] 点P必在抛物线的准线上
[B] AP⊥PB
[C] △PAB的面积S的最小值为
[D] PF⊥AB
【答案】 ABD
【解析】 因为弦AB过焦点F,
所以由二级结论知点P在抛物线的准线上,且AP⊥PB,A正确,B正确;底边AB过焦点,则△PAB面积的最小值为p2,C错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:x=my+,与抛物线方程联立消x得y2－2pmy－p2=0,
则y1y2=－p2,y1+y2=2pm,
则P(－,pm),
当m=0时,AB与x轴垂直,P为准线与x轴的交点,PF⊥AB,当m≠0时,AB的斜率k1=,PF的斜率k2==－=－m,k1k2=－1,则PF⊥AB.综上PF⊥AB,D正确.故选ABD.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
抛物线的定义、标准方程 1,3,4
抛物线的几何性质 2,7
抛物线的综合问题 5,6,8,9,10,12,13,14,15
抛物线中的二级结论 11
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知M为抛物线x2=2py(p>0)上一点,M到抛物线的焦点的距离为4,到x轴的距离为3,则p等于(　　)
[A] 　 [B] 1 [C] 2 [D] 4
【答案】 C
【解析】 由题意可知点M的纵坐标为3,抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=－,由抛物线的定义可得3+=4,解得p=2.
故选C.
2.(2025·福建厦门模拟)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个等边三角形的边长为(　　)
[A] 2 [B] 2
[C] 4 [D] 4
【答案】 D
【解析】 设正三角形的边长为2a,由图可知,正三角形的另外两个顶点关于x轴对称,可设另外两个顶点坐标分别是A(a,a),B(a,－a),把顶点坐标代入抛物线方程得a2=2a,解得a=2,所以正三角形的边长为4.故选D.
3.(2025·河南洛阳模拟)如果点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是(　　)
[A] x2=y
[B] x2=y或x2=－y
[C] x2=12y或x2=－36y
[D] x2=－y
【答案】 C
【解析】 当a>0时,抛物线开口向上,准线方程为y=－,
点M(5,3)到准线的距离为3+=6,解得a=12,
所以抛物线方程为x2=12y;
当a<0时,抛物线开口向下,准线方程为y=－,
点M(5,3)到准线的距离为|3+|=6,解得a=－36或a=12(舍去),
所以抛物线方程为x2=－36y.
所以抛物线的方程为x2=12y或x2=－36y.
故选C.
4.(2025·四川成都模拟)设点A(2,3),动点P在抛物线C:y2=4x上,记P到直线x=－2的距离为d,则|AP|+d的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 3
[C] －1 [D] +1
【答案】 D
【解析】 连接AF,由题意可得,抛物线C的焦点F(1,0),准线方程为x=－1,由抛物线的定义可得
d=|PF|+1,
所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1,因为|AP|+|PF|≥|AF|==,所以|AP|+d=
|AP|+|PF|+1≥+1,当且仅当P在线段AF之间时取等号,所以|AP|+d的最小值为+1.故选D.
5.(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　)
[A] p=4
[B] |MF|≥|OF|
[C] 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
[D] 当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
【答案】 ABC
【解析】 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,得p=4,A正确;设M(x0,y0),M在抛物线C:y2=8x上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+≥=|OF|,B正确;由抛物线的定义知M到焦点F的距离和M到准线的距离相等,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;
D选项法一:当∠OFM=120°时,x0>2,=tan 60°=,且=8x0,y0>0,所以－8y0－16=0,解得y0=4或y0=－(舍去),所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|·|y0|=×2×4=
4,D错误.
D选项法二:当∠OFM=120°时,△OFM的面积为S△OFM=|OF|·|MF|·sin∠OFM=×2×
×sin 120°=×2××=4,D错误.故选ABC.
6.(多选题)(2025·广西南宁模拟)已知抛物线C1:y2=4x,C2:y2=8x的焦点分别为F1,F2,若A,B分别为C1,C2上的点,且直线AB平行于x轴,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若AF1⊥AB,则|AB|=
[B] 若|AB|=,△F2AB是等腰三角形
[C] 若BF1⊥BA,则四边形F1F2AB是矩形
[D] 四边形F1F2AB可能是菱形
【答案】 ABC
【解析】 由题意得F1(1,0),F2(2,0),
不妨设A(x1,y),B(x2,y)(y>0),
则y2=4x1=8x2,x1>x2>0,
对于A,因为AF1⊥AB,又直线AB平行于x轴,
所以AF1⊥x轴,所以x1=1,
故y==2,x2==,
如图,故|AB|=|x1－x2|=,故A正确;
对于B,若|AB|=,则x1－x2=,
所以=,
解得y=,所以A(,),B(,),
所以|F2A|==,
|F2B|==,
所以|F2A|=|F2B|,|F2A|+|AB|>|F2B|,所以△F2AB是等腰三角形,故B正确;
对于C,若BF1⊥BA,又直线AB平行于x轴,
所以BF1⊥x轴,所以x2=1,故y==2,x1==2,
故|AB|=|x1－x2|=1=|F1F2|,AF2⊥x轴,所以四边形F1F2AB是矩形,故C正确;
对于D,若四边形F1F2AB是菱形,则|AB|=|F1F2|=1,即x1－x2=1,即=1,
所以y=2,所以A(2,2),B(1,2),
所以可得|F2A|=|F1B|=2≠|AB|,则四边形F1F2AB不是菱形,矛盾,所以四边形F1F2AB不可能是菱形,故D错误.故选ABC.
7.(5分)(2025·湖北黄冈模拟)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A,B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点,若AF⊥OB,O为坐标原点,则点A的横坐标为　　　　　　.
【答案】
【解析】 因为抛物线C:y2=x的焦点为F,则F(,0),又因为A,B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点,设A(y2,y),B(y2,－y),因为AF⊥OB,则=(－y2,－y),=(y2,－y),所以·=(－y2,－y)·(y2,－y)=y2－y4=0,解得y2=0(舍去)或y2=.即点A的横坐标为.
8.(10分)已知过点M(,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且·=－3,其中O为坐标原点.
(1)求p的值;
(2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线l的方程.
【解】 (1)设直线l的方程为x=my+,
联立得y2－2pmy－p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=2pm,
y1y2=－p2,
因为 ·=－3,所以x1x2+y1y2=－3.
又x1x2=·=,所以－p2=－3.又因为p>0,所以p=2.
(2)根据抛物线的定义,得|AM|=x1+=x1+1,|BM|=x2+=x2+1,
所以|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2+5=9,当且仅当x1=4x2时,等号成立.
将x1=4x2代入x1x2==1,得x2=(负值舍去).
将x2=代入y2=4x,得y2=±,即点B(,±),将点B代入x=my+1,得m=±,
所以直线l的方程为x=±y+1,
即4x±y－4=0.
9.(2025·四川宜宾模拟)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(,y0)(y0>)是C上一点.已知圆M与x轴相切,与线段MF相交于点A,=2,圆M被直线y=截得的弦长为|MA|,则C的准线方程为(　　)
[A] y=－ [B] y=－
[C] y=－1 [D] y=－2
【答案】 B
【解析】 由已知,
点M(,y0)在抛物线上,则6=2py0,即py0=3①.如图所示,过M作直线y=的垂线,D为垂足,设圆M与直线y=相交于点E,易知,|DM|=y0－,由=2,可知|MA|=2|AF|=|MF|=(y0+).因为圆M被直线y=截得的弦长为|MA|,所以|DE|=|MA|=(y0+).由|MA|=|ME|,在Rt△MDE中,(y0+)2+(y0－)2=(y0+)2 y0=p(y0=舍去)②.由①②解得p=,抛物线C的准线方程为y=－=－.故选B.
10.(2025·天津模拟)已知过抛物线y2=3x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,=3,抛物线的准线与x轴交于点C,则△ABC的面积为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 如图,设抛物线的准线为l,过A作AM⊥l于点M,过B作BN⊥l于点N,过B作BK⊥AM于点K,设|BF|=m,
因为=3,
所以|AF|=3m,
所以|AB|=4m,
所以|AK|=|AM|－|BN|=|AF|－|BF|=2m,在Rt△AKB中,cos∠BAK===,所以∠BAK=60°,因为AM∥CF,所以∠OFB=60°,又|BF|=m,所以|FD|=m,又由y2=3x,可得|CF|=,
所以|CF|=|BN|+|DF|=|BF|+|DF|==,所以m=,所以|BK|=|AB|sin 60°=2,
所以S△ABC=S△AFC+S△BFC=|CF|·|BK|=××2=.故选B.
11.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,在抛物线C上存在四个点P,M,Q,N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为F,且PQ⊥MN,则+等于(　　)
[A] [B] 1 [C] [D] 2
【答案】 B
【解析】 由抛物线C:y2=x得2p=1,则p=,F(,0),不妨设PQ的倾斜角为θ(0<θ<),则由|PF|cos θ+p=|PF|,p－|QF|cos θ=|QF|得|PF|=,|QF|=,
同理|MF|==,|NF|==,得|PQ|=|PF|+|QF|=+=
,|MN|=+=,所以+==1.故选B.
12.(5分)(2025·福建泉州模拟)若过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为m(m>0)的直线交C于点A(x1,y1)和B(x2,y2),交C的准线于点D(x3,y3),则mxiyi的最小值为　　　　　　　.
【答案】 12+8
【解析】 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=－1,直线AB的方程为y=
m(x－1),由消去x得my2－4y－4m=0,显然Δ>0,y1+y2=,y1y2=－4,而x3=
－1,y3=－2m,因此mxiyi=m(++2m)=[(y1+y2)3－3y1y2(y1+y2)+8m]=(++8m)=
+2m2+12≥12+2=12+8,当且仅当=2m2,即m2=2时,等号成立,所以mxiyi的最小值为12+8.
13.(12分)(2025·福建南平模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与圆O:x2+y2=1相切.
(1)求C的方程;
(2)点P(x0,y0)是C上的动点,且x0>1,过点P作圆O的两条切线分别与l交于A,B两点,求△PAB面积的最小值.
【解】 (1)因为准线l与圆O:x2+y2=1相切,所以=1,即p=2,所以C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知准线l的方程为x=－1,因为x0>1,所以直线PA,PB的斜率均存在,设直线PA的方程为y－y0=k1(x－x0),当x=－1时,yA=k1(－1－x0)+y0,设直线PB的方程为y－y0=k2(x－x0),当x=－1时,yB=k2(－1－x0)+y0,由题意得S△PAB=|yA－yB|·(x0+1)=|k1－k2|·(x0+1)2=(x0+1)2·
(x0>1),设过点P(x0,y0)的圆O的切线方程为y－y0=k(x－x0),
则=1,化简得(－1)k2－2x0y0k+－1=0,Δ=4(+－1)=4(+4x0－1)=
4[(x0+2)2－5]>0(x0>1),则k1+k2=,k1k2=,
所以S△PAB=(x0+1)2·=·,又=4x0,
所以S△PAB=,
令x0－1=t(t>0),
则S△PAB==,因为t+≥2=4,
所以S△PAB≥=4,当且仅当t=,即t=2时,等号成立,此时x0=3,故△PAB面积的最小值为4.
14.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作☉A:x2+(y－4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则(　　)
[A] l与☉A相切
[B] 当P,A,B三点共线时,|PQ|=
[C] 当|PB|=2时,PA⊥AB
[D] 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
【答案】 ABD
【解析】 对于A,抛物线y2=4x的准线方程为x=－1,☉A的圆心(0,4)到直线x=－1的距离显然是1,等于☉A的半径,
故准线l和☉A相切,故A正确.
对于B,当P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,
由=4xP,得xP=4,故P(4,4),
此时切线长|PQ|===,故B正确.
对于C,当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,－2),
当P(1,2)时,A(0,4),B(－1,2),kPA==－2,kAB==2,
不满足kPAkAB=－1;
当P(1,－2)时,A(0,4),B(－1,－2),kPA==－6,kAB==6,
不满足kPAkAB=－1;
于是PA⊥AB不成立,故C错误.
对于D,
法一(利用抛物线定义转化)
根据抛物线的定义,|PB|=|PF|,
于是|PA|=|PB|时点P的存在性问题转化成 |PA|=|PF|时点P的存在性问题,
A(0,4),F(1,0),AF的中点坐标为(,2),AF中垂线的斜率为－=,
于是AF的中垂线方程为y=,与抛物线y2=4x联立可得y2－16y+30=0,
Δ=162－4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,
即存在两个点P,使得|PA|=|PB|,故D正确.故选ABD.
法二(设点直接求解)
设P(,t),
由PB⊥l可得B(－1,t),
又A(0,4),|PA|=|PB|,
根据两点间的距离公式,=+1,整理得t2－16t+30=0,
Δ=162－4×30=136>0,则关于t的方程t2－16t+30=0有两个解,
即存在两个点P,使得|PA|=|PB|,D选项正确.故选ABD.
15.(15分)(2025·河北保定模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点H(－4,y0)到坐标原点O的距离为4.过点P(0,2),且斜率为k(k>0)的直线l与C相交于A,B两点,分别过A,B两点作l的垂线,并与y轴相交于M,N两点.
(1)求C的方程;
(2)若|PN|=4|PM|,求k的值;
(3)若k∈[1,2],记△PAM,△PBN的面积分别为S1,S2,求S1+S2的取值范围.
【解】 (1)由抛物线C:x2=2py上一点H(－4,y0)到坐标原点O的距离为4,可得
解得y0=4,p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)由题意,直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组消去y整
理得x2－4kx－8=0,则Δ=(－4k)2+4×8>0,所以x1+x2=4k,x1x2=－8,因为MA⊥l,NB⊥l,所以MA∥NB,所以△APM∽△BPN,又因为|PN|=4|PM|,所以|PB|=4|PA|,则x2=－4x1,因为k>0,所以则k==.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的对称性,不妨令y1<2－(x－x2),令x=0,得N(0,+y2),同理可得M(0,+y1),则S1=(2－－y1)·(－x1),S2=(+
y2－2)x2,且x1+x2=4k,x1x2=－8,故S1+S2=－(x1+x2)+(+)+(x1y1+x2y2)=－(x1+x2)+
(+)+(+)=－(x1+x2)+[(x1+x2)2－2x1x2]+(x1+x2)[(x1+x2)2－3x1x2]=－4k+
(16k2+16)+(16k2+24)=8k3+16k+,令f(k)=8k3+16k+(1≤k≤2),则f′(k)=24k2+16－,显然f′(k)>0在[1,2]上恒成立,所以f(k)在[1,2]上单调递增,由f(1)=32,f(2)=100,可得S1+S2的取值范围为[32,100].
(
第
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第6节　抛物线
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
[课程标准要求]
知识梳理
1.抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
相等
当定点F在直线l上时,平面内与定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线.
释疑
知识梳理
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=－2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=－2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标 O(0,0)
知识梳理
(1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点.
(2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离.
释疑
对点自测
A
对点自测
对点自测
2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则 |PQ| 等于(　　)
[A] 9 [B] 8
[C] 7 [D] 6
B
【解析】 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=－1.根据题意可得,
|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
故选B.
对点自测
3.(苏教版选择性必修第一册P117习题3.3(2) T5改编)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=8x [B] y2=4x
[C] y2=2x [D] y2=x
B
对点自测
4.(人教A版选择性必修第一册P146复习参考题3 T12改编)已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,若点Q是抛物线C上到点(4,0)距离最近的点,则|QF|=　　.
3
考点一　抛物线的定义及应用
1.设圆C与圆x2+(y－3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　　)
[A] 抛物线 [B] 双曲线
[C] 椭圆 [D] 圆
【解析】 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=－1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
A
2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=
|BF|,则|AB|等于(　　)
B
3.已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x－3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
D
(－4,1)
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
题后悟通
考点二　抛物线的标准方程
1.顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点为直线3x－4y－12=0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
[A] x2=－12y或y2=16x
[B] x2=12y或y2=－16x
[C] x2=9y或y2=12x
[D] x2=－9y或y2=－12x
A
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(　　)
D
【解析】 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,准线与x轴交于点G.
设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得|BD|=a,
故∠BCD=30°,
所以在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|,
因为|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,所以3+3a=6,解得a=1,
3.(2025·天津模拟)过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点F作圆C:(x－2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,若△FMN为等边三角形,则p的值为　　　　.
4
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
题后悟通
考点三　抛物线的几何性质
[例题] (1)已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于(　　)
D
(2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2),且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为　 .
y2=4x或y2=16x
涉及抛物线的点构成的具有对称性的几何图形时,要注意抛物线的对称性与数形结合思想的应用.
解题策略
[针对训练] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且 PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　 　　.
(2)已知直线x=1与抛物线C:y2=2px(p>0)交于点M,与x轴交于点N,点A,B都在抛物线C上,且直线AB的斜率为2,点N到直线MA,MB的距离相等,则p的值为
　　　　.
8
微点培优14　抛物线中的二级结论
知识链接
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(6)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
题型演绎
类型一　抛物线焦半径公式的应用
[典例1] (2025·湖南衡阳模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),
|AF|=4,则|BF|=　 .
反思归纳
抛物线的焦半径公式应用的策略
焦半径公式是抛物线定义的“化身”,利用焦半径公式,可以灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离(即焦半径的长)与抛物线上的点到准线的距离的等价转化.“看到焦点应该想到准线,看到准线应该想到焦点”,这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径,也是等价转化思想的充分体现.
[拓展演练1] (2025·广东深圳模拟)已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,则4|AF|+|BF|的最小值是　 .
类型二　抛物线与阿基米德三角形
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A.求证:点A的纵坐标为定值.
反思归纳
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.对于阿基米德三角形,还有下面一些结论:
如图,已知Q是抛物线C:x2=2py(p>0)准线上任意一点,过点Q作抛物线的切线QA,QB分别与抛物线C切于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M(x0,y0)为弦AB的中点,则
反思归纳
(1)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(2)阿基米德三角形底边AB上的中线平行于坐标轴,即xQ=xM.
(3)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x0,y0),则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
(4)若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
反思归纳
[拓展演练2] (多选题)(2025·福建南平模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A,B两点,M为弦AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2,l1,l2相交于点P,下面关于△PAB的描述正确的是(　 　)
[A] 点P必在抛物线的准线上
[B] AP⊥PB
[D] PF⊥AB
ABD
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
抛物线的定义、标准方程 1,3,4
抛物线的几何性质 2,7
抛物线的综合问题 5,6,8,9,10,12,13,14,15
抛物线中的二级结论 11
基础巩固练
C
1.已知M为抛物线x2=2py(p>0)上一点,M到抛物线的焦点的距离为4,到x轴的距离为3,则p等于(　　)
D
2.(2025·福建厦门模拟)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个等边三角形的边长为(　　)
C
3.(2025·河南洛阳模拟)如果点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是(　　)
D
4.(2025·四川成都模拟)设点A(2,3),动点P在抛物线C:y2=4x上,记P到直线
x=－2的距离为d,则|AP|+d的最小值为(　　)
5.(多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　 )
[A] p=4
[B] |MF|≥|OF|
[C] 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
ABC
6.(多选题)(2025·广西南宁模拟)已知抛物线C1:y2=4x,C2:y2=8x的焦点分别为F1,F2,若A,B分别为C1,C2上的点,且直线AB平行于x轴,则下列说法正确的是(　 　)
ABC
【解析】 由题意得F1(1,0),F2(2,0),
不妨设A(x1,y),B(x2,y)(y>0),
则y2=4x1=8x2,x1>x2>0,
对于A,因为AF1⊥AB,又直线AB平行于x轴,
所以AF1⊥x轴,所以x1=1,
7.(5分)(2025·湖北黄冈模拟)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A,B是抛物线C上关于其对称轴对称的两点,若AF⊥OB,O为坐标原点,则点A的横坐标为
　　　　　　.
(1)求p的值;
(2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线l的方程.
综合运用练
B
B
B
13.(12分)(2025·福建南平模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与圆O:
x2+y2=1相切.
(1)求C的方程;
13.(12分)(2025·福建南平模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与圆O:
x2+y2=1相切.
(2)点P(x0,y0)是C上的动点,且x0>1,过点P作圆O的两条切线分别与l交于A,B两点,求△PAB面积的最小值.
应用创新练
14.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作☉A:x2+(y－4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则
(　 　)
[A] l与☉A相切
[C] 当|PB|=2时,PA⊥AB
[D] 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
ABD
【解析】 对于A,抛物线y2=4x的准线方程为x=－1,☉A的圆心(0,4)到直线
x=－1的距离显然是1,等于☉A的半径,
故准线l和☉A相切,故A正确.
对于B,当P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,
对于D,
法一(利用抛物线定义转化)
根据抛物线的定义,|PB|=|PF|,
于是|PA|=|PB|时点P的存在性问题转化成 |PA|=|PF|时点P的存在性问题,
(1)求C的方程;
(2)若|PN|=4|PM|,求k的值;
(3)若k∈[1,2],记△PAM,△PBN的面积分别为S1,S2,求S1+S2的取值范围.

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