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8 数上 基本功
15.3.2 等边三角形
课时 1 等边三角形的性质与判定
知识点 1 等边三角形的性质
1. 如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中∠ 的度数是( )
A.110 B.120 C.140 D.150
2.如图，直线 1// 2，将等边三角形如图放置.若∠ = 35
，则∠ 等于 ( )
A.35 B.30 C.25 D.15
3. 如图，△ 是等边三角形，点 ， ， 分别在 ， ， 上，∠1 = ∠2，∠ = 70 ，
则∠ =____ .
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4.如图， 是等边△ 的外角∠ 内部的一条射线，点 关于 的对称点为 ，连接 ,
.
（1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ = 40 ，求∠ 的度数.
知识点 2 等边三角形的判定
5.下列条件中，不能判定△ 为等边三角形的是( )
A.∠ = ∠ = 60 B.∠ + ∠ = 120
C.∠ = 60 ， = D.∠ = 60 ， =
6.如图，一艘轮船由海平面上 地出发，向南偏西40 的方向行驶 80 海里到达 地，再由 地
向北偏西20 的方向行驶 80 海里到达 地，则 ， 两地相距( )
A.100 海里 B.80 海里 C.60 海里 D.40 海里
7.在△ 中，∠ = ∠ ，若添加一个条件使△ 是等边三角形，则添加的条件可以是___
_____________________.（写出一个即可）
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8.如图，△ 中，∠ = ∠ ，延长 至点 ，过点 作 // ，∠ = 60 ，连接 .
求证：△ 是等边三角形.
知识点 3 等边三角形的性质与判定的综合应用
9.如图，在四边形 中， = ， = ，∠ = 60 ，点 为 上一点，连接 ，
交于点 ， // .
（1）判断△ 的形状，并说明理由；
（2）若 = 13， = 9，则 的长为 _________
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15.3.2 等边三角形
课时 1 等边三角形的性质与判定
知识点 1 等边三角形的性质
1. 如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中∠ 的度数是( )
A.110 B.120 C.140 D.150
解析：∵ 可以拼成一个等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 ，
∴ ∠ = 540 60 60 (180 70 ) 160 = 150 .故选 D.
2.如图，直线 1// 2，将等边三角形如图放置.若∠ = 35
，则∠ 等于 ( )
A.35 B.30 C.25 D.15
解析：
如图，过点 作 // 1，则∠ = ∠ = 35
. ∵ 1// 2，∴ // 2 ，
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∴ ∠ = ∠ . ∵ △ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ∠ = 60 35 = 25 .故选 C.
3. 如图，△ 是等边三角形，点 ， ， 分别在 ， ， 上，∠1 = ∠2，∠ = 70 ，
则∠ =____ .
解析：∵ △ 是等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 . ∵ ∠ = ∠2 + ∠ = ∠1 + ∠ ，∠1 = ∠2 ，
∴ ∠ = ∠ = 60 . ∵ ∠ = 70 ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 60 70 = 50 .故答案为 50.
4.如图， 是等边△ 的外角∠ 内部的一条射线，点 关于 的对称点为 ，连接 ,
.
（1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
解：如图所示.
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（2）若∠ = 40 ，求∠ 的度数.
解：∵ ， 关于 对称，∴ 垂直平分 ，∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 40 . ∵ △ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ， = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 60 + 2 × 40 = 140 ， = ，
180 140
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = = 20 .
2
知识点 2 等边三角形的判定
5.下列条件中，不能判定△ 为等边三角形的是( )
A.∠ = ∠ = 60 B.∠ + ∠ = 120
C.∠ = 60 ， = D.∠ = 60 ， =
解析：
∵∠A=∠B=60 ，∴∠C=60 ，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC 是等边三角形，故选项 A 不符
A
合题意
B ∵∠B+∠C=120 ，∴∠A=60 ，∴△ABC 不一定是等边三角形，故选项 B 符合题意
C ∵∠B=60 ，AB=AC，∴△ABC 是等边三角形,故选项 C 不符合题意
D ∵∠A=60 ，AB=AC，∴△ABC 是等边三角形,故选项 D 不符合题意
归纳总结
判定等边三角形的方法:
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.
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（2）判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）判定定理 2：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形.
6.如图，一艘轮船由海平面上 地出发，向南偏西40 的方向行驶 80 海里到达 地，再由 地
向北偏西20 的方向行驶 80 海里到达 地，则 ， 两地相距( )
A.100 海里 B.80 海里 C.60 海里 D.40 海里
解析：连接 . ∵ 点 在点 的南偏西40 方向上，点 在点 的北偏西20 方向上，∴ ∠
= 60 .又∵ = ，∴ △ 为等边三角形，∴ = = = 80 海里.故选 B.
7.在△ 中，∠ = ∠ ，若添加一个条件使△ 是等边三角形，则添加的条件可以是___
_____________________.（写出一个即可）
解析：当∠ = ∠ 时，∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴ △ 是等边三角形.
故答案为∠ = ∠ （答案不唯一）.
8.如图，△ 中，∠ = ∠ ，延长 至点 ，过点 作 // ，∠ = 60 ，连接 .
求证：△ 是等边三角形.
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【证明】∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 60 . ∵ ∠ = ∠ ，∴ = ,
∴ △ 是等腰三角形.又∵ ∠ = 60 ，∴ △ 是等边三角形.
知识点 3 等边三角形的性质与判定的综合应用
9.如图，在四边形 中， = ， = ，∠ = 60 ，点 为 上一点，连接 ，
交于点 ， // .
（1）判断△ 的形状，并说明理由；
解：△ 是等边三角形.理由如下：∵ = ，∠ = 60 ，
∴ △ 为等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 . ∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = 60 ,∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ,
∴ △ 是等边三角形.
（2）若 = 13， = 9，则 的长为 _________
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解析：连接 交 于点 ，如图.
∵ = ， = ，∴ 垂直平分 ，∴ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ // ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴ = = 9 ，
∴ = = 13 9 = 4. ∵ △ 是等边三角形，∴ = = 4 ，
∴ = = 9 4 = 5 .故答案为 5.
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