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8.1向量的数量积
——高一数学人教B版(2019)必修三期末易错题集训
【易错知识点】
1.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
2.向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
【易错题集训】
1.已知向量，，则( )
A.20 B. C. D.26
2.已知向量a，b满足，，且.若，则( )
A.2 B. C. D.
3.已知向量a，b满足，，且，则( )
A. B. C. D.1
4.已知向量a，b满足，，，则( )
A.5 B. C. D.20
5.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，若向量c满足，且c在a上的投影向量为，则( )
A.3 B.4 C. D.
7.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若a与b方向相反，则
B.若，则
C.若，则b在a上的投影向量的坐标为
D.若，则a与b的夹角的余弦值为
8.（多选）如图，是边长为1的等边三角形，，点P在以CD为直径的半圆上，设，则( )
A.y的值不可能大于1 B.
C.的最小值为 D.的最大值为1
9.如图所示，两个边长为2的等边三角形，有一条边在同一条直线上，则________.
10.已知，，，则a与b的夹角为__________.
11.已知向量，，若a在b上的投影向量为，则___________.
12.已知平面向量a，b满足，，且b在a上的投影向量为，则为__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，所以.因为，所以.又，所以.
2.答案：A
解析：由题意得，且.，，则，解得.故选A.
3.答案：B
解析：，，即.
又，，.又，，，故选B.
4.答案：C
解析：因为，，，所以，所以，所以，所以.故选C.
5.答案：C
解析：因为，所以，所以，则，，所以，所以，，（另解：）故，故选C.
6.答案：B
解析：解法一：设，则.因为，所以，得①.因为c在a上的投影向量为，所以，得②.由①②得，，故，所以，故选B.
解法二：如图，在平面直角坐标系xOy中，令，，，过点D作交x轴于点C，则在中，，，故，所以，连接AC，故直线AC的斜率为，又直线OB的斜率为，所以，即，故，则，故选B.
7.答案：AC
解析：选项A：若a与b方向相反，则，解得，故A正确.
选项B：若，则，解得，故B错误.
选项C：若，则，，所以b在a上的投影向量的坐标为，故C正确.
选项D：若，则，，所以a与b的夹角的余弦值为，故D错误.
8.答案：BD
解析：对于A，过点P作交AC的延长线于，过点P作交AB于，如图1，
在平行四边形中，，由，知，因此A错误；
对于B，，因此B正确；
对于C、D，如图2，取CD的中点E，连接AE，EP，
，
在等边三角形ABC中，易知，，，
设与的夹角为，易知，
则，
所以，因此C错误，D正确.故选BD.
9.答案：12
解析：依题意，，
因为三角形是等边三角形，
.
故答案为：12.
10.答案：
解析：因为，所以，所以，即，所以.因为，所以a与b的夹角为.
11.答案：
解析：a在b上的投影向量为，故，即，故，则.
12.答案：
解析：因为b在a上的投影向量为，因此，又，所以，又，
所以.

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