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（12）空间中的垂直关系
——高一数学人教B版(2019)必修四期末易错题集训
【易错知识点】
1.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
2.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
3.平面与平面垂直的判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
4.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
【易错题集训】
1.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
2.如图，已知正方体，M，N分别是，的中点，则( )
A.直线与直线垂直，直线平面ABCD
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面ABCD
D.直线与直线异面，直线平面
3.如图，在四棱锥中，，，点M在PB上，且平面PBC，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则( )
A.1 B. C. D.
4.在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若M为三棱锥外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积是( )
A.6 B.9 C.18 D.27
6.在四面体中，平面平面，是直角三角形，，，则二面角的正切值为( )
A. B. C.2 D.
7.（多选）在正三棱柱中，已知，点M，N分别为和BC的中点，点P是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有( )
A.存在点P，使得平面PBC
B.直线PN与为异面直线
C.存在点P，使得
D.存在点P，使得直线PN与平面ABC所成角为
8.（多选）如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是上一点，M为BD与轴的交点，E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有( )
A.平面AMN B.平面DBF
C.平面AMN D.F是的中点
9.如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面.若，则直线与平面所成的角的大小为___________.
10.已知点O在二面角的棱上，点P在平面内，且.若直线PO与平面所成的角为，则二面角的正弦值为__________.
11.如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值.
其中真命题有____________.（填序号）
12.如图，、、为圆锥三条母线，．
(1)证明：;
(2)若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的余弦值．
答案以及解析
1.答案：C
解析：若，，，则或或或，故A错误；若，，，则或，故B错误；
若，在内作，所以，又，所以，
又，所以，所以，故C正确；

若，，，则或或m，n为异面直线，故D错误.
故选：C.
2.答案：A
解析：连接，在正方形中，由M为的中点，可知，且M为的中点，.又为的中点，.平面，平面，平面.平面，平面，，，平面，.故选A.
3.答案：D
解析：如图所示，取PC的中点E，连接BE，令N位于PE的中点处.平面，平面，，，为PB的中点.，E为PC的中点，所以，M，N分别为PB，PE的中点，，.平面，平面，，，平面，平面PCD，所以平面平面.为PC的中点，N为PE的中点，，.故选D.
4.答案：D
解析：设BC的中点为T，的外心为，的外心为，过点作平面ABC的垂线，过点作平面PBC的垂线，两条垂线的交点为O，则点O即为三棱锥外接球的球心.连接OP.
因为和都是边长为的正三角形，所以.
因为平面平面，，平面ABC，平面平面，所以平面PBC.
又平面PBC，所以.又，所以四边形是边长为1的正方形，所以外接球半径，所以点M到平面ABC的距离，即点M到平面ABC距离的最大值为.故选D.
5.答案：A
解析：
在长方体中，，
连接交于点O，可得，
又由平面，且面，所以，
因为，且，平面，
可得平面，
所以四棱锥的高为，
所以的体积.
故选：A.
6.答案：A
解析：设，的中点分别为E，D，连接，，则，
因为，所以，
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，而平面，则，
因为是直角三角形，，所以，
所以，且，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，则，所以为二面角的平面角，
且.
故选：A.
7.答案：BCD
解析：因为与BC相交，所以与平面PBC相交，故选项A错误；
因为平面，平面，，平面，所以直线PN与为异面直线，故选项B正确；
当点P与点A重合时，平面，因为平面，所以，故选项C正确；
当时，直线PN与平面ABC所成的角为，故选项D正确.
8.答案：BCD
解析：对于A，如图，延长AM，则AM过点C，
与平面AMN交于点C，A错误；
对于B，为圆O的直径，，又底面圆O，且底面圆O，，
又，且平面ADF，
平面ADF，又平面ADF，
，又，，且平面，平面，B正确；
对于C，由B选项分析可知：平面DBF，又平面，，又轴截面ABCD为正方形，
，又，且平面AMN，
平面，C正确；
对于D，平面AMN，又平面DEF，且平面平面，，又易知，，设，则，，设正方形ABCD的边长为2，由，可得，，又，，，，，，又，，，，是的中点，D正确.故选BCD.
9.答案：
解析：如图所示：将四棱锥放入边长为a的正方体内.
连接，相交于M，
易知：，故平面
故为直线与平面所成的角
中：，
故
故答案为：
10.答案：
解析：如图，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，连接OE，PF，OP，则为直线PO与平面所成的角，为二面角的平面角.设，则在中，由，可得.在中，由，可得.在中，，即二面角的正弦值为.
11.答案：①③④
解析：对于①，由正方体的性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；对于②，当P是的中点时，易得，，，满足，此时是直角，所以②错误；对于③，连接，，如图所示，
由正方体可知，且平面，平面，所以.又，，平面，所以平面.又平面，所以，即③正确；对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，平面，所以点P到平面的距离是定值，所以三棱锥的体积为定值，即④正确.故答案为①③④
12.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，取的中点M，连接、，
因为，M为的中点，所以，
因为、均是圆锥的母线，所以，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
(2)设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，所以．
因为，所以，
因为为底面直径，A为底面圆周上一点，，则，
由勾股定理可得，所以．
因为，，，所以，所以，，
过点B在平面内作，垂足为点H，连接，
因为，，，所以，则，
所以，即，所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以，则，
在中，.
因此，二面角的余弦值为.

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