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8 数上 基本功
15.3.1 等腰三角形
课时 1 等腰三角形的性质
知识点 1 等腰三角形“ 等边对等角”性质的应用
1.若等腰三角形的一个角等于80 ，则它的其余两个角的度数为( )
A.80 ，20 B.50 ，50
C.80 ，20 或50 ，50 D.30 ，70 或10 ，90
2.如图，已知 是四边形 内一点， = = ，∠ = ∠ = 70 ，则∠ +
∠ 的大小是( )
A.70 B.110 C.140 D.150
3.如图，在△ 中，∠ = 40 ，∠ = 80 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，
交射线 于点 ，连接 ，则∠ 的度数是( )
A.10 B.120 C.10 或100 D.60 或120
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8 数上 基本功
4.如图，在第一个三角形 1 中，∠ = 30
， 1 = ，在边 1 上任取一点 ，延长 1到
2，使 1 2 = 1 ，得到第二个三角形 1 2 ，在边 2 上任取一点 ，延长 1 2到 3，使
2 3 = 2 ，得到第三个三角形 2 3 ， ，按此作法继续下去，第 个等腰三角形的底角
的度数是_______ .（ 为正整数）
知识点 2 等腰三角形“三线合一”性质的应用
5.如图，在△ 中， = ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，下列结
论：①∠ = ∠ ；② 上任意一点到 ， 的距离相等； ③ = ；④若点 在
直线 上，则 = .其中正确的是( )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
6.如图，在平面直角坐标系 中，△ 为等腰三角形， = ， // 轴，若点 (2,5) ，
( 1,1)，则点 的坐标为( )
A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5)
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7.如图， = = ，∠ = 90 ， = 6 ，则△ 的面积为___.
8.如图，△ 是等腰三角形， = ，∠ = 20 ， 平分∠ ，点 是射线 上一点，
如果点 满足△ 是等腰三角形，那么∠ 的度数是_________________.
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15.3.1 等腰三角形
课时 1 等腰三角形的性质
知识点 1 等腰三角形“ 等边对等角”性质的应用
1.若等腰三角形的一个角等于80 ，则它的其余两个角的度数为( )
A.80 ，20 B.50 ，50
C.80 ，20 或50 ，50 D.30 ，70 或10 ，90
解析：①当80 的角是顶角时，两个底角的度数为50 ,50 ；②当80 的角是底角时，顶角
的度数为20 .故它的其余两个角的度数为50 ,50 或80 ,20 .故选 C.
2.如图，已知 是四边形 内一点， = = ，∠ = ∠ = 70 ，则∠ +
∠ 的大小是( )
A.70 B.110 C.140 D.150
解析：∵ = = ，∠ = ∠ = 70 ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 360 2(∠ + ∠ ) = 220 ，
∴ ∠ = 360 220 = 140 . ∵ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360 ，
∴ ∠ + ∠ = 150 .故选 D.
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8 数上 基本功
3.如图，在△ 中，∠ = 40 ，∠ = 80 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，
交射线 于点 ，连接 ，则∠ 的度数是( )
A.10 B.120 C.10 或100 D.60 或120
解析：如图.
在△ 中，∠ = 40 ，∠ = 80 ，∴ ∠ = 180 40 80 = 60 .
1
①由作图可知 = ，∴ ∠ = ∠ = × (180 80 ) = 50 ，
2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 60 50 = 10 ；②由作图可知 = ′ ，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ . ∵ ∠ ′ + ∠ ′ = ∠ = 80 ，∴ ∠ ′ = 40 ，
∴ ∠ ′ = 180 ∠ ∠ ′ = 180 40 40 = 100 .
综上所述,∠ 的度数是10 或100 .故选 C.
4.如图，在第一个三角形 1 中，∠ = 30 ， 1 = ，在边 1 上任取一点 ，延长 1到
2，使 1 2 = 1 ，得到第二个三角形 1 2 ，在边 2 上任取一点 ，延长 1 2到 3，使
2 3 = 2 ，得到第三个三角形 2 3 ， ，按此作法继续下去，第 个等腰三角形的底角
的度数是_______ .（ 为正整数）
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180 ∠
解析：∵ 在△ 1中，∠ = 30
， = 1 ，∴ ∠ = = 75

1 . 2
∵ 1 2 = 1 ，∠ 1 是△ 1 2 的外角，
1 1 75 75
∴ ∠ 2 1 = ∠ 1 = × 75
= 37.5 .同理可得，∠ 3 2 = ( ) ，∠ 2 2 4 4 3 = ( ) ， 8
75
∴ 第 个等腰三角形的底角的度数是( ) .
2 1
知识点 2 等腰三角形“三线合一”性质的应用
5.如图，在△ 中， = ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，下列结
论：①∠ = ∠ ；② 上任意一点到 ， 的距离相等； ③ = ；④若点 在
直线 上，则 = .其中正确的是( )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
解析：∵ = ， ⊥ 于点 ，∴ 平分∠ ，即∠ = ∠ ， = ，①③正
确；∵ 平分∠ ，∴ 上任意一点到 , 的距离相等，②正确；∵ ⊥ ， = ，
∴ 为 的垂直平分线.∵ 点 在直线 上，∴ = ,④正确.故选 D.
6.如图，在平面直角坐标系 中，△ 为等腰三角形， = ， // 轴，若点 (2,5) ，
( 1,1)，则点 的坐标为( )
A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5)
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解析：过点 作 ⊥ 于 ，如图.
∵ = ， ⊥ ,∴ = . ∵ 点 (2,5)， ( 1,1)， // 轴，
∴ 点 (2,1) .设点 ( , 1)，则 = 2. ∵ = 2 ( 1) = 3，∴ 2 = 3，∴ = 5 ，
∴ 点 的坐标为(5,1) ，故选 C.
7.如图， = = ，∠ = 90 ， = 6 ，则△ 的面积为___.
解析：
如图,作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 交 的延长线于 . ∵ = ， = 6 ，
1
∴ = = = 3. ∵ ∠ = 90 ， ⊥ ，
2
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS)，∴ = = 3 ，
= ,
1 1
∴ △ = = × 6 × 3 = 9 .故答案为 9. 2 2
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8 数上 基本功
8.如图，△ 是等腰三角形， = ，∠ = 20 ， 平分∠ ，点 是射线 上一点，
如果点 满足△ 是等腰三角形，那么∠ 的度数是_________________.
解析：①当 = 时,如图（1）所示
∵ ∠ = 20 , = ,
∴ ∠ = 80 . ∵ 平分∠ ,∴ ∠ = 40 . ∵ = ,∴ ∠ = ∠ = 40 .
②当 = 时,如图（2）所示
由①可知∠ = 40 . ∵ = ,∴ ∠ = 70 .
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③当 = 时,如图（3）所示
由①可知∠ = 40 . ∵ = ,∴ ∠ = 100 .
故答案为40 或70 或100 .
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