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8 数上 基本功
15.3.1 等腰三角形
课时 2 等腰三角形的判定
知识点 1 等腰三角形的判定
1.如图所示， 是△ 的角平分线，过点 作 // ，交 于点 ，若 = 4， = 3，
则边 的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 40 ，若某个三角形能与△ 拼成一个等腰三
角形（无重叠），则这样的三角形共有( )
A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个
3.如图，在△ 中， = ，∠ = 36 ， 平分∠ 交 于 ， 平分∠ 交 于
，图中有___个等腰三角形.
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8 数上 基本功
4.已知∠ ，作∠ 的平分线 ，将直角尺 如图所示摆放，使 与 重合，顶
点 落在 上， 与 交于点 .
（1）猜想△ 是_________三角形；
（2）请将猜想到的结论进行证明.
知识点 2 尺规作图——作等腰三角形
5.由下列尺规作图可得△ 为等腰三角形，且 = 的是( )
① ② ③ ④
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6. 在平面直角坐标系中，已知 (4,1) ，在坐标轴上确定一点 使得△ 为等腰三角形，则满
足条件的点 有( )
A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.7 个
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8 数上 基本功
7.如图，在宽和长分别为3 cm和4 cm的长方形 中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个
顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出 3 种满足上述条件的等腰三角形
（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积.
备用图（1） 备用图（2）
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15.3.1 等腰三角形
课时 2 等腰三角形的判定
知识点 1 等腰三角形的判定
1.如图所示， 是△ 的角平分线，过点 作 // ，交 于点 ，若 = 4， = 3，
则边 的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：∵ 是△ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ . ∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = . ∵ = 4， = 3 ，
∴ = + = + = 3 + 4 = 7 .故选 B.
2.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 40 ，若某个三角形能与△ 拼成一个等腰三
角形（无重叠），则这样的三角形共有( )
A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个
解析：如图所示，这样的三角形共有 7 个，故选 C.
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8 数上 基本功
3.如图，在△ 中， = ，∠ = 36 ， 平分∠ 交 于 ， 平分∠ 交 于
，图中有___个等腰三角形.
解析：∵ = ，∠ = 36 ，∴ △ 是等腰三角形,
∴ ∠ = ∠ = 72 . ∵ 平分∠ 交 于 ，
∴ ∠ = ∠ = 36 ，∴ ∠ = ∠ = 36 ，∴ △ 是等腰三角形.
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 72 = ∠ ，∴ △ 是等腰三角形. ∵ 平分∠ ,
∴ ∠ = 36 . ∵ ∠ = ∠ = 36 ，∴ △ 是等腰三角形.
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 72 = ∠ ，∴ △ 是等腰三角形，∴ 共有 5 个等腰三角形.
4.已知∠ ，作∠ 的平分线 ，将直角尺 如图所示摆放，使 与 重合，顶
点 落在 上， 与 交于点 .
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8 数上 基本功
（1）猜想△ 是_________三角形；
解：猜想△ 是等腰三角形，故答案为等腰.
（2）请将猜想到的结论进行证明.
【证明】∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，∴ △ 是等腰三角形.
知识点 2 尺规作图——作等腰三角形
5.由下列尺规作图可得△ 为等腰三角形，且 = 的是( )
① ② ③ ④
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析：①根据作图得∠ = ∠ ，故 = ，符合题意；
②根据作图得 = ，不符合题意；③如图.根据作图得 平分∠ ， // ，
∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，符合题意；
④根据作图得 = ，不符合题意，故符合题意的有①③，故选 C.
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8 数上 基本功
6. 在平面直角坐标系中，已知 (4,1) ，在坐标轴上确定一点 使得△ 为等腰三角形，则满
足条件的点 有( )
A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.7 个
解析：如图，①以 为圆心， 长为半径作圆，交坐标轴于 1, 2 两点（ 除外）；
②以 为圆心， 长为半径作圆，交坐标轴于 3, 4, 5, 6 四点；
③作线段 的垂直平分线，交坐标轴于 7, 8两点，
∴ 满足条件的点 有2 + 4 + 2 = 8 （个），故选 C.
两圆一中垂构造等腰三角形如图，已知线段 ,在平面内找一点 ,使得△ 为等腰三角形.
①当 = 时，点 在以点 为圆心， 长为半径的圆上（不与点 , 重合）；
②当 = 时，点 在以点 为圆心， 长为半径的圆上（不与点 , 重合）；
③当 = 时，点 在线段 的垂直平分线上（不在线段 上）.
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8 数上 基本功
7.如图，在宽和长分别为3 cm和4 cm的长方形 中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个
顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出 3 种满足上述条件的等腰三角形
（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积.
备用图（1） 备用图（2）
解：如图（1） ，作 边的垂直平分线，交 于点 ，∴ = ，
1
即△ 为等腰三角形，△ 的面积为 × 4 × 3 = 6(cm2) ；
2
如图（2） ，作 边的垂直平分线，交 于点 ，∴ = ，
1
即△ 为等腰三角形，△ 的面积为 × 3 × 4 = 6(cm2) ；
2
如图（3） ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，
1
∴ = ，即△ 为等腰三角形，△ 的面积为 × 3 × 3 = 4.5(cm2) .（答案不唯一）
2
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