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(共36张PPT)
第三章 圆
3.9 弧长及扇形面积
1.弧长公式
2.扇形面积公式.（重点、难点）
学习目标
新课导入
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？
下面我们就来学习本节内容.
新课讲解
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A
被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被
传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
新课讲解
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
l=__________________.
新课讲解
（1）半径为R的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对的弧长是多少？
（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？
（5）n°圆心角所对的弧长是多少？
（1）C=2πR
（2）360°
（3）
（4）n 倍
（5）
也可以用ABl表示AB的长.
n°
o
⌒
⌒
新课讲解
1．弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
2．易错警示：在弧长公式 l＝ 中，n表示1°的n
倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
新课讲解
1.在在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
B
新课讲解
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长
3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
新课讲解
1.半径为R的圆,面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
1. S=πR2
2. 360°
3.
若设⊙O半径为R， n°的圆
心角所对的扇形面积为S，则
A
B
O
思考1：
新课讲解
思考2：扇形面积的大小与哪些因素有关系？
扇形面积的大小与扇形的半径和圆心角有关.
新课讲解
比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：
其中l为扇形的弧长，R为半径.
新课讲解
练一练
如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12 cm，
其中有油的部分油面高 6cm，求截面上有油部分的
面积(结果精确到0.1 cm2).
新课讲解
解：
如图，连接OA，OB. 设OC⊥AB于点C，交圆O于点D.
∵CD＝6 cm，OD＝OA＝12 cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，
AC＝
∴AB＝12 cm，cos ∠COA＝
∴∠COA＝60°. ∴∠AOB＝120°.
∴截面上有油部分的面积为S扇形AOB－S△AOB
＝ ≈88.4(cm2)．
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.弧长的计算公式l＝ 并运用公式进行计算.
2.扇形的面积公式S＝ 并运用公式进行计算.
3.弧长l及扇形的面积S之间的关系，
当堂小练
1.如图，在 ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为(　　)
A. π
B. π
C. π
D. π
︵
B
当堂小练
2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π
B.
C．3＋π
D．8－π
D
拓展与延伸
已知AB所对的圆周角为30°，AB所在圆的半径为30 cm，求AB的长．
∵AB所对的圆周角为30°，
∴AB所对的圆心角为60°，
∴AB的长l＝ ＝10π(cm)．
解：
︵
︵
︵
1.扇形的半径为1.5 cm，圆心角为120°，则该扇形的弧长为
　 　cm.
2.(北师9下P102、人教9上P113)如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径.
　π　
解：设此弧所在圆的半径为r，
由题意得＝6π，解得r＝12，
即此弧所在圆的半径为12.
课后练习
4.(2023新疆)如图，在☉O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB(阴影部分)的面积为　 　.
3.(北师9下P101改编、人教9上P115改编)(2022广东)扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为　 　(结果保留π).
　6π　
　π　
5.如图，已知扇形OAB的半径OA＝4 cm，的长为3 cm，则扇形OAB的面积为　 　.
　6 cm2　
6.(2024广东)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为　 　.
　4－π　
7.【例1】如图，已知AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求弧AC的长.
(1)证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED.
(2)解：∵OC⊥AD，，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∵AB＝10，∴AO＝5，∴弧AC的长为＝2π.
8.(北师9下P100改编、人教9上P111)制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，请计算如图所示的管道的展直长度L(π取3.14).
解：圆弧长＝＝500π≈1 570(mm)，
故展直长度L＝2×700＋1 570＝2 970(mm).
小结：“展直长度”即各部分的圆弧长+线段长.
9.【例3】(2023阳江期末)如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则点C所经过的路线的长是 　.
小结：分析清楚运动的轨迹是解题关键.
π
10.【例4】(北师9下P107、人教9上P116)(2023雅安)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长为30 cm，扇面BD的长为20 cm.求扇面的面积.
解：∵AB的长为30 cm，扇面BD的长为20 cm，
∴AD＝AB－BD＝10(cm)，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC－S扇形DAE
＝(cm2).
11.【例5】(2024成都模拟)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝2 ，求阴影部分的面积.
小结：利用“补形法”求不规则图形的面积.
解：如图，连接OD.
∵CD⊥AB，CD＝2 ，∴CE＝DE＝CD＝，
故S△OCE＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°，∴OD＝2，
故S扇形OBD＝，即阴影部分的面积为
答案图
12.【例6】(2024凉山州模拟)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为 .
小结：利用旋转或平移的性质求不规则图形的面积.
13.(人教9上P115)如图是一段管道，其中直管道部分AB的长为3 000 mm，弯形管道部分弧BC，弧CD的半径都是1 000 mm，∠O＝∠O'＝90°，计算图中中心虚线的长度(π取3.14).
解：的长＝的长＝＝500π(mm)，
故中心虚线的长度为3 000＋500π×2
＝3 000＋1 000π≈3 000＋1 000×3.14＝6 140(mm).
★14. 0.50 (创新题)如图，将边长为8 cm的正方形ABCD的四边沿BC所在的直线向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是
　 cm.
(16π＋8π)　
15.(北师9下P101、人教9上P112)如图，水平放置的圆柱形水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积(结果保留π和根号).
提示：S＝0.3＝(m2).
17.(创新题)如图，AB为☉O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.
(1)求证：△AFO≌△CEB；
(2)若BE＝4，CD＝8
①☉O的半径为　 　；
②求阴影部分的面积.
　8　
(1)证明：∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，
，∴∠A＝∠DCB，
∵OF⊥AC，∴∠AFO＝∠CEB＝90°，
∵OF＝BE，∴△AFO≌△CEB(AAS).
(2)解：②如图，连接OD.由①，知OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°.∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△CEB，∴S阴影＝S扇形OCD－S△OCD
＝8 4＝π－16
②求阴影部分的面积.
★18. 0.50 (创新题)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B’.
若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 .
请完成本课本节对应习题
布置作业
谢谢大家

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