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(共27张PPT)
第三章 圆
3.7 切线长定理
理解、掌握切线长定理的概念.（重点、难点）
学习目标
新课导入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？
1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
新课讲解
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.
P
C
O
思考：切线长和切线的区别和联系？
新课讲解
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.
新课讲解
P
A
B
O
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
请你们结合图形用数学语言表达定理
PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
PA = PB
∠OPA=∠OPB
新课讲解
练一练
1.已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.
如图，PA，PB为⊙O的切线．
由题意可知OA＝3 cm，PO＝6 cm，OA⊥PA，∴PA＝ (cm)．
又由切线长定理知PA＝PB，
∴PB＝33 cm.
解：
新课讲解
例
典例分析
如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.
求证：(1)∠APB＝2∠ABC；
(2)AC∥OP.
新课讲解
(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也
可用同位角相等来证．
分析：
新课讲解
(1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
PA＝PB，
∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.
又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB.
∴∠ABP＋∠ABC＝90°.
∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，
即∠APB＝2∠ABC.
证明：
(2)∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.
由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
当堂小练
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是(　　)
A．PA＝PB
B．∠APO＝25°
C．∠OBP＝65°
D．∠AOP＝65°
C
当堂小练
2.如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝ CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是(　　)
A．①②⑤
B．②③④
C．③④⑤
D．①④⑤
A
拓展与延伸
既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是(　　)
A．矩形　 B．菱形　
C．正方形　 D．矩形或菱形
C
1.如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别是A，B.若∠APB＝60°，OA＝3，则OP＝　 　.
　6　
课后练习
2.(北师9下P96)如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于点A，B，CD切☉O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为　 　.
　8　
A.32　 B.34　
C.36　 D.38
3.(北师9下P95改编)如图，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为( )
B
4.(北师9下P96、人教9上P100)(2023韶关期中)如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长.
解：方法1：根据切线长定理，
设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z.
根据题意，得，解得，
即AF＝4，BD＝5，CE＝9.
方法2：设AF＝x，
则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，
BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC，可得(9－x)＋(13－x)＝14.
解得x＝4.
因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.
5.(人教9上P102改编)如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.
(1)求∠BOC的度数；(2)求BE＋CG的长；(3)求☉O的半径.
解：(1)如图，连接OF.
根据切线长定理得
BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.
(2)求BE＋CG的长；(3)求☉O的半径.
(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴由勾股定理得BC＝＝10 cm，
∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8 cm.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，☉O分别内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r＝2，求△ABC的周长.
解：根据切线长定理，得BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF.
如图，连接OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AC，
又∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形，
又∵OE＝OF，∴矩形OECF是正方形，
∴CE＝CF＝r＝2.
又∵BC＝5，∴BE＝BD＝3.设AF＝AD＝x，
∴AC＝x＋2，AB＝x＋3，在Rt△ABC中，
根据勾股定理，得(x＋2)2＋25＝(x＋3)2，
解得x＝10.则AC＝12，AB＝13.
故△ABC的周长是5＋12＋13＝30.
★7. 0.50 如图，以AB为直径的☉O分别与四边形ABCD的边切于点A，B，E，连接DB，DB＝DC.
(1)求证：CE＝2DE；
(2)若☉O的半径为2 ，求S四边形ABCD.
(1)证明：作DF⊥BC于点F，∵DB＝DC，∴CF＝BF.
由题意知AD，BC是☉O的切线，∴∠DAB＝∠ABF＝∠DFB＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF.
又∵DE是☉O的切线，
∴AD＝DE，∴CF＝BF＝AD＝DE，∴BC＝2DE.
∵CE，CB是☉O的切线，∴BC＝CE，∴CE＝2DE.
(2)若☉O的半径为2 ，求S四边形ABCD.
(2)解：设CF＝x，则DE＝x，CE＝2x，
∴CD＝3x.∵DF＝AB＝4 ，
在Rt△DCF中，有(4 )2＋x2＝(3x)2，
解得x＝2，∴AD＝2，BC＝4，
∴S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AB＝(2＋4)×4 ＝12
请完成课本本节对应习题
布置作业
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