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202合5

肥届一高中三2考8～前3热0日身高模考拟保卷温（卷I 卷） A. ,
1 1 1
B. ,

C. ,1 , D.
2 2 2
数 学 试 卷 8. 已知点 P(2,0)，A，B是 O : x2 y2 36与 x轴的交点，点 Q满足：以 PQ为直径的圆与 O相切，
则△QAB面积的最大值为（ ）
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答 A. 12 B. 12 3 C. 36 D. 24 2
题卡上。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。 全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 9．下列结论正确的是（ ）
上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
4. 本试卷共 2页，共 19题，满分 150分。考试用时 120分钟。 A．若样本数据m1,m2 , ,mn的平均数为 3，则 4m1 1,4m2 1, , 4mn 1的平均数为 11
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 B．若随机变量 X ~ N 4, 2 ，且 P(X 6) 0.3，则 P(2 X 4) 0.2
题目要求的。
C．一组数据 1，2，4，7，8，10，11的第 70百分位数为 9
1. 若复数 z (1 i)(2 i)（ i为虚数单位），则 z （ ） 1
D．已知随机变量Y 服从二项分布B(n, p)，若E(Y ) 30，D(Y ) 20，则 p
3
A. 2 B. 2 C. 10 D. 10
10．在△ABC中，内角 A,B,C的对边分别为a，b，c，有a 2，且2b c 2acosC，则下列结论正
2. 设集合 A x∣x2 9 0 ，B x∣x m ，若 A B，则实数m的取值范围是（ ）
确的是（ ）
A. ,3 B. ,3 C. , 3 D. , 3 A． A 2π 4π B．△ABC外接圆的面积为
3 3

3. a ,b ,c b a

已知 均为单位向量，且 c，则 a与 c夹角的大小是（ ） 4 3
C．△ABC周长的最大值为 4 D．若满足条件的△ABC存在两个，则b
π π π 2π
2, 3
A. B. C. D.
6 3 2 3
x y
4. 已知圆台的上、下底面的面积分别为9π,25π，侧面积为 24π，则该圆台的高为（ ） 11．在平面直角坐标系中，点P x, y 在角 的终边上，定义C ,S ，则（ ）x y x y
A. 8 B. 3 C. 5 D. 4 A． S 2 C 2 1
2 65. x

的展开式中，含 x
3项的系数为（ ） B．C S
x2 2
A. 12 B. 6 C. 12 D. 6
C． S C



2C 对
0, 恒成立
6. 设函数 f x 1 x a ln x，若 f x 有两个极值点b，c，则a b c的取值范围是（ ） 4 4 4
x
A. 1,4 B. 4, C. 4, D. , 4 (4, ) D． S 2 2S C 对 0, 恒成立
4
x
7.已知函数 f x 2 1, x 0, x 则 f x 2 f 3x 0的解集是（ ） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 2 , x 0,
2 2
12. 已知双曲线C : x y2 2 1 a 0,b 0 的渐近线互相垂直，则双曲线C的离心率为 .a b
数学试卷 · 第 1页 （共 4页） 数学试卷第·2页 （共 4页）
13．定义在 R上的函数 f (x)满足 f x 1 2 f (x)，且当 x 0,2 时， f (x) 2 x （其中 x 表示不 （2）已知当前每次测试成功的概率为 0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：
7 方案一：测试 4次；方案二：先测试 3次，如果这 3次中成功次数小于等于 2次，则再测试 2次，否
超过 x的最大整数），则 f ( ) .
2 则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
14. 已知数列 an 1 n 11 满足：对任意 n 2,3, ,10 ，都有2an an 1 an 1或2an 1 an an 1 .若
a 31 ，a2 2， a9 0，a10 0，则 a11的最大值为 .2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13分） 18.（本小题满分 17分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn， an 0，且a1 1，4S 2n anan 1 1． 已知F为抛物线 ：y mx m 0 的焦点，A，B，C是 上三个不同的点，直线 AB，BC，AC分
（1）求 an 的通项公式； 别与 x轴交于F ，D，E，其中 AB 的最小值为 4.
2 b b 2n（ ）若数列 n 满足 n an，求数列 b （1）求 的标准方程；n 的前 n项和 Sn．
（2）△ABC的重心G位于 x 3轴上，且D，G，E的横坐标分别为 d，g，e， g d e是否为定值？
2
若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
16.（本小题满分 15分）
如图所示，△ABC内接于圆O，AB为圆O直径，CD 平面 ABC，AB 10，BC 1，CD 2，E
为线段 AD中点.
1 ACD CBE 19.（本小题满分 17分）（ ）求证：平面 平面 ；
（2）求四面体 E ABC的体积； 已知 k R ，f x 1 x3 kx 2 .设 A是曲线 : y f x 上的一点，若存在 上的另一点 B，使得直线 AB
3
（3）求平面CBE与平面DBE所成角的余弦值.
是曲线 在点 A处的切线，则称 B为 A的一个“上位点”.现有曲线 上的一列点M1 ,M2 , ,Mn , ，
使得对任意正整数 n，Mn都是Mn 1的一个“上位点”.
（1）若 k 0，判断原点O是否有“上位点”，并说明理由；
17.（本小题满分 15分）
M 3N
在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影 （2）设 l是曲线 在M1处的切线，且 l交直线M2M3于点N，求 M ；2M 3
响．
（3）若M 的坐标为 3 , 0 ，记点Mn到直线 y m1 的距离为 dn .是否存在m和正整数T，使得无穷数列
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为 0.6．某
天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为 0.3，处于嘈杂环境的概率为 0.7． dT , dT 1 , , dT n , 单调递减？若存在，求出m的所有可能值；若不存在，请说明理由.
（ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
数学试卷 · 第 3页 （共 4页） 数学试卷第·4 页 （共 4页）2025合届肥高一三中考28前～热30身日模高拟考 1卷保（温一卷） 所以解集为 , .故选：A 2
数学参考答案 8.D【详解】设以PQ为直径的圆的圆心为M ，取 F( 2,0) 1，显然两圆内切， OM 6 PQ ,又 OM
2
一、选择题
是△QFP 1 1 1的中位线， OM QF ， QF 6 PQ QF QP 12 FP 4，则由椭圆定义
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 2
答案 D B B C A B A D ABD BD ABD 知点Q轨迹是以F、P为焦点的椭圆，且 a 6， c 2， b 4 2，因此点Q纵坐标最大值为 4 2，
1.D【详解】法 1： z (1 i)(2 i) 2 i 2i i 2 3 i ， z 9 1 10 ；
QAB 1面积的最大值为 12 4 2 24 2 .故选：D
法 2： z (1 i)(2 i) (1 i) (2 i) 2 5 10 .故选：D. 2
二、多选题
2.B【详解】由 x2 9 0可得 A 3,3 ， A B， 3 m，故 B正确.故选：B
9.ABD【详解】对于 A，令数据m ,m , ,m 的平均数为 ，数据 4m 1,4m 1, , 4m 1的平均数为 ，
3.B

2 2
1 2 n x 1 2 n y
【详解】由b a c，得b (a c) b 2 a2 c 2 2a c， a
,b ,c 为单位向量， | a | | b | | c | 1，
则
y 4x 1 11
，所以 A正确；
1
代入上式得 a c ， cos
a c 1
a,c ， 0 a ,c ， a ,c ，故选：B.
2 a c 2 3 对于 B，由正态曲线的对称性，可得P(X 2) P(X 6) 0.3，
4.C【详解】由题意得圆台的上，下底面的半径分别为 3，5，设圆台的母线长为 l，高为 h，则该圆台 1 P(X 2) P(X 6)则P(2 X 4) 0.2，所以 B正确；
2
的侧面积 S π 3 5 l 24π l 3， h l 2 (5 3)2 5 .故选：C.侧
对于 C，由7 70% 4.9，则第 70百分位数为由小到大排列的第 5个数 8，所以 C错误；
6
5.A 2【详解】 x
2
展开式的通项为T C
k x6 k ( )k ( 2)kCk x6 3kk 1 6 ，令2 2 6 6 3k 3 k 1，则含x x
3
x np 30对于 D，由E(Y ) 30,D(Y ) 20 1，可得 ，解得 p ，所以 D正确；
np(1 p) 20 3
项的系数为 ( 2)C16 12，故选：A
故选：ABD.
6.B【详解】 f x 定义域为 0, ， f x 1 1 a x
2 ax 1
， 10.BD【详解】对于 A：由2b c 2acosC 2sin B sinC 2sin AcosC
x2 x x2
2sin(A C) sinC 2sin AcosC 2sin AcosC 2cos AsinC sinC 2sin AcosC
f x 有两个极值点b,c等价于 x2 ax 1 0在 0, 上有两个不等实根b,c，
a2 4 0 2cos AsinC sinC，C (0, ) , cos A
1
， A (0, ), A ，故 A错误；

b c a，bc 1，且 b c 0 ， a 2， a b c 2a 4， 取值范围是 4, 2 3.故选：B

bc 0
R a 2 2 3对于 B：由正弦定理可得 ABC外接圆的半径 ，所以△ABC外接圆的面积为7.A【详解】当 x 0时， x 0， f x 1 2x f (x)；当 x 0时， x 0， f x 2 x 1 f (x)； 2sin A 32 3
2
且当 x 0时， f x 0， f x 为奇函数，易知 f x 为R上的递增函数，
πR2 4π ，故 B正确；
3
则 f x 2 f 3x 0 f x 2 f 3x f x 2 f 3x 1， x 2 3x x ，
2
C a b对于 ：由余弦定理得 4 b2 c2 bc 4 (b c)2 3bc (b c)2 4 3bc 3bc 3( )2，
2
2 2 b
(b c)2 4 3 (b c) (b c) 4 b c 4 ，当且仅当 b c时等号成立， a b c 6，所以 与条件矛盾.故数列 a 中任意相邻两项均不相等， n 1 n 1,
1
.
4 4 b

n 2
△ABC周长的最大值为 6，故 C错误； 1
要求 a11的最大值，只需要考虑 a11 0的情况.b1 a2 a1 ，b a 0,b a 0 .
3 2
9 9 10 11
3 b 2 4 3
对于 D：欲使这样的△ABC有两个，则 b a b 2 2 b ，故 D正确；2 3 b b10 b9 b2 b b10 0, b9 0 b b b2 b 于 是 ， 考 虑 到 ， 故 10 , 9 , , 2
1
10 中 至 少 有 2 个 ， 故b9 b8 b
1
1 b9 b1 b9 b8 b

1 2
故选：BD.
1 2b 7 1 1
1 3 7
11.ABD P cos , sin . 10 1 ，于是a11 b10 .当数列 an 为 , 2, ,
3 , 5 ,1, 3 , 1 , 1 ,0, 1时符合题意.
【详解】不妨设 2 2 8 8 2 4 2 4 4 2 4 8
sin2S 2 C 2 cos
2 1
对于 A， 1 A 1， 正确； 综上， a
2cos sin 1 sin 2 11
的最大值为 .
8
cos
2 sin
对于 B，C
S ，B正确； 四、解答题
2 cos sin sin cos
2 2 15．解：（1）因为数列 的前 n项和为 Sn，且 a1 1， 4Sn anan 1 1，
sin cos 当n 2时，可得 4S a a n 1 n 1 n
1，两式相减得 4an an an 1 an 1 ，
C
4 4
对于 ，当 0, 时， S C

1，与 2C 不恒相等，
4 4 4

因为 a 0，故 acos sin n n 1 an 1 4
，所以 a1,a3 , ,a2n 1, 及 a2 ,a4 , ,a2n , 均为公差为 4的等差数列：
4 4
当 n 1 时 ， 由 a 1 S
a1a及 2 1C错误； 1 1 ， 解 得 a2 3 ， 所 以 a2n 1 1 4 n 1 2 2n 1 1 ，4
对于 D，当 S 2
sin 2 sin 2 2sin cos
0, 时， 2S C
4 cos 2 sin 2 1 sin 2
，D正确； a 3 4 n 1 2 2n 1，所以数列 的通项公式为 a 2n 1
. 6分
sin cos 2 2n n
故选：ABD. （2）由（1）得bn 2
nan (2n 1) 2
n 1，
三、填空题 所以 S b b b b b S 1 2 3 22 5 23 (2n 3) 2n 1n 1 2 3 n 1 n n (2n 1) 2
n ,
2 2
12. 2 【详解】C :
x y
1 a 0,b 0 b的渐近线方程为 y x，当C的渐近线互相垂直时，则 2S 2 3 4 n n 1
a2 b2 a n
1 2 3 2 5 2 (2n 3) 2 (2n 1) 2
n 1
b b c a2 b2
8 1 2
两式相减得 S 2 23 24 2n 1

1，故b2 a2，因此离心率为 e 2 ,故答案为： 2 n (2n 1) 2
n 1 2 (2n 1) 2n 1 6 3 2n 2n 1 ，
a a a a 1 2
所以 Sn 2n 3 2n 1 6 . 13分
13.4【详解】由 f x 1 2 f (x)可得 f (7) 5 2 f ( ) 4 f (3) 4 3 (2
2 2 2 2
) 4 (2 1) 4，故答案为：4

14. 1 1 16．解：（1） 内接于圆O, AB为圆 的直径， .【详解】记bn an 1 an ，则b b
ABC O AC BC
8 n 1 n
或bn 1 b2 n
.
CD 平面 ABC ,BC 平面 ABC， CD BC .
若数列 an 中存在相邻两项相等，记 ak ak 1 a 1 k 10 ，则bk 0 ,从而有bn 0，an a 1 n 11 ，
又 AC,CD 平面 ACD, AC CD C，所以BC 平面 ACD .
BC 平面CBE， 平面CBE 平面 ACD . 4分 （ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，则当天处于安静环境的概率
P AB P B | A P A 0.27 9
2 , 1 3 P A | B ； 7分（ ）由题意得，AC 3 S ABC 3 1 ，又 CD 平面 ABC，CD 2，E为 AD的中点， 点 E P B P B 0.69 232 2
（2）设每次测试成本固定为 a，
到平面 ABC d 1 1 1 3 1的距离 CD 1， VE ABC S2 3 ABC
d 1 . 8分
3 2 2 设方案一和方案二测试成本分别为 X ,Y，
（3） CD 平面 ABC, AC,BC 平面 ABC， CD AC,CD BC .如图，以C为坐标原点建立空间直 方案一：测试 4次则 X 测试 4次 E X 4； 10分
角坐标系， 方案二：Y可取3,5，
P Y 3 0.8 0.8 0.8 0.512， P Y 5 1 0.8 0.8 0.8 0.488，
随机变量Y的分布列如下表所示：
Y 3 5
P 0.512 0.488
则C(0,0,0, ), A 3,0,0 ,B 0,1,0 ,D 0,0, 2 ,E 3 , 0,1

， 所以2 E Y 3 0.512 5 0.488 3.976．
3
所以 E X E Y ，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，
CE , 0,1 ,CB 0,1,0 ，BD 0, 1,2 ,BE
3
, 1,1

， 10分
2 2 所以应选择方案二． 15分

设平面CBE的法向量m x1, y1, z1 ，
3 18．解（: 1）因为直线 AB通过抛物线 的焦点F，所以线段 AB为抛物线 的焦点弦，如图，设 A x1, y1 ， m CE 0, x1 z1 0, 由 得 2 不妨设 z1 3，则m 2,0, 3 .
m CB 0, y1 0, B x1, y1 ，线段 AB的中点M x0 , y0 ，由抛物线的定义可得 AB x x
m 2x m 1 2 0 ，2 2

设平面 BDE的法向量 n x2 , y2 , z2 ， 由平面几何的性质得当且仅当 AB x轴时， AB 取得最小值为m，所以m 4，
n BD 0, y2 2z 2
0,
2
由 得 3 不妨设 z2 3，则 n 2,6,3 .
所以抛物线 的标准方程为 y 4x .. 6分
n BE 0, x2 y z 2 2
0,

设平面CBE与平面DBE所成角为 ，则 cos = cos ,n > m n 4 9 5 13 ，m n 13 7 91
（2）
即平面CBE与平面DBE所成角的余弦值为 5 13 . 15分
91
17．解：（1）（ⅰ）记事件 A是“安静环境”，则 A是“嘈杂环境”，记事件 B是“语音识别成功”. 依题知直线 AB的倾斜角不为 0，则设直线 AB的方程为 x ky 1.
所以 P B P B | A P A P B | A P A 0.3 0.9 0.7 0.6 0.69； 4分
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，C x3 , y3 ，
16k 2 16 0
x ky 1 2 22 y y t t t t
2 k t t
由 2 ，得 y 4ky 4 0，则 1 2 4k ， .............9
9
分 3 1 1 3 3 1 3 . 代入 t1 4t3 3k ，得 x0 t3 t3 k .
y 4x x 0 5
y1 y t2 4 1 t3 2k
y y y M N x t 3
因为 ABC的重心G位于 x轴上，所以 1 2 3 0， 于是 3 0 3 . 10分
3 M 2M 3 t3 t2 5
所以 y 4k， x 4k 23 3 ，所以C 4k 2 , 4k ， ..............11分 （3）将 3 , 0 代入 y f x ，解得 k 1 .

y
2
3 y
2
1 y
2 * 1由（ ）得，t 1 t 1 .因此 n 1 2 n，AC x d f t m
.令u t 1，则u 22 n 单调
3 x1, y3 y1 , y3 y1 ，EA x1 e, y 1 e, y n 1
n tn 1 1 2
1 1 ，

2 n n n n n
4 4
递减.
y2 y2 2
因为 A，E，C y 三点共线，所以 AC / /EA，所以 3 1 y1 y3 y 11 e 0， 因为 3x x3 ' 3 3x2，所以函数 y 3x x3在区间 0 ,1 上单调递增.4 4
当
y y y y m
2 1
时， dn 3un u3n ，于是当n 3时， dn 单调递减，符合要求；
显然 y y 3 11 3，解得， e ，同理可得 d 3 2 ，
3 3
4 4
m 2当 时，2 dn f t
2 2 2 1
n
m . 因为 时 f t 3u u3 u 22 n ，所以当
y2 y2
n 3
1 2 y3 2 2 2 2 3 3
n
3 3 3 n n n
又 x y1 y2 2y1y2 y3 32k 8 8k 2g 1 x2 x3 4 4 4
，
3 3 12 12 3 n 2 log m 2 22 时，dn m f t
2 2 1 2
n m 3un u3n ，从而当 n 2 log2 m 时 d 单
2 3 3 3 3 3 3
n
则 3 g d e 3 8k 2 y2 y3 y y 3 1 4k 2
y y y1 3 1 2 4k 2 4k 4k 1 1，
2 2 3 4 4 4 4 调递增，不存在正整数T ，使得无穷数列 dT , dT 1 , , dT n , 单调递减.
3
所以 g d e为定值 1. 17分
2 综上，m
2
. 17分
3
19．解：（1）没有.
1
此时 f x x3，曲线 在点O处的切线方程为 y 0，与曲线 没有其他公共点，因此不存在曲线
3
上的点，能成为点O的“上位点”. 4分
（2）直线 l的方程为 y f t1 f t1 x t1 ，设点M n的横坐标为 tn（ n为正整数），则
另一方面，由于曲线 在点M n 1处的切线方程为 y f tn 1 f tn 1 x tn 1 ，与 y f x 联立，
则 f (x) f tn 1 f tn 1 x tn 1 的解为 tn， tn 1，
1
(x3 t3 ) k(x2 t 2 2 1 2 2 2
3 n 1 n 1
) (t n 1 2ktn 1) x tn 1 (x tn 1x t n 1) k x tn 1 t n 1 2kt3 n 1
，
x2 (t 3k)x 2t 2n 1 n 1 3ktn 1 0解为 tn， tn 1，
由韦达定理知 tn tn 1 3k tn 1 ，得 2tn 1 tn 3k（*），特别地， t1 4t3 3k .
y f t f t x t ,
因此，点 N x , y 1 1 1的坐标 0 0 满足方程组 ，解得
y f t3 f t3 x t3

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