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第7节　直线与圆锥曲线的位置关系
[课程标准要求]
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与椭圆的位置关系
联立得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0,该一元二次方程的判别式为Δ.
Δ>0 直线与椭圆相交 有两个交点;
Δ=0 直线与椭圆相切 有一个交点;
Δ<0 直线与椭圆相离 无交点.
2.直线与双曲线的位置关系
联立得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2=0.(*)
(1)若直线与渐近线平行, 则直线与双曲线相交,且只有一个交点.
(2)若直线与渐近线重合,则直线与双曲线相离即没有交点.
(3)若直线与渐近线相交, (*)式为一元二次方程,其判别式为Δ,
①Δ>0 直线与双曲线相交,有两个交点;
②Δ=0 直线与双曲线相切,有一个交点;
③Δ<0 直线与双曲线相离,无交点.
3.直线与抛物线的位置关系
联立得ky2－2py+2pm=0.
若k=0,则直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点;
若k≠0, 该一元二次方程的判别式为Δ,
①Δ>0 直线与抛物线相交,有两个交点;
②Δ=0 直线与抛物线相切,有一个交点;
③Δ<0 直线与抛物线相离,无交点.
4.弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=·|x1－x2|=·,或 |AB|=·|y1－y2|=
·.
1.过椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.
2.过双曲线=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为=1.
3.过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).
1.(人教B版选择性必修第一册P168例2改编)已知直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是(　　)
[A] [B] － [C] ± [D] ±
2.已知直线l:y=x－1与抛物线y2=8x交于A,B两点,则线段AB的长是(　　)
[A] 2 [B] 4 [C] 8 [D] 16
3.(人教B版选择性必修第一册P168例1改编)双曲线=1与直线y=－x+m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
[A] 0 [B] 1
[C] 0或1 [D] 0或1或2
4.(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y=kx－k+1与椭圆+=1的位置关系是　　　　.
5.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=4x的焦点作直线l,l交C于M,N两点,若线段MN中点的纵坐标为2,则|MN|=　　　　.
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
1.已知直线x=1过椭圆+=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是(　　)
[A] k∈[－,]
[B] k∈(－∞,－]∪[,+∞)
[C] k∈[－,]
[D] k∈(－∞,－]∪[,+∞)
2.已知抛物线y2=4x在点(2,2)处的切线与双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,则C的离心率为　　　　.
3.已知双曲线－y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.
4.已知点P是椭圆x2+8y2=8上的任一点,则点P到直线x－y+4=0的最小距离为　　　　.
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有一元二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.
考点二　与弦有关的问题
角度1　弦长问题
[例1] (2025·湖南娄底模拟)过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,且弦|AB|=3,则直线AB的方程为　 .
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线,任何两点的弦长都可以用弦长公式求.
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论斜率是否存在.
角度2　中点弦问题
[例2] (2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2－=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
[A] (1,1) [B] (－1,2)
[C] (1,3) [D] (－1,－4)
处理弦长及中点弦问题常用的求解方法
易错警示:涉及双曲线的中点弦问题,要注意检验所求直线方程与双曲线是否有交点.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·甘肃兰州模拟)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线l交抛物线于A,B两点,已知|AB|=18,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(11,0),则p等于(　　)
[A] 2 [B] 4
[C] 6 [D] 8
2.(角度2)(2025·河南许昌模拟)已知过椭圆C:+=1(a>b>0)左焦点F且与长轴垂直的弦长为3,过点P(2,1)且斜率为－1的直线与C相交于A,B两点,若P恰好是AB的中点,则椭圆的标准方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
考点三　圆锥曲线的垂直平分弦问题
[例3] (2025·湖北宜昌模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点T(,).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若斜率不为0的直线l与椭圆E交于点A,B,过点P的直线垂直平分线段AB,且交AB于点M,|AM|=2|PM|,求直线l的方程.
涉及弦的垂直平分问题
首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴.这种问题需要用到弦AB的垂直平分线l的方程,往往是利用点差或者根与系数的关系产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线l的斜率的积为－1(直线AB的斜率存在且不为0),写出弦的垂直平分线l的方程,然后解决相关问题,比如:求l在x轴、y轴上的截距的取值范围,求l过某定点等等.有时题目的条件比较隐蔽要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上),曲线上存在两点A,B关于直线m对称等等.
[针对训练] 已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,若直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,过点A作直线 y=－4的垂线,垂足为点M,点N在y轴上,线段AF,MN互相垂直平分,则|AB|=　　　　　　.
微点培优15　椭圆中的蒙日圆
蒙日圆定义及其证明
椭圆Γ:+=1(a>b>0)两条互相垂直的切线PA,PB的交点P在圆x2+y2=a2+b2上,这个圆就是椭圆的蒙日圆.
如图所示,①当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在,且不为0时,可设P(x0,y0)
(x0≠±a,且y0≠±b),过P的椭圆的切线方程为 y－y0=k(x－x0)(k≠0),由得(a2k2+b2)x2－2ka2(kx0－y0)x+a2(kx0－y0)2－a2b2=0,
由其判别式值为0,得(－a2)k2－2x0y0k+－b2=0(－a2≠0),
因为kPA,kPB是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以kPA·kPB=.
由已知PA⊥PB,所以kPA·kPB=－1,所以 =－1,所以+=a2+b2,所以点P的坐标满足方程x2+y2=a2+b2.
②当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有一条斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为(±a,b)或(±a,－b),此时点P也在圆x2+y2=a2+b2上.
综上所述,椭圆+=1(a>b>0)两条互相垂直的切线PA,PB的交点P的轨迹方程是蒙日圆:x2+y2=a2+b2.
类型一　蒙日圆的方程
[典例1] (2025·陕西咸阳模拟)已知椭圆M的方程为+y2=1,过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线,则点P的轨迹方程为(　　)
[A] x2+y2=5 [B] x2+y2=4
[C] x2+y2=3 [D] x2+y2=
求“蒙日圆”方程的策略
(1)设点P的坐标及切线方程,与椭圆方程联立,将判别式为零转化为切线斜率的同解方程,化简即可,再验证切线斜率不存在或为0的情况是否符合即可.
(2)椭圆+=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2+b2.双曲线=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2－b2.
[拓展演练1] (2025·江苏泰州模拟)若椭圆C:+=1(m>0,m≠4)的离心率为,则椭圆C的“蒙日圆”方程为(　　)
[A] x2+y2=5或x2+y2=7
[B] x2+y2=7或x2+y2=20
[C] x2+y2=5或x2+y2=20
[D] x2+y2=7或x2+y2=28
类型二　蒙日圆的性质
[典例2] (2025·广东中山模拟)法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆,我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景,设M为椭圆C:x2+=1的一个外切长方形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切),若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2,则M的面积为(　　)
[A] 13 [B] 26
[C] [D]
“蒙日圆”的性质及应用
过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线PA,PB,A,B为切点,则 PA⊥PB.延长PA,PB,交圆x2+y2=a2+b2于C,D,则CD为该圆的直径,且|CD|=2.
[拓展演练2] (1)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+=1
(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,现有椭圆C:+=1的蒙日圆上一个动点M,过点M作椭圆C的两条切线,与该蒙日圆分别交于P,Q两点,若△MPQ面积的最大值为28,则椭圆C的长轴长为(　　)
[A] 7 [B] 8 [C] 9 [D] 10
(2)已知椭圆+=1(a>0,b>0,a≠b)任意两条互相垂直的切线的交点轨迹为圆x2+y2=a2+b2,这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x－4)2+(y－3)2=r2(r>0)上总存在点P,使得过点P能作椭圆x2+=1的两条相互垂直的切线,则r的取值范围是(　　)
[A] (1,9) [B] [1,9)
[C] (3,7) [D] [3,7]
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
位置关系 3,5,8,9,14
弦长、中点弦 1,2,6,7,11,12
垂直平行弦 4,10,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江苏南京模拟)直线y=kx+1与椭圆+y2=1相交于A,B两点,若AB中点的横坐标为1,则 k等于(　　)
[A] －2 [B] －1 [C] － [D] 1
2.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,与直线y=x交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的方程为(　　)
[A] x2－y2=6 [B] x2－y2=9
[C] x2－y2=16 [D] x2－y2=25
3.已知直线l与椭圆Γ,点F1,F2分别为椭圆Γ:+y2=1的左、右焦点,直线F1M⊥l,F2N⊥l,垂足分别为点M,N(M,N不重合),那么“直线l与椭圆Γ相切”是“|F1M|·|F2N|=1”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
4.(2025·河北秦皇岛模拟)已知A,B为椭圆C:+=1上两个不同的点(直线AB与y轴不平行),F为C的右焦点,且|AF|+|BF|=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则|FP|等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(2025·天津模拟)已知抛物线C1:x2=3y的焦点为F,双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点为F2,线段FF2与C1在第一象限的交点为M,若C2的焦距为6,且C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
[A] y=±x [B] y=±x
[C] y=±x [D] y=±x
6.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),平行于x轴的直线与C交于点P,Q,平行于y轴的直线与C交于点M,N,直线PQ与直线MN在第一象限交于点E,且|EM|=1,|EP|=2,|EN|=3,|EQ|=6,若过点E的直线l与C交于点A,B,且点E为AB的中点,则l的方程为　 .
7.(13分)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知双曲线C:－y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,且||PF1|－|PF2||=4.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(2)已知直线lMN:y=kx+1与双曲线C交于M,N两点,且S△MON=2,其中O为坐标原点,求k的值.
8.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=－(x－1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
[A] p=2
[B] |MN|=
[C] 以MN为直径的圆与l相切
[D] △OMN为等腰三角形
9.(2025·浙江嘉兴模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0,c2=a2－b2)的右焦点为F,过点F作圆C2:x2+y2+2cx=0的切线与椭圆C1相交于A,B两点,且=2,则椭圆C1的离心率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
10.(2025·河北石家庄模拟)已知双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M,N,F2在线段MN的垂直平分线上,则b等于(　　)
[A] 2 [B] 3
[C] [D]
11.(多选题)(2025·河北沧州模拟)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1(0,2),F2(0,－2),设直线l与椭圆C交于M,N两点,且点P(,)为线段MN的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] m2=6
[B] 椭圆C的离心率
[C] 直线l的方程为3x+y－2=0
[D] △F2MN的周长为4
12.(5分)(2025·湖南长沙模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A,B两点.若|AB|=12,则C的焦距为　　　　　.
13.(15分)(2025·北京模拟)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB,x轴于M,P,已知P(4,0).
(1)求点M的横坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
14.(5分)(2025·河南郑州模拟)已知正方形PQRS的边长为2,两个不同的点A,B都在直线QS的同侧(但A,B与P在直线QS的异侧),A,B关于直线PR对称,若·=0,则△PAS面积的取值范围是　　　　　　　　.
第7节　直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）
[课程标准要求]
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与椭圆的位置关系
联立得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0,该一元二次方程的判别式为Δ.
Δ>0 直线与椭圆相交 有两个交点;
Δ=0 直线与椭圆相切 有一个交点;
Δ<0 直线与椭圆相离 无交点.
2.直线与双曲线的位置关系
联立得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2=0.(*)
(1)若直线与渐近线平行, 则直线与双曲线相交,且只有一个交点.
(2)若直线与渐近线重合,则直线与双曲线相离即没有交点.
(3)若直线与渐近线相交, (*)式为一元二次方程,其判别式为Δ,
①Δ>0 直线与双曲线相交,有两个交点;
②Δ=0 直线与双曲线相切,有一个交点;
③Δ<0 直线与双曲线相离,无交点.
3.直线与抛物线的位置关系
联立得ky2－2py+2pm=0.
若k=0,则直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点;
若k≠0, 该一元二次方程的判别式为Δ,
①Δ>0 直线与抛物线相交,有两个交点;
②Δ=0 直线与抛物线相切,有一个交点;
③Δ<0 直线与抛物线相离,无交点.
4.弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=·|x1－x2|=·,或 |AB|=·|y1－y2|=
·.
1.过椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.
2.过双曲线=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为=1.
3.过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).
1.(人教B版选择性必修第一册P168例2改编)已知直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是(　　)
[A] [B] － [C] ± [D] ±
【答案】 C
【解析】 由消y得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2－4×6×(2+3k2)=0,解得k=±.故选C.
2.已知直线l:y=x－1与抛物线y2=8x交于A,B两点,则线段AB的长是(　　)
[A] 2 [B] 4 [C] 8 [D] 16
【答案】 C
【解析】 联立消去y并整理得x2－10x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=10,x1x2=1,所以|AB|==×=8.故选C.
3.(人教B版选择性必修第一册P168例1改编)双曲线=1与直线y=－x+m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
[A] 0 [B] 1
[C] 0或1 [D] 0或1或2
【答案】 C
【解析】 因为双曲线=1的渐近线方程为y=±x,所以当m=0时,直线l:y=－x+m与渐近线重合,此时直线l与双曲线无交点;
当m≠0时,直线l与渐近线平行,此时直线l与双曲线有一个交点.
故选C.
4.(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y=kx－k+1与椭圆+=1的位置关系是　　　　.
【答案】 相交
【解析】 直线y=kx－k+1=k(x－1)+1恒过定点(1,1).又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆
相交.
5.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=4x的焦点作直线l,l交C于M,N两点,若线段MN中点的纵坐标为2,则|MN|=　　　　.
【答案】 8
【解析】 因为抛物线方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为(1,0),所以设直线l的方程为x=my+1,联立消x可得y2－4my－4=0,易得Δ>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=－4,
所以(y1+y2)=2m=2,所以m=1,
则|MN|=|y1－y2|=·=×=8.
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
1.已知直线x=1过椭圆+=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是(　　)
[A] k∈[－,]
[B] k∈(－∞,－]∪[,+∞)
[C] k∈[－,]
[D] k∈(－∞,－]∪[,+∞)
【答案】 A
【解析】 易知椭圆中c2=a2－b2=4－b2=1,即b2=3,所以椭圆方程是+=1.联立y=kx+2与椭圆方程,可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.由Δ≤0可得k∈[－,].故选A.
2.已知抛物线y2=4x在点(2,2)处的切线与双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,则C的离心率为　　　　.
【答案】
【解析】 因为y2=4x,
所以当y≥0时,y=2,则y′=,
所以y=2在点(2,2)处的切线的斜率为k==,
即双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为=,
所以双曲线C的离心率为e===.
3.已知双曲线－y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.
【答案】 ±
【解析】 联立x=3与－y2=1,解得y=±,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k,则过点(3,0),且斜率为k的直线方程为y=k(x－3),联立消y并整理得(1－4k2)x2+24k2x－36k2－4=0,由题意得1－4k2=0或解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意.
4.已知点P是椭圆x2+8y2=8上的任一点,则点P到直线x－y+4=0的最小距离为　　　　.
【答案】
【解析】 设与直线x－y+4=0平行,且与椭圆相切的直线方程为x－y+m=0(m≠4),由得 9y2－2my+m2－8=0,则Δ=4m2－36(m2－8)=0,解得m=3或－3,所以所求最小距离为d==.
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有一元二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.
考点二　与弦有关的问题
角度1　弦长问题
[例1] (2025·湖南娄底模拟)过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,且弦|AB|=3,则直线AB的方程为　 .
【答案】 y=x+或y=－x－
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆的方程可知F1(－,0),由题意,得直线AB的斜率存在且不为0,所以设直线AB的方程为y=k(x+),与椭圆方程x2+4y2=4联立消去y,得(1+4k2)x2+8k2x+12k2－4=0(由于焦点在椭圆内,Δ>0成立),由根与系数的关系,得
x1+x2=－,x1x2=.
由弦长公式有
|AB|=·
=·
=·=3,
解得k=±.
则直线AB的方程为y=x+或y=－x－.
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线,任何两点的弦长都可以用弦长公式求.
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论斜率是否存在.
角度2　中点弦问题
[例2] (2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2－=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
[A] (1,1) [B] (－1,2)
[C] (1,3) [D] (－1,－4)
【答案】 D
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点 M(,),
可得kAB=,
直线OM斜率k==,
因为A,B在双曲线上,则两式相减得()－=0,
所以kAB·k==9.
由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x.
对于A,可得k=1,kAB=9,因为kAB=9>3,
所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;
对于B,可得k=－2,kAB=－<－3,
所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;
对于C,可得k=3,kAB=3,此时直线AB与渐近线y=3x重合,
所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;
对于D,k=4,kAB=,则AB:y=x－,
联立方程消去y得63x2+126x－193=0,
此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确.故选D.
处理弦长及中点弦问题常用的求解方法
易错警示:涉及双曲线的中点弦问题,要注意检验所求直线方程与双曲线是否有交点.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·甘肃兰州模拟)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线l交抛物线于A,B两点,已知|AB|=18,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(11,0),则p等于(　　)
[A] 2 [B] 4
[C] 6 [D] 8
【答案】 B
【解析】 抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,由题意可知,直线l的斜率不为0,可设直线l的方程为x=my+,
A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程消去x可得y2－2pmy－p2=0,则y1+y2=2pm,y1y2=－p2,可得|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1)=18,即pm2+p=9,设AB的中点为P(x0,y0),则y0=pm,x0=pm2+,可知线段AB的垂直平分线方程为y－pm=－m,因为M(11,0)在线段AB的垂直平分线上,则－pm=－m,且m≠0,可得pm2+=11,联立方程解得
故选B.
2.(角度2)(2025·河南许昌模拟)已知过椭圆C:+=1(a>b>0)左焦点F且与长轴垂直的弦长为3,过点P(2,1)且斜率为－1的直线与C相交于A,B两点,若P恰好是AB的中点,则椭圆的标准方程为(　　)
[A] +=1 [B] +=1
[C] +=1 [D] +=1
【答案】 C
【解析】 设F(－c,0),其中c>0,且c2=a2－b2.
又由椭圆对称性可知,在F正上方,且位于椭圆上的点到F的距离为,即此点坐标为(－c,),将其代入椭圆方程有()2=,
又a>b>0,所以=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),因过点P(2,1),且斜率为－1的直线与C相交于A,B两点,且P恰好是AB的中点,
则=－1,=2 x2+x1=4,
=1 y2+y1=2.
又A,B两点在椭圆上,则+=1,+=1,两式相减得+=0 =
－ =－,
又=·=×(－1)=－,得=.
又=,且b>0,则b=3.故椭圆方程为+=1.故选C.
考点三　圆锥曲线的垂直平分弦问题
[例3] (2025·湖北宜昌模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点T(,).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若斜率不为0的直线l与椭圆E交于点A,B,过点P的直线垂直平分线段AB,且交AB于点M,|AM|=2|PM|,求直线l的方程.
【解】 (1)由题意得=,即a2=2c2,又c2=a2－b2,故a2=2b2.因为椭圆E过点T(,),所以+=1,得a2=6,b2=3,故椭圆E的标准方程为+=1.
(2)易知直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=kx+h(k,h≠0),联立y=kx+h与+=1,消去y,得(1+2k2)x2+4khx+2h2－6=0,则Δ=16k2h2－4(1+2k2)(2h2－6)>0,
得h2<3+6k2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=－,x1x2=,
|AB|=
=·
=·,
=－,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,故=,M(－,),因为线段AB的垂直平分线交y轴于点P,故=－,得h=+k2,由h2<3+6k2得0且|PM|=|－－0|=·.因为|AM|=2|PM|,所以|AB|=4|PM|,
所以·=4·,则2k2－3h2+1=0,结合h=+k2,化简得(k2－1)(2k2+1)=0,解得k=±1.当k=±1时,h=1,满足Δ>0,故直线l的方程为y=x+1或y=－x+1.
涉及弦的垂直平分问题
首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴.这种问题需要用到弦AB的垂直平分线l的方程,往往是利用点差或者根与系数的关系产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线l的斜率的积为－1(直线AB的斜率存在且不为0),写出弦的垂直平分线l的方程,然后解决相关问题,比如:求l在x轴、y轴上的截距的取值范围,求l过某定点等等.有时题目的条件比较隐蔽要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上),曲线上存在两点A,B关于直线m对称等等.
[针对训练] 已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,若直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,过点A作直线 y=－4的垂线,垂足为点M,点N在y轴上,线段AF,MN互相垂直平分,则|AB|=　　　　　　.
【答案】
【解析】 抛物线C:x2=16y的焦点为F(0,4),准线方程为y=－4,根据对称性可设A在第二象限,如图所示,连接AN,MF,
因为AF,MN互相垂直平分,所以四边形AMFN为菱形,又由抛物线定义可知|AF|=|AM|,故△AMF为正三角形,从而∠MAB=60°,所以直线AB的倾斜角为150°,则AB的方程为y=－x+4.设A(x1,y1),B(x2,y2),由可得x2+x－64=0,x1+x2=－,所以y1+y2=－(x1+x2)+8=－×(－)+8=,所以|AB|=y1+y2+p=+8=.
微点培优15　椭圆中的蒙日圆
蒙日圆定义及其证明
椭圆Γ:+=1(a>b>0)两条互相垂直的切线PA,PB的交点P在圆x2+y2=a2+b2上,这个圆就是椭圆的蒙日圆.
如图所示,①当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在,且不为0时,可设P(x0,y0)
(x0≠±a,且y0≠±b),过P的椭圆的切线方程为 y－y0=k(x－x0)(k≠0),由得(a2k2+b2)x2－2ka2(kx0－y0)x+a2(kx0－y0)2－a2b2=0,
由其判别式值为0,得(－a2)k2－2x0y0k+－b2=0(－a2≠0),
因为kPA,kPB是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以kPA·kPB=.
由已知PA⊥PB,所以kPA·kPB=－1,所以 =－1,所以+=a2+b2,所以点P的坐标满足方程x2+y2=a2+b2.
②当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有一条斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为(±a,b)或(±a,－b),此时点P也在圆x2+y2=a2+b2上.
综上所述,椭圆+=1(a>b>0)两条互相垂直的切线PA,PB的交点P的轨迹方程是蒙日圆:x2+y2=a2+b2.
类型一　蒙日圆的方程
[典例1] (2025·陕西咸阳模拟)已知椭圆M的方程为+y2=1,过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线,则点P的轨迹方程为(　　)
[A] x2+y2=5 [B] x2+y2=4
[C] x2+y2=3 [D] x2+y2=
【答案】 A
【解析】 设点P(x0,y0),当切线斜率存在,且不为0时,设切线方程为y－y0=k(x－x0),
联立消去y得(4k2+1)x2+8(y0－kx0)kx+4(y0－kx0)2－4=0,则Δ=64k2(y0－kx0)2－4(4k2+1)[4(y0－kx0)2－4]=0,即(4－)k2+2x0y0k+1－=0,
两切线垂直,故其斜率之积为－1,则由根与系数的关系知=－1,即+=5.
当切线斜率不存在或为0时,点P的坐标为(2,1)或(－2,1)或(－2,－1)或(2,－1),满足方程+=5,故所求轨迹方程为x2+y2=5.
故选A.
求“蒙日圆”方程的策略
(1)设点P的坐标及切线方程,与椭圆方程联立,将判别式为零转化为切线斜率的同解方程,化简即可,再验证切线斜率不存在或为0的情况是否符合即可.
(2)椭圆+=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2+b2.双曲线=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2－b2.
[拓展演练1] (2025·江苏泰州模拟)若椭圆C:+=1(m>0,m≠4)的离心率为,则椭圆C的“蒙日圆”方程为(　　)
[A] x2+y2=5或x2+y2=7
[B] x2+y2=7或x2+y2=20
[C] x2+y2=5或x2+y2=20
[D] x2+y2=7或x2+y2=28
【答案】 C
【解析】 若m>4,则=,即m=16,所以C:+=1.
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,
不妨取两点(2,0),(0,4),则两条切线为直线x=2和直线y=4,所以两条切线的交点为(2,4),且点(2,4)在蒙日圆上,所以半径为=,所以蒙日圆方程为x2+y2=20.
若0所以C:+y2=1,
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,
不妨取两点(2,0),(0,1),则两条切线为直线x=2和直线y=1,所以两条切线的交点为(2,1),且点(2,1)在蒙日圆上,所以半径为=,所以蒙日圆方程为x2+y2=5.
综上,椭圆C的“蒙日圆”方程为x2+y2=5或 x2+y2=20.故选C.
类型二　蒙日圆的性质
[典例2] (2025·广东中山模拟)法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆,我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景,设M为椭圆C:x2+=1的一个外切长方形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切),若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2,则M的面积为(　　)
[A] 13 [B] 26
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 依题意,直线x=±1,y=±2都与椭圆C:x2+=1相切,且它们围成四边形是矩形,于是该矩形是椭圆C的蒙日圆内接矩形,因此该蒙日圆的圆心为O(0,0),
半径r==,
因此该椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=13,M为椭圆C:x2+=1的一个外切长方形,
设其四个顶点分别为P,Q,P′,Q′,
其中P在第一象限,显然P与P′关于原点O对称,Q与Q′关于原点对称,而点P纵坐标为2,则其横坐标为3,即P(3,2),显然M的四条边所在直线斜率存在,且不为0,
设过P且与椭圆C相切的直线为y－2=k(x－3),
由消去y并整理,得(12+k2)x2+2k(2－3k)x+9k2－12k－8=0,
由Δ=4k2(2－3k)2－4(12+k2)(9k2－12k－8)=0,化简得2k2－3k－2=0,解得k=2或k=－,不妨取直线PQ方程为y－2=2(x－3),即2x－y－4=0,直线PQ′的方程为y－2=－(x－3),即x+2y－7=0,点O到直线PQ的距离为,点O到直线PQ′的距离为,所以M的面积为2×2=.故选C.
“蒙日圆”的性质及应用
过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线PA,PB,A,B为切点,则 PA⊥PB.延长PA,PB,交圆x2+y2=a2+b2于C,D,则CD为该圆的直径,且|CD|=2.
[拓展演练2] (1)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+=1
(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,现有椭圆C:+=1的蒙日圆上一个动点M,过点M作椭圆C的两条切线,与该蒙日圆分别交于P,Q两点,若△MPQ面积的最大值为28,则椭圆C的长轴长为(　　)
[A] 7 [B] 8 [C] 9 [D] 10
(2)已知椭圆+=1(a>0,b>0,a≠b)任意两条互相垂直的切线的交点轨迹为圆x2+y2=a2+b2,这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x－4)2+(y－3)2=r2(r>0)上总存在点P,使得过点P能作椭圆x2+=1的两条相互垂直的切线,则r的取值范围是(　　)
[A] (1,9) [B] [1,9)
[C] (3,7) [D] [3,7]
【答案】 (1)B　(2)D
【解析】 (1)由题意可知,椭圆C的蒙日圆的半径为=,因为MP⊥MQ,所以PQ为蒙日圆的直径,所以|PQ|=2,因为|MP|·|MQ|≤=2(a2+12),当且仅当|MP|=|MQ|=时,等号成立,所以△MPQ面积的最大值为a2+12,因为△MPQ面积的最大值为28,所以a2=16,a=4,故椭圆的长轴长为8.故选B.
(2)由题意可知,与椭圆x2+=1相切的两条互相垂直的直线的交点P的轨迹为圆P:x2+y2=4,圆心为点(0,0),半径为2,在圆C:(x－4)2+(y－3)2=r2(r>0)上,圆心C(4,3),圆的半径为r,又P在圆C上,所以两圆有公共点,又两圆的圆心距为|PC|==5,所以|2－r|≤5≤2+r,所以3≤r≤7.
故选D.
(分值:90分)
选题明细表
知识点、方法 题号
位置关系 3,5,8,9,14
弦长、中点弦 1,2,6,7,11,12
垂直平行弦 4,10,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·江苏南京模拟)直线y=kx+1与椭圆+y2=1相交于A,B两点,若AB中点的横坐标为1,则 k等于(　　)
[A] －2 [B] －1 [C] － [D] 1
【答案】 C
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+1代入+y2=1得(1+4k2)x2+8kx=0,x1+x2=－,因为AB中点的横坐标为1,所以－=1,解得k=－.故选C.
2.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,与直线y=x交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的方程为(　　)
[A] x2－y2=6 [B] x2－y2=9
[C] x2－y2=16 [D] x2－y2=25
【答案】 B
【解析】 设等轴双曲线的方程为x2－y2=a2(a>0),与y=x联立,得x2=a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=0,x1x2=－,所以|AB|=×a=2,所以a=3,所以双曲线的方程为x2－y2=9.故选B.
3.已知直线l与椭圆Γ,点F1,F2分别为椭圆Γ:+y2=1的左、右焦点,直线F1M⊥l,F2N⊥l,垂足分别为点M,N(M,N不重合),那么“直线l与椭圆Γ相切”是“|F1M|·|F2N|=1”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 根据题意可知直线l斜率存在,设直线方程为y=kx+t,
联立得(2k2+1)x2+4ktx+2t2－2=0,当直线与椭圆相切时,
Δ=(4kt)2－4(2k2+1)(2t2－2)=0,化简得t2=2k2+1.由题意F1(－1,0),F2(1,0),因为F1M⊥l,F2N⊥l,所以|F1M|=,|F2N|=,所以当|F1M|·|F2N|=·==1时,|t2－k2|=k2+1,解得t2=2k2+1或t2=－1(舍去),所以“直线l与椭圆Γ相切”是“|F1M|·|F2N|=1”的充要条件.故选C.
4.(2025·河北秦皇岛模拟)已知A,B为椭圆C:+=1上两个不同的点(直线AB与y轴不平行),F为C的右焦点,且|AF|+|BF|=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则|FP|等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 如图,由题意知F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),根据点A,B在C上,则+=1,+=1,所以|AF|===3－x1,同理可得|BF|=3－x2,所以|AF|+|BF|=3－x1+3－x2=4,所以x1+x2=3,y1≠y2,因为线段AB的中点为,kAB=,则AB的垂直平分线的斜率为－,又由+=1,+=1,作差化简得=(),则线段AB垂直平分线的方程为y=－+,令y=0,得x－===－=－,解得x=,所以|FP|=2－=.故选A.
5.(2025·天津模拟)已知抛物线C1:x2=3y的焦点为F,双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点为F2,线段FF2与C1在第一象限的交点为M,若C2的焦距为6,且C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
[A] y=±x [B] y=±x
[C] y=±x [D] y=±x
【答案】 D
【解析】 抛物线C1:x2=3y的焦点为F,依题意可得F2(3,0),所以FF2直线方程为+=1,即x+2y－3=0,联立消去y可得2x2+3x－9=0,解得x1=－3或x2=,又线段FF2与C1在第一象限的交点为M,所以M的横坐标为,由y=,所以y′=x,所以C1在点M处的切线斜率为y′=×=,又C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,所以双曲线C2的一条渐近线的斜率为,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±x.故选D.
6.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),平行于x轴的直线与C交于点P,Q,平行于y轴的直线与C交于点M,N,直线PQ与直线MN在第一象限交于点E,且|EM|=1,|EP|=2,|EN|=3,|EQ|=6,若过点E的直线l与C交于点A,B,且点E为AB的中点,则l的方程为　 .
【答案】 x+2y－4=0
【解析】 设E(x0,y0),
由|EM|=1,|EP|=2,
|EN|=3,|EQ|=6,
得x0==2,y0==1,所以E(2,1),所以Q(－4,1),M(2,2),代入C的方程得解得
故C的方程为+=1.
法一　易知l的斜率存在,且不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得·=－,由点E为AB的中点得x1+x2=4,y1+y2=2,则l的斜率为=－,所以l的方程为y－1=－(x－2),即x+2y－4=0.
法二　易知l的斜率存在,且不为0,设l的方程为y－1=k(x－2)(k≠0),代入C的方程并整理得(1+4k2)x2+8(k－2k2)x+4(2k－1)2－20=0(*),需满足Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点E为AB的中点,所以=－=2,解得k=－,此时(*)式为2x2－8x－4=0,
Δ=64+4×2×4>0满足题意,所以l的方程为y－1=－(x－2),即x+2y－4=0.
7.(13分)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知双曲线C:－y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,且||PF1|－|PF2||=4.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(2)已知直线lMN:y=kx+1与双曲线C交于M,N两点,且S△MON=2,其中O为坐标原点,求k的值.
【解】 (1)由||PF1|－|PF2||=4及双曲线的定义知,2a=4,即a=2,所以双曲线的方程为－y2=1,其渐近线方程为y=±x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题可知k≠±,联立 (1－4k2)·x2－8kx－8=0,
Δ=(－8k)2－4×(－8)(1－4k2)=32(1－2k2)>0,所以k2<,且k2≠,x1+x2=,x1x2=,点O到直线lMN:y=kx+1的距离d=,所以S△MON=|MN|d=·|x1－x2|·=
=2=2,令k2=t,t<,且t≠,化简得24t2－11t+1=0,解得t=或t=,所以k=±或±.
8.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=－(x－1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
[A] p=2
[B] |MN|=
[C] 以MN为直径的圆与l相切
[D] △OMN为等腰三角形
【答案】 AC
【解析】 直线y=－(x－1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
所以=1,p=2,2p=4,则A选项正确,且抛物线C的方程为y2=4x.
设M(x1,y1),N(x2,y2),x1>x2,
由消去y并化简得3x2－10x+3=(x－3)(3x－1)=0,
解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3++2=,B选项错误.
设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,
因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,
即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.
由B选项的分析知M(3,－2),N(,),|MN|=,
所以|OM|==,
|ON|==,
所以△OMN不是等腰三角形,D选项错误.
故选AC.
9.(2025·浙江嘉兴模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0,c2=a2－b2)的右焦点为F,过点F作圆C2:x2+y2+2cx=0的切线与椭圆C1相交于A,B两点,且=2,则椭圆C1的离心率是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 如图,设切线方程为x=my+c,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,得(a2+b2m2)y2+2mcb2y－b4=0,Δ>0,
则①,又=2,所以y2=－2y1,代入①,得
则=,整理得8m2c2=a2+b2m2.②
又圆心C2(－c,0)到直线x－my－c=0的距离等于半径,半径r=c,则d==c,解得m2=3,代入②,整理得4a2=27c2,所以e2==,由010.(2025·河北石家庄模拟)已知双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M,N,F2在线段MN的垂直平分线上,则b等于(　　)
[A] 2 [B] 3
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设线段MN的垂直平分线与MN的交点为H,|MF1|=m(m>0),连接MF2,NF2(图略),则|MF2|=|NF2|=m+2,所以|NF1|=|NF2|+2=m+4,所以|MN|=|NF1|－|MF1|=4,
则|MH|=2,|F1H|=m+2,|F2H|==,因为直线MN的斜率为,所以=,即=,解得m=4－2,所以|F1H|=4,|F2H|=2,
则|F1F2|==2,所以b==.
故选C.
11.(多选题)(2025·河北沧州模拟)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1(0,2),F2(0,－2),设直线l与椭圆C交于M,N两点,且点P(,)为线段MN的中点,则下列说法正确的是(　　)
[A] m2=6
[B] 椭圆C的离心率
[C] 直线l的方程为3x+y－2=0
[D] △F2MN的周长为4
【答案】 AC
【解析】 如图所示,根据题意,因为焦点在y轴上,所以m2－2=4,则m2=6,故A正确;椭圆C的离心率为e===,故B不正确;
不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得=－,
变形得=－3×,又点P(,)为线段MN的中点,所以====1,所以直线l的斜率kl==－3×=－3×1=－3,所以直线l的方程为y－=－3(x－),即3x+y－2=0,故C正确;因为直线l过F1,所以△F2MN的周长为|F2M|+|F2N|+|MN|=(|F2M|+|F1M|)+
(|F2N|+|F1N|)=2a+2a=4a=4,故D不正确.故选AC.
12.(5分)(2025·湖南长沙模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A,B两点.若|AB|=12,则C的焦距为　　　　　.
【答案】 7
【解析】 由椭圆C的离心率为e=,可得a=2c,则b==c,所以椭圆C的方程为+=1,即3x2+4y2－12c2=0,由直线AB过椭圆C的左焦点F(－c,0)且斜率为1,可得AB的方程为y=x+c,联立方程组消y整理得7x2+8cx－8c2=0,
则Δ=64c2+4×7×8c2=288c2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=－c,
x1x2=－c2,
所以|AB|=·
===12,解得c=,所以椭圆C的焦距为2c=7.
13.(15分)(2025·北京模拟)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB,x轴于M,P,已知P(4,0).
(1)求点M的横坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
【解】 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=,=4x1,=4x2,
所以k===,
而kMP=,
由k·kMP=－1得x0－4=－2,即x0=2.
(2)设直线AB:x=m(y－y0)+2,即AB:x=my－my0+2,与抛物线y2=4x联立消x得y2－4my+4my0－8=0,Δ=16(m2－my0+2)>0,则y1+y2=4m,y1y2=4my0－8,
所以|AB|=|y1－y2|=·
,
而P到直线AB的距离为d=,所以S△PAB=d|AB|=2|my0+2|,又由于m==,所以S△PAB=2(2m2+2)·=4(m2+1),令=t,则t>0,且m2=2－t2,所以S△PAB=4(3－t2)t=12t－4t3,令g(t)=12t－4t3(t>0),则g′(t)=12－12t2=12(1－t)(1+t),当00,当t>1时,g′(t)<0,
故g(t)=12t－4t3≤g(1)=8,即△PAB面积的最大值为8.
14.(5分)(2025·河南郑州模拟)已知正方形PQRS的边长为2,两个不同的点A,B都在直线QS的同侧(但A,B与P在直线QS的异侧),A,B关于直线PR对称,若·=0,则△PAS面积的取值范围是　　　　　　　　.
【答案】 (2,4)∪(4,+∞)
【解析】
以PR所在直线为x轴,QS所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图,则P(－2,0),R(2,0),设A(x,y),B(x,－y),且x>0,y≠0,所以=(x+2,y),=(x－2,－y),因为·=0,所以(x+2)(x－2)－y2=0,即A位于双曲线x2－y2=4(y≠0)的右支上,渐近线方程为y=x或y=－x,设点A到直线PS的距离为h,又直线y=x与直线PS的距离为,点(2,0)到直线PS的距离为2,则h∈(,2)∪(2,+∞),又S△PAS=|PS|·h=h∈(2,4)∪(4,+∞),所以△PAS面积的取值范围是(2,4)∪(4,+∞).
(
第
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)(共107张PPT)
第7节　直线与圆锥曲线的
位置关系
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
[课程标准要求]
知识梳理
1.直线与椭圆的位置关系
Δ>0 直线与椭圆 有 交点;
Δ=0 直线与椭圆 有 交点;
Δ<0 直线与椭圆 交点.
相交
两个
相切
一个
相离
无
知识梳理
2.直线与双曲线的位置关系
(1)若直线与渐近线平行, 则直线与双曲线相交,且只有一个交点.
(2)若直线与渐近线重合,则直线与双曲线相离即没有交点.
知识梳理
(3)若直线与渐近线相交, (*)式为一元二次方程,其判别式为Δ,
①Δ>0 直线与双曲线相交,有 交点;
②Δ=0 直线与双曲线相切,有 交点;
③Δ<0 直线与双曲线相离,无交点.
两个
一个
知识梳理
3.直线与抛物线的位置关系
若k=0,则直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点;
若k≠0, 该一元二次方程的判别式为Δ,
①Δ>0 直线与抛物线相交,有 交点;
②Δ=0 直线与抛物线相切,有 交点;
③Δ<0 直线与抛物线相离,无交点.
两个
一个
知识梳理
4.弦长公式
重要结论
对点自测
C
对点自测
对点自测
2.已知直线l:y=x－1与抛物线y2=8x交于A,B两点,则线段AB的长是(　　)
C
对点自测
C
[A] 0 [B] 1
[C] 0或1 [D] 0或1或2
对点自测
对点自测
相交
【解析】 直线y=kx－k+1=k(x－1)+1恒过定点(1,1).又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
对点自测
8
5.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=4x的焦点作直线l,l交C于M,N两点,若线段MN中点的纵坐标为2,则|MN|=　　　　.
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
A
4.已知点P是椭圆x2+8y2=8上的任一点,则点P到直线x－y+4=0的最小距离为
　　 　　.
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有一元二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.
题后悟通
考点二　与弦有关的问题
角度1　弦长问题
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线,任何两点的弦长都可以用弦长公式求.
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论斜率是否存在.
解题策略
角度2　中点弦问题
D
[A] (1,1) [B] (－1,2)
[C] (1,3) [D] (－1,－4)
由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x.
对于A,可得k=1,kAB=9,因为kAB=9>3,
所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;
所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;
对于C,可得k=3,kAB=3,此时直线AB与渐近线y=3x重合,
所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;
处理弦长及中点弦问题常用的求解方法
解题策略
易错警示:涉及双曲线的中点弦问题,要注意检验所求直线方程与双曲线是否有交点.
1.(角度1)(2025·甘肃兰州模拟)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线l交抛物线于A,B两点,已知|AB|=18,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(11,0),则p等于(　　)
[A] 2 [B] 4
[C] 6 [D] 8
[针对训练]
B
A(x1,y1),B(x2,y2),
C
考点三　圆锥曲线的垂直平分弦问题
(1)求椭圆E的标准方程;
涉及弦的垂直平分问题
首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴.这种问题需要用到弦AB的垂直平分线l的方程,往往是利用点差或者根与系数的关系产生弦AB的中点坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线l的斜率的积为－1(直线AB的斜率存在且不为0),写出弦的垂直平分线l的方程,然后解决相关问题,比如:求l在x轴、y轴上的截距的取值范围,求l过某定点等等.有时题目的条件比较隐蔽要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上),曲线上存在两点A,B关于直线m对称等等.
解题策略
[针对训练] 已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,若直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,过点A作直线 y=－4的垂线,垂足为点M,点N在y轴上,线段AF,
MN互相垂直平分,则|AB|=　　　　　　.
【解析】 抛物线C:x2=16y的焦点为F(0,4),准线方程为y=－4,根据对称性可设A在第二象限,如图所示,连接AN,MF,
微点培优15　椭圆中的蒙日圆
知识链接
蒙日圆定义及其证明
②当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有一条斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标为(±a,b)或(±a,－b),此时点P也在圆x2+y2=a2+b2上.
题型演绎
类型一　蒙日圆的方程
A
反思归纳
求“蒙日圆”方程的策略
(1)设点P的坐标及切线方程,与椭圆方程联立,将判别式为零转化为切线斜率的同解方程,化简即可,再验证切线斜率不存在或为0的情况是否符合即可.
[A] x2+y2=5或x2+y2=7
[B] x2+y2=7或x2+y2=20
[C] x2+y2=5或x2+y2=20
[D] x2+y2=7或x2+y2=28
C
类型二　蒙日圆的性质
C
因此该椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=13,M为椭圆C:x2+=1的一个外切长方形,
设其四个顶点分别为P,Q,P′,Q′,
其中P在第一象限,显然P与P′关于原点O对称,Q与Q′关于原点对称,而点P纵坐标为2,则其横坐标为3,即P(3,2),显然M的四条边所在直线斜率存在,且不为0,
反思归纳
“蒙日圆”的性质及应用
B
[A] 7 [B] 8 [C] 9 [D] 10
D
[A] (1,9) [B] [1,9)
[C] (3,7) [D] [3,7]
课时作业
(分值:90分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
位置关系 3,5,8,9,14
弦长、中点弦 1,2,6,7,11,12
垂直平行弦 4,10,13
基础巩固练
C
B
[A] x2－y2=6 [B] x2－y2=9
[C] x2－y2=16 [D] x2－y2=25
C
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
A
D
x+2y－4=0
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
综合运用练
AC
C
C
AC
7
13.(15分)(2025·北京模拟)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB,x轴于M,P,已知P(4,0).
(1)求点M的横坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
应用创新练
(2,4)∪(4,+∞)

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