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第二课时　定值问题
考点一　长度、距离、面积为定值
[例1] 已知抛物线C:y=x2的焦点为F1,准线与坐标轴的交点为F2,F1,F2是离心率为的椭圆S的焦点.
(1)求椭圆S的标准方程.
(2)设过原点O的两条直线l1和l2,l1⊥l2,l1与椭圆S交于A,B两点,l2与椭圆S交于M,N两点.求证:原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
圆锥曲线中求长度、距离、面积为定值的问题,先利用弦长公式、点到直线的距离公式将题目探求的量表示出来,然后利用题设条件化简、变形求出定值.如果求凸多边形的面积,可以将其分割成若干个三角形分别求解.
[针对训练] 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的倍,且焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线C的方程.
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,O为坐标原点,证明:△OPQ的面积为定值.
考点二　斜率、向量数量积或其他代数式为定值
[例2] 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点, △AF1F2是面积为4的直角三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆O:x2+y2=上的任意一点P处的切线l交椭圆C于点M,N,问: ·是否为定值 若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
圆锥曲线中求斜率、向量数量积或其他代数式为定值的问题,依题设条件得出与代数式参数有关的等式,代入代数式后化简即可得出定值.涉及角度的问题可以转化为向量或斜率表达式来求解.
[针对训练] (2025·湖南常德模拟)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,R为椭圆上的一点,且△RF1F2的周长为6.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E,F 两点(点E在第一象限),P,Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点,始终保持∠QEF=∠PEF,求证:直线PQ的斜率为定值.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
长度、距离、面积为定值 2,3
斜率、向量数量积或其 他代数式为定值 1,4
1.(12分)(2025·河北石家庄模拟)已知M为平面上一个动点,M到定直线x=1的距离与到定点F(2,0)距离的比等于 ,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得·为定值 若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
2.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦距为10,A1,A2为其左、右顶点.
(1)求C的方程.
(2)设点P是直线l:x=2上除(2,0)外的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.
3.(13分)已知点F(,0),直线l:x=,点M为曲线C上任意一点,且|MF|与点M到l的距离的比值为.P(x1,y1),Q(x2,y2)是曲线C上的两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=.
(1)求曲线C的方程;
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值,并说明理由.
4.(13分)(2025·重庆九龙坡模拟)已知F1(－2,0),F2(2,0),M是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点M的对称点为N,线段F1N的中垂线与直线F2N相交于点T,记点T的轨迹为
曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F2且斜率为k的直线l交曲线E位于y轴右侧的部分于不同的A,B两点,Q为x轴上一点且满足|QA|=|QB|,试探究是否为定值 若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
第二课时　定值问题（解析版）
考点一　长度、距离、面积为定值
[例1] 已知抛物线C:y=x2的焦点为F1,准线与坐标轴的交点为F2,F1,F2是离心率为的椭圆S的焦点.
(1)求椭圆S的标准方程.
(2)设过原点O的两条直线l1和l2,l1⊥l2,l1与椭圆S交于A,B两点,l2与椭圆S交于M,N两点.求证:原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
(1)【解】 由抛物线C的标准方程为x2=4y,得抛物线C的焦点F1(0,1),
设椭圆S的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,
则由题意得c=1,=,得a=2,
故b===,
又椭圆S的焦点在y轴上,
所以椭圆S的标准方程为+=1.
(2)【证明】 由题意知A,O,B共线,M,O,N共线,且AB⊥MN,又由椭圆的对称性,知|OA|=|OB|,|OM|=|ON|,
所以四边形AMBN为菱形,且原点O为其中心,AM,BN为一组对边,
因此原点O到直线AM和到直线BN的距离相等.
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性,不妨设A在第一象限或x轴、y轴正半轴上.
①当直线AM的斜率为零或不存在时,四边形AMBN为正方形,直线AB和直线MN的方程分别为y=x和y=－x,且AM∥x轴或AM∥y轴.
设A(m,m)(m>0),则M(m,－m)或M(－m,m),
于是有+=1,得m2=.
原点O到直线AM的距离为d=|m|==.
②当直线AM的斜率存在且不等于零时,设AM:y=kx+h.
由
得(3k2+4)x2+6khx+3h2－12=0,
且Δ=48(3k2－h2+4).
设A(x1,y1),M(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
y1y2=(kx1+h)(kx2+h)=k2x1x2+kh(x1+x2)+h2=.
由OA⊥OM,即x1x2+y1y2=0,
得h2=,满足Δ=(9k2+16)>0.
所以原点O到直线AM的距离为d===.同理,原点O到直线BN的距离也为.综上所述,原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
圆锥曲线中求长度、距离、面积为定值的问题,先利用弦长公式、点到直线的距离公式将题目探求的量表示出来,然后利用题设条件化简、变形求出定值.如果求凸多边形的面积,可以将其分割成若干个三角形分别求解.
[针对训练] 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的倍,且焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线C的方程.
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,O为坐标原点,证明:△OPQ的面积为定值.
(1)【解】 设双曲线C的一个焦点为F(c,0),一条渐近线方程为bx－ay=0,焦点F到渐近线的距离为=b=,由实轴长是虚轴长的倍,得a=b=2,所以双曲线C的标准方程为=1.
(2)【证明】 由(1)知,双曲线C的渐近线方程为x±y=0,
当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=±2,|PQ|=2,S△OPQ=×2×2=2;
当直线l的斜率存在时,不妨设直线l:y=kx+m,且k≠±,由
消去y得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－4=0,由Δ=16m2k2+4(1－2k2)(2m2+4)=0,
得4k2=m2+2,
由
得x=,不妨设l与xy=0的交点为P,则点P的横坐标xP=,同理得点Q的横坐标xQ=,则|PQ|=|xP－xQ|=,而原点O到直线l的距离d=,因此S△OPQ=|PQ|·d==2,所以△OPQ的面积为定值,且定值为2.
考点二　斜率、向量数量积或其他代数式为定值
[例2] 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点, △AF1F2是面积为4的直角三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆O:x2+y2=上的任意一点P处的切线l交椭圆C于点M,N,问: ·是否为定值 若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
【解】 (1)由△AF1F2为直角三角形,故b=c,又=×2c·b=4,可得bc=4,解得b=c=2,所以a2=8,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)·是定值.理由如下:当切线l的斜率不存在时,其方程为x=±,将x=±代入+=1,得y=±,当x=时,不妨设M(,),N(,),又P(,0),所以·=,同理当x=时,也有·=.
当切线l的斜率存在时,设方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
因为l与圆O:x2+y2=相切,所以=,即3m2=8k2+8,将y=kx+m代入+=1,消y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2－8=0,Δ>0,所以x1+x2=,x1x2=,又·=(+)·
(+)=+(+)··=+(+++)··=·,又·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=
++m2=,将3m2=8k2+8代入上式得·=0,所以·==.综上,·=.
圆锥曲线中求斜率、向量数量积或其他代数式为定值的问题,依题设条件得出与代数式参数有关的等式,代入代数式后化简即可得出定值.涉及角度的问题可以转化为向量或斜率表达式来求解.
[针对训练] (2025·湖南常德模拟)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,R为椭圆上的一点,且△RF1F2的周长为6.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E,F 两点(点E在第一象限),P,Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点,始终保持∠QEF=∠PEF,求证:直线PQ的斜率为定值.
(1)【解】由已知有2b=2,2c+2a=|F1F2|+|RF1|+|RF2|=6,即a+c=3,b=.
所以a－c====1,从而a=+=+=2.故椭圆C的方程为+=1.
(2)【证明】
我们有c===1,故直线l的方程为x=1.将x=1代入+=1可得+=1,解得y=±,故E(1,),F(1,).由于∠QEF=∠PEF,故PE,QE的斜率互为相反数.设PE,QE的斜率分别是k,－k,则由E(1,)可知它们的方程分别是y=kx+k和y=－kx++k.将直线y=kx+k与椭圆方程联立消y得(3+4k2)x2+4(3－2k)kx+(3－2k)2－12=0.由Δ>0,得k≠,由E(1,)知此方程必有一根x=1,故另一根是x==,
即P(,),同理有Q(,).所以直线PQ的斜率kPQ===.即直线PQ的斜率为定值.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
长度、距离、面积为定值 2,3
斜率、向量数量积或其 他代数式为定值 1,4
1.(12分)(2025·河北石家庄模拟)已知M为平面上一个动点,M到定直线x=1的距离与到定点F(2,0)距离的比等于 ,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得·为定值 若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)设点M的坐标为(x,y),
则=, 即2(x－1)2=(x－2)2+y2,化简得x2－y2=2,所以双曲线C的标准方程为=1.
(2)在x轴上存在点P,使得·为定值.理由如下:
如图,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=my+2.由于直线与双曲线有两个交点,则直线不能与渐近线平行,渐近线斜率为±1,则m≠±1.直线方程代入=1,
消x整理得,(m2－1)y2+4my+2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(t,0),
则y1+y2=,y1y2=,
所以·=(x1－t)(x2－t)+y1y2=(my1+2－t)(my2+2－t)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(2－t)·(y1+y2)+
(2－t)2=(m2+1)·m(2－t)·+(2－t)2=+(2－t)2.
若要上式为定值,则必须有4t－6=－2,即t=1,
所以+(2－t)2=－2+1=－1,故存在点P(1,0)满足·=－1.
当直线l的斜率为0时,设A(,0),B(,0),此时点P(1,0)亦满足·=－1,故存在点P(1,0)满足·=－1.
综上所述,在x轴上存在点P(1,0),使得·为定值,定值为－1.
2.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦距为10,A1,A2为其左、右顶点.
(1)求C的方程.
(2)设点P是直线l:x=2上除(2,0)外的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.
(1)【解】 依题意 C:=1.
(2)【证明】 设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线MN斜率存在且不为0,故设直线MN的方程为y=kx+m(k≠0).
代入9x2－16y2=9×16得,
(9－16k2)x2－32kmx－16(m2+9)=0,9－16k2≠0,Δ=576(m2+9－16k2)>0,
所以x1+x2=,x1x2=.
又因为直线A1M:y=(x+4),直线A2N:y=(x－4)相交于直线x=2上的一点P,联立得=·=·()=· (16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0 (m2+9)(16k2+3)－8km(4km+3)+(m2+3)(16k2－9)=0 －24km－6m2+16×12k2=0,即32k2－4km－m2=0 m=－8k或m=4k(舍去).
因为A2Q⊥MN,所以
所以·8=(y0≠0) (x0－6)2+=4(y0≠0).
所以点Q的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆(去掉点(4,0)和点(8,0)),所以R(6,0),|QR|=2.
3.(13分)已知点F(,0),直线l:x=,点M为曲线C上任意一点,且|MF|与点M到l的距离的比值为.P(x1,y1),Q(x2,y2)是曲线C上的两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=.
(1)求曲线C的方程;
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值,并说明理由.
【解】 (1)设M(x,y),由已知得=|x|,
整理得+y2=1,即为曲线C的方程.
(2)是.理由如下:
①当直线PQ的斜率不存在,即x1=x2,y1=－y2时,由=,得=0,
由P(x1,y1)在椭圆C上,得+=1,
故|x1|=,|y1|=,S△OPQ=|x1||y1－y2|=1.
②当直线PQ的斜率存在时,
设直线PQ的方程为y=kx+b,
由
得(4k2+1)x2+8kbx+4b2－4=0,
x1+x2=,x1x2=.
由+y1y2=0,得2b2－4k2=1,
满足Δ=64k2b2－4(4k2+1)(4b2－4)=16(4k2+1－b2)>0,
所以S△OPQ=·|PQ|
=|b|
=2|b|·=1.
故△OPQ的面积S为定值.
4.(13分)(2025·重庆九龙坡模拟)已知F1(－2,0),F2(2,0),M是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点M的对称点为N,线段F1N的中垂线与直线F2N相交于点T,记点T的轨迹为
曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F2且斜率为k的直线l交曲线E位于y轴右侧的部分于不同的A,B两点,Q为x轴上一点且满足|QA|=|QB|,试探究是否为定值 若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
【解】 (1)由题意可得|OM|=1,且M为NF1的中点,又O为F1F2的中点,
所以OM∥NF2,且|NF2|=2|OM|=2,连接F1T,
由垂直平分线的性质可得|TN|=|TF1|,
所以||TF2|－|TF1||=||TF2|－|TN||=|NF2|=2<|F1F2|=4,
所以点T的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,a=1,c=|F1F2|=2,所以b2=c2－a2=3,
所以曲线E的方程为x2=1.
(2)是.理由如下:直线l方程为y=k(x－2),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消y可得(3－k2)x2+4k2x－4k2－3=0,
由直线交双曲线E的右支于A,B两点,可得3－k2≠0,Δ=36(k2+1)>0,x1+x2=>0,
x1x2=>0,
所以k2－3>0,
解得k>或k<,
则=,=k(2)=,
即AB的中点坐标为(,),
因为Q为x轴上一点,满足|QA|=|QB|,故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点,AB的垂直平分线的方程为y=(x),令y=0,得x=,
即Q(,0),
所以|QF2|=|2|=,
又|AB|=·
==,
又因为A,B在双曲线的右支上,
故|AF1|－|AF2|=2a=2,
|BF1|－|BF2|=2,
故|AF1|+|BF1|－|AF2|－|BF2|=4,
即|AF1|+|BF1|－4=|AB|,
故===1,
即为定值,定值为1.
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第二课时　定值问题
考点一　长度、距离、面积为定值
(1)求椭圆S的标准方程.
(2)设过原点O的两条直线l1和l2,l1⊥l2,l1与椭圆S交于A,B两点,l2与椭圆S交于M,N两点.求证:原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
(2)【证明】 由题意知A,O,B共线,M,O,N共线,且AB⊥MN,又由椭圆的对称性,知|OA|=|OB|,|OM|=|ON|,
所以四边形AMBN为菱形,且原点O为其中心,AM,BN为一组对边,
因此原点O到直线AM和到直线BN的距离相等.
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性,不妨设A在第一象限或x轴、y轴正半轴上.
①当直线AM的斜率为零或不存在时,四边形AMBN为正方形,直线AB和直线MN的方程分别为y=x和y=－x,且AM∥x轴或AM∥y轴.
设A(m,m)(m>0),则M(m,－m)或M(－m,m),
圆锥曲线中求长度、距离、面积为定值的问题,先利用弦长公式、点到直线的距离公式将题目探求的量表示出来,然后利用题设条件化简、变形求出定值.如果求凸多边形的面积,可以将其分割成若干个三角形分别求解.
解题策略
(1)求双曲线C的方程.
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,O为坐标原点,证明:△OPQ的面积为定值.
考点二　斜率、向量数量积或其他代数式为定值
(1)求椭圆C的方程;
圆锥曲线中求斜率、向量数量积或其他代数式为定值的问题,依题设条件得出与代数式参数有关的等式,代入代数式后化简即可得出定值.涉及角度的问题可以转化为向量或斜率表达式来求解.
解题策略
(1)求椭圆C的方程.
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E,F 两点(点E在第一象限),P,Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点,始终保持∠QEF=∠PEF,求证:直线PQ的斜率为定值.
课时作业
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
长度、距离、面积为定值 2,3
斜率、向量数量积或其 他代数式为定值 1,4
(1)求曲线C的方程;
(1)求C的方程.
(2)设点P是直线l:x=2上除(2,0)外的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.
(2)【证明】 设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线MN斜率存在且不为0,故设直线MN的方程为y=kx+m(k≠0).
代入9x2－16y2=9×16得,
(9－16k2)x2－32kmx－16(m2+9)=0,9－16k2≠0,Δ=576(m2+9－16k2)>0,
(1)求曲线C的方程;
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值,并说明理由.
4.(13分)(2025·重庆九龙坡模拟)已知F1(－2,0),F2(2,0),M是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点M的对称点为N,线段F1N的中垂线与直线F2N相交于点T,记点T的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
【解】 (1)由题意可得|OM|=1,且M为NF1的中点,又O为F1F2的中点,
所以OM∥NF2,且|NF2|=2|OM|=2,连接F1T,
由垂直平分线的性质可得|TN|=|TF1|,
所以||TF2|－|TF1||=||TF2|－|TN||=|NF2|=2<|F1F2|=4,
又因为A,B在双曲线的右支上,
故|AF1|－|AF2|=2a=2,
|BF1|－|BF2|=2,
故|AF1|+|BF1|－|AF2|－|BF2|=4,
即|AF1|+|BF1|－4=|AB|,

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