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第三课时　最值与范围问题
考点一　最值问题
[例1] (2023·全国甲卷)已知直线x－2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值.
(1)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建立目标函数,再化简、换元,利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数等方法求最值.
(2)若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,如直线过定点或动点轨迹为一个圆等,则考虑利用图形性质来解决.根据曲线的定义、几何性质,把所求的量转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离、定点到圆上一点的距离等,利用两点间线段最短,或垂线段最短,或切线斜率最大(小)等找到取得最值的临界条件,得出最值.
[针对训练] (2025·江苏泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为e,点(1,e)在椭圆上,过椭圆的焦点且与x轴垂直的直线被椭圆Γ截得的弦长为 e.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线y=kx+m(k≠0)与椭圆Γ相交于A,B两点,点A不在x轴上,点A关于x轴的对称点为A′,求△OA′B的面积的最大值.
考点二　范围问题
[例2] (2025·山东泰安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(,),P2(0,1),
P3(1,),P4(1,－)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,过点Q(2,0)的直线l与椭圆C相交于M,N两点,求△OMN面积的取值范围.
解决圆锥曲线中的取值范围问题的方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
[针对训练] (2025·四川遂宁模拟)已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,抛物线在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2,直线l1与直线l2交于点M,当直线l的倾斜角为45°时,|AB|=4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设线段AB的中点为N,求的取值范围.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
最值问题 1,2
范围问题 3,4
1.(12分)(2025·山东聊城模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,点P(x0,)在E上,且P到l的距离与P到原点O的距离相等.
(1)求E的方程;
(2)A,B,C,D是E上异于原点O的四个动点,且·=·=－4,若OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N,求|MN|的最大值.
2.(12分)(2025·四川成都模拟)已知椭圆C:+=1(0(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点Q(0,1),设直线AQ和BQ的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=0,求△QAB的面积的最大值.
3.(13分)(2025·陕西商洛模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,实轴的左、右顶点分别为A1,A2,虚轴的上、下顶点分别为B1,B2,且四边形A1B1A2B2的面积为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知直线l:y=kx+m(km≠0)与C交于P,Q两点,若|B1P|=|B1Q|,求实数m的取值范围.
4.(13分)(2025·江苏宿迁模拟)已知双曲线M:=1(a>0,b>0)的右顶点为P,过点P且与x轴垂直的直线交一条渐近线于点Q(1,2).
(1)求双曲线M的方程;
(2)过点Q作直线l与双曲线M相交于A,B两点,直线PA,PB分别交直线y=2于C,D两点,求+的取值范围.
第三课时　最值与范围问题（解析版）
考点一　最值问题
[例1] (2023·全国甲卷)已知直线x－2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值.
[溯源探本] 本例题源于北师大版选择性必修第一册P90复习题二B组T5.
【解】 (1)设A(xA,yA),B(xB,yB),
由可得y2－4py+2p=0,由Δ>0,得p>,
所以yA+yB=4p,yAyB=2p,
所以|AB|=×=4,
即2p2－p－6=0,因为p>,解得p=2.
(2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,
设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
由可得y2－4my－4n=0,
Δ=16m2+16n>0 m2+n>0,
所以y1+y2=4m,y1y2=－4n.
因为·=0,
所以(x1－1)(x2－1)+y1y2=0,
即(my1+n－1)(my2+n－1)+y1y2=0,
整理得(m2+1)y1y2+m(n－1)(y1+y2)+(n－1)2=0,
将y1+y2=4m,y1y2=－4n代入,得4m2=n2－6n+1,4(m2+n)=(n－1)2>0,
所以n≠1,且n2－6n+1≥0,
解得n≥3+2或n≤3－2.
设点F到直线MN的距离为d,
所以d=,
|MN|==
|y1－y2|=·=
·=
2|n－1|,
所以△MFN的面积为S=|MN|·d=××2|n－1|=(n－1)2,
而n≥3+2或n≤3－2,
所以当n=3－2时,
△MFN的面积最小,且为=12－8.
(1)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建立目标函数,再化简、换元,利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数等方法求最值.
(2)若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,如直线过定点或动点轨迹为一个圆等,则考虑利用图形性质来解决.根据曲线的定义、几何性质,把所求的量转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离、定点到圆上一点的距离等,利用两点间线段最短,或垂线段最短,或切线斜率最大(小)等找到取得最值的临界条件,得出最值.
[针对训练] (2025·江苏泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为e,点(1,e)在椭圆上,过椭圆的焦点且与x轴垂直的直线被椭圆Γ截得的弦长为 e.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线y=kx+m(k≠0)与椭圆Γ相交于A,B两点,点A不在x轴上,点A关于x轴的对称点为A′,求△OA′B的面积的最大值.
【解】 (1)因为点(1,e)在椭圆上,且e=,
所以+=1.
又因为过椭圆的焦点且与x轴垂直的直线被椭圆Γ截得的弦长为e,
所以=,即c=b2,
代入+=1,得a2=1+2b2.
再由a2=b2+c2,
可得1+2b2=b2+2b4 2b4－b2－1=0 (2b2+1)(b2－1)=0,解得a2=3,b2=1,故椭圆Γ的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),所以A′(x1,－y1),直线OB的方程为y2x－x2y=0,则点A′到直线OB的距离为,
所以△OA′B的面积S=·=|x1y2+x2y1|.
因为点A,B在直线y=kx+m(k≠0)上,
所以S=|x1(kx2+m)+x2(kx1+m)|=|2kx1x2+m(x1+x2)|.
由
得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2－1)=0,
所以Δ=12(3k2－m2+1)>0,
x1+x2=－,x1x2=.
因为k≠0,所以S=|2k·+m(－)|==≤=,
当且仅当k=±时,等号成立,所以△OA′B的面积的最大值为.
考点二　范围问题
[例2] (2025·山东泰安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(,),P2(0,1),
P3(1,),P4(1,－)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,过点Q(2,0)的直线l与椭圆C相交于M,N两点,求△OMN面积的取值范围.
【解】 (1)由椭圆的对称性可知P3,P4都在椭圆C上,
将其代入椭圆方程得+=1.(*)
若点P1在椭圆上,则+=1,
显然+>+=1,
所以点P1不在椭圆上,故点P2在椭圆上,
此时有+=1,即b=1,
代入(*)中得a=,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意知,直线l的斜率不为0,设其方程为 x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立直线与椭圆方程得(m2+2)y2+4my+2=0,
Δ=16m2－8(m2+2)=8(m2－2)>0,即m2>2,
所以y1+y2=－,y1y2=.
S△OMN=×2|y1－y2|=|y1－y2|
==,
令=t>0,则m2=t2+2.
则S△OMN==≤=,
当且仅当t=2,m2=6时,等号成立,
所以△OMN面积的取值范围为(0,].
解决圆锥曲线中的取值范围问题的方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
[针对训练] (2025·四川遂宁模拟)已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,抛物线在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2,直线l1与直线l2交于点M,当直线l的倾斜角为45°时,|AB|=4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设线段AB的中点为N,求的取值范围.
【解】 (1)当l的倾斜角为45°时,则l:y=x+2,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),由
可得x2－2px－4p=0,
所以x1+x2=2p,x1x2=－4p,
所以|AB|==|x1－x2|=×==4,即p2+4p－12=0.
因为p>0,解得p=2.
从而抛物线C的方程为x2=4y.
(2)由题意可知直线l斜率存在,设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由
可得x2－4kx－8=0,则Δ=16k2+32>0,
所以x1+x2=4k,x1x2=－8.
于是xN==2k,yN=2k2+2,
即N(2k,2k2+2),
而|AB|=|x1－x2|=
=
4,
由C:x2=4y,则y′=,于是抛物线C在点A处的切线l1的方程为y－=x1(x－x1),
即y=x1x－,同理可得,在点B处的切线l2的方程为y=x2x－,
联立解得
于是M(2k,－2),
则|MN|=2k2+4.
从而==2=2∈[,2),
所以的取值范围是[,2).
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
最值问题 1,2
范围问题 3,4
1.(12分)(2025·山东聊城模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,点P(x0,)在E上,且P到l的距离与P到原点O的距离相等.
(1)求E的方程;
(2)A,B,C,D是E上异于原点O的四个动点,且·=·=－4,若OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N,求|MN|的最大值.
【解】 (1)设抛物线E的焦点为F,点P到l的距离为d,则|PF|=d.
由题可得|PO|=d=|PF|,所以x0=,
故()2=2p·,p>0,
所以p=2,即E的方程为y2=4x.
(2)设直线AB的方程为x=my+n,
由得y2－4my－4n=0,
Δ=16m2+16n.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1y2=－4n,x1x2==n2,
所以·=x1x2+y1y2=n2－4n=－4,解得 n=2,满足Δ>0,
所以直线AB的方程为x=my+2,故直线AB过定点Q(2,0).
当m≠0时,∠OMQ=90°,点M在以OQ为直径的圆上;
当m=0时,点M与点Q重合,点M在以OQ为直径的圆上.
综上,点M总在以OQ为直径的圆上,同理点N总在以OQ为直径的圆上.
因此|MN|的最大值为圆的直径2.
2.(12分)(2025·四川成都模拟)已知椭圆C:+=1(0(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点Q(0,1),设直线AQ和BQ的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=0,求△QAB的面积的最大值.
【解】 (1)设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由已知可得解得故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)如图所示,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2－8=0,由题意知直线l不过点Q,即m≠1.Δ=16k2m2－4(2k2+1)(2m2－8)=64k2－8m2+32>0,可得m2<8k2+4,且m≠1.
由根与系数的关系可得x1+x2=－,x1x2=,kAQ===k+.同理可得kBQ=k+,kAQ+kBQ=2k+=2k－=0,化简得k(m－4)=0,因为k≠0,所以m=4.所以8k2+4>16,即k2>,设直线l过定点D(0,4),
则S△QAB=|DQ|·|x1－x2|==
=×==≤
=,当且仅当=,即k2=时,等号成立.故△QAB的面积存在最大值,且最大值为.
3.(13分)(2025·陕西商洛模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,实轴的左、右顶点分别为A1,A2,虚轴的上、下顶点分别为B1,B2,且四边形A1B1A2B2的面积为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知直线l:y=kx+m(km≠0)与C交于P,Q两点,若|B1P|=|B1Q|,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由双曲线的几何性质可知,四边形A1B1A2B2是菱形,且|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,
所以四边形A1B1A2B2的面积为×2a×2b=2,①
又离心率e==2,②
a2+b2=c2,③
联立①②③可得a=1,b=,c=2,
所以双曲线C的标准方程为x2－=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),B1(0,),
线段PQ中点M(x0,y0),
联立
消去y整理可得(k2－3)x2+2kmx+m2+3=0,
所以
即m2－k2+3>0,且k≠±,④
所以x1+x2=,x1x2=.
所以x0=,y0=kx0+m=.
因为|B1P|=|B1Q|,所以B1M⊥PQ.
所以===－,
所以3－k2=m.⑤
又k2=3－m>0,⑥
由④⑤⑥得m<－或0所以实数m的取值范围是(－∞,－)∪(0,).
4.(13分)(2025·江苏宿迁模拟)已知双曲线M:=1(a>0,b>0)的右顶点为P,过点P且与x轴垂直的直线交一条渐近线于点Q(1,2).
(1)求双曲线M的方程;
(2)过点Q作直线l与双曲线M相交于A,B两点,直线PA,PB分别交直线y=2于C,D两点,求+的取值范围.
【解】 (1)因为双曲线M:=1的渐近线方程为y=±x,
所以解得
所以双曲线M的方程为x2－=1.
(2)由题知,直线AB的斜率存在,设直线AB方程为y=k(x－1)+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
得(4－k2)x2+2k(k－2)x－k2+4k－8=0,
则4－k2≠0,且Δ=4k2(k－2)2－4(4－k2)(－k2+4k－8)=－64(k－2)>0,
所以k<2,且k≠－2,
则x1+x2=－,x1x2=.
因为PA的方程为y=(x－1),
由题意得y1≠0,则k≠1,
所以{k|k<2,且k≠－2,k≠1}.
令y=2得C(+1,2),
同理D(+1,2).
所以|QC|=|+1－1|=||,
|QD|=|+1－1|=||,
所以+=||+||.
当k∈(1,2)时,C,D都在点Q右侧,
则+=+=
[+]
=k+
=k+=2.
当k∈(－∞,－2)∪(－2,1)时,C,D在点Q两侧,此时与异号,
则+=||
=||=||.
又|x1－x2|===,
所以+=||=2∈(2,4)∪(4,+∞).
综上,+的取值范围为[2,4)∪(4,+∞).
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第三课时　最值与范围问题
考点一　最值问题
(1)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建立目标函数,再化简、换元,利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数等方法求最值.
(2)若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,如直线过定点或动点轨迹为一个圆等,则考虑利用图形性质来解决.根据曲线的定义、几何性质,把所求的量转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离、定点到圆上一点的距离等,利用两点间线段最短,或垂线段最短,或切线斜率最大(小)等找到取得最值的临界条件,得出最值.
解题策略
考点二　范围问题
解题策略
解决圆锥曲线中的取值范围问题的方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
课时作业
(分值:50分)
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知识点、方法 题号
最值问题 1,2
范围问题 3,4

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