资源简介

8 数上 基本功
15.3.2 等边三角形
课时 2 含 30 角的直角三角形的性质
知识点 含 角的直角三角形的性质
1. 如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 15 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 .
若 = 12 cm，则 = ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
解析：连接 ，如图.
∵ 是 的垂直平分线，∴ = = 12 cm，∴ ∠ = ∠ = 15 .
又∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 30 .
1
在直角三角形 中， = = 6 cm .故选 C.
2
2.如图，在△ 中，∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 3， ⊥ 于点 ， = 12，则 等于( )
A.3 B.4 C.6 D.9
解析：∵ 在△ 中，∠ :∠ : ∠ = 1: 2: 3 ，
∴ ∠ = 90 ，∠ = 30 ，∠ = 60 . ∵ = 12 ，
∴ = 6. ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 30 ，
101/176
8 数上 基本功
∴ = 3 .
3.如图，Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 2. 为 上一动点，连接 ， 的
垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，则线段 长的最大值是( )
A.1 B.4 C.8 D.4
2 3 3
解析：过点 作 ⊥ 于 ，连接 ，如图.∵ 垂直平分
AD,∴ = .设 = = . ∵ ∠ = 30 ，∠ = 90 ， = 2，∴ = 4 ，则 = 4 ，
1 1 1 4 4
∴ = = 2 ，∴ ≥ 2 ，解得 ≥ ，∴ 长的最小值为 ，故 长的最大值为
2 2 2 3 3
4 8
4 = .故选 C.
3 3
4.如图，一艘轮船以 15 海里/时的速度由南向北航行，在 处测得小岛 在北偏西15 方向上，
2 小时后，轮船在 处测得小岛 在北偏西30 方向上，在小岛 周围 18 海里内有暗礁，若轮
船继续向前航行，____触礁的危险.（填“有”或“无”）
102/176
8 数上 基本功
解析：如图，过点 作 ⊥ .
∵ ∠ = 30 ,∠ = 15 ，∴ ∠ = 30 15 = 15 ,∴ ∠ = ∠ ，
1
∴ = . ∵ = 15 × 2 = 30（海里），∴ = 30海里，∴ = = 15 海里.
2
∵ 15 < 18，∴ 有触礁的危险.故答案为有.
5.如图，∠ = 60 ，点 在射线 上，且 = 2，点 在射线 上.若△ 是锐角三角
形，则 的取值范围是___________.
解析：如图，过点 作 1 ⊥ ，垂足为 1， 2 ⊥ ，交 于点 2 .
103/176
8 数上 基本功
1
在Rt △ 1中， = 2，∠ = 60
，∴ ∠ 1 = 30 ,∴ 1 = = 1 . 2
在Rt △ 2中， = 2，∠ = 60
，∴ ∠ 2 = 30 ,∴ 2 = 2 = 4.
当点 在 1和 2之间时，△ 是锐角三角形，∴ 的取值范围是1 < < 4 .
故答案为1 < < 4 .
6.如图，在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标是(0,9)，以 为边在其右侧作等边三角
形 1 ，过 1作 轴的垂线，垂足为点 1，以 1 1 为边在其右侧作等边三角形 1 1 2，过
点 2作 轴的垂线，垂足为点 2，以 2 2 为边在其右侧作等边三角形 2 2 3， ，按此规
律继续作下去，得到等边三角形 2 025 2 025 2 026，则点 2 025 的纵坐标为___________.
解析：∵ 点 的坐标是(0,9)，以 为边在其右侧作等边三角形 1，过点 1 作 轴的垂线，
垂足为点 1，∴ ∠

1 1 = 90 60
= 30 ，∠ 1 1 = 90
, 1 = = 9，
1 1 1
∴ 1 1 = 1 = 9 × ，∴ 点 1的纵坐标是9 × . 2 2 2
∵ 以 1 1 为边在其右侧作等边三角形 1 1 2，过点 2作 轴的垂线，垂足为点 2 ，
1
∴ ∠ 2 1 2 = 90
60 = 30 ，∠ 1 2 2 = 90
, 1 2 = 1 1 = 9 × ， 2
104/176
8 数上 基本功
1 1 1 1 1 1
∴ 2 2 = 1 2 = 9 × × ，∴ 点 2的纵坐标是9 × × ，即9 × ( )
2.
2 2 2 2 2 2
1
∵ 以 2 2 为边在其右侧作等边三角形
3
2 2 3，同理，得点 3的纵坐标是9 × ( ) ， 2
1 1
∴ 根据规律可知点 的纵坐标是9 × ( )2 025.故答案为9 × ( )2 0252 025 . 2 2
7.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 6 cm，点 从点 出发以1cm/s的速度向点
运动，同时点 从点 出发以2cm/s的速度向点 运动，运动的时间为 s ，解决以下问题：
（1）当 为何值时，△ 为等边三角形
解：根据题意可得 = cm， = (6 )cm， = 2 cm.
∵ ∠ = 90 ,∠ = 30 ， = 6 cm，
∴ = 2 = 12 cm ,∠ = 90 ∠ = 90 30 = 60 .
∵ △ 为等边三角形，∴ = ，
∴ 6 = 2 ，∴ = 2，∴ 当 的值为 2 时，△ 为等边三角形.
（2）当 为何值时，△ 为直角三角形
1 1
解：①当∠ 为直角时，∠ = 30 ，∴ = ，∴ 2 = (6 ) ，
2 2
6 1 1
∴ = ；②当∠ 为直角时，∠ = 30 ，∴ = ，∴ 6 = × 2 ，
5 2 2
6
∴ = 3,∴ 当 的值为 或 3 时，△ 为直角三角形.
5
105/1768 数上 基本功
15.3.2 等边三角形
课时 2 含 30 角的直角三角形的性质
知识点 含 角的直角三角形的性质
1. 如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 15 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 .
若 = 12 cm，则 = ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.如图，在△ 中，∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 3， ⊥ 于点 ， = 12，则 等于( )
A.3 B.4 C.6 D.9
3.如图，Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 2. 为 上一动点，连接 ， 的
垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，则线段 长的最大值是( )
A.1 B.4 C.8 D.4
2 3 3
65/116
8 数上 基本功
4.如图，一艘轮船以 15 海里/时的速度由南向北航行，在 处测得小岛 在北偏西15 方向上，
2 小时后，轮船在 处测得小岛 在北偏西30 方向上，在小岛 周围 18 海里内有暗礁，若轮
船继续向前航行，____触礁的危险.（填“有”或“无”）
第 4 题图 第 5 题图
5.如图，∠ = 60 ，点 在射线 上，且 = 2，点 在射线 上.若△ 是锐角三角
形，则 的取值范围是___________.
6.如图，在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标是(0,9)，以 为边在其右侧作等边三角
形 1 ，过 1作 轴的垂线，垂足为点 1，以 1 1 为边在其右侧作等边三角形 1 1 2，过
点 2作 轴的垂线，垂足为点 2，以 2 2 为边在其右侧作等边三角形 2 2 3， ，按此规
律继续作下去，得到等边三角形 2 025 2 025 2 026，则点 2 025 的纵坐标为___________.
66/116
8 数上 基本功
7.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 6 cm，点 从点 出发以1cm/s的速度向点
运动，同时点 从点 出发以2cm/s的速度向点 运动，运动的时间为 s ，解决以下问题：
（1）当 为何值时，△ 为等边三角形
（2）当 为何值时，△ 为直角三角形
67/116

展开更多......

收起↑