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8 数上 基本功
16.3 乘法公式——16.3.1 平方差公式
知识点 1 平方差公式
1. 下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A. 1 1( + 2 )( 2 ) B.( 2 + 3 )( 3 2 )
2 2
C.( 2 + )( 2 ) D.( 1)( + 1)
1 1 1 1
解析：A 选项,( + 2 )( 2 ) = ( )2 (2 )2 = 2 4 2 ，
2 2 2 4
能用平方差公式计算，不符合题意；B 选项,
( 2 + 3 )( 3 2 ) = ( 2 )2 (3 )2 = 4 2 9 2 ，
能用平方差公式计算，不符题意；
C 选项,( 2 + )( 2 ) = ( 2 )2 2 = 4 2 2 ，
能用平方差公式计算，不符题意；
D 选项,( 1)( + 1) ，
不能用平方差公式计算，符合题意.故选 D.
2. 如图，在边长为 的正方形中挖掉一个边长为 的小正方形( > ) ，将余下部分剪拼成一
个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 , 的恒等式为( )
A.( + )( ) = 2 2 B.( + )2 = 2 + 2 + 2
C.( )2 = 2 2 + 2 D. 2 = ( )
解析：第一个图形中阴影部分的面积为 2 2 ，
第二个图形中阴影部分的面积为( + )( ).
∵第二个图形中阴影部分的面积等于第一个图形中阴影部分的面积，
∴ ( + )( ) = 2 2 ，故 A 正确.故选 A.
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3. 已知 2 3 = 0 ，则代数式( + 1)( 1) + ( 2) 的值为___.
解析：( + 1)( 1) + ( 2)
= 2 1 + 2 2 = 2 2 2 1.
∵ 2 3 = 0，∴ 2 = 3，则2 2 2 = 6，
∴ 原式= 6 1 = 5 ，故答案为 5.
4. 如果( 2 + 2 + 1)( 2 + 2 1) = 8，那么 2 + 2 的值为___.
解析：∵ ( 2 + 2 + 1)( 2 + 2 1) = 8，∴ ( 2 + 2)2 1 = 8 ，
∴ ( 2 + 2)2 = 9，∴ 2 + 2 = 3 （负值舍去），故答案为 3.
5.计算：
（1）(3 2 + 2 3)( 3 2 + 2 3) ；
解：原式= (3 2 + 2 3)(3 2 2 3) = (9 4 4 6) = 9 4 + 4 6 .
（2）(2 + 1)(2 1)(4 2 + 1) .
解：原式= (4 2 1)(4 2 + 1) = 16 4 1 .
知识点 2 平方差公式的应用
6. 3(22 + 1)(24 + 1) × × (232 + 1) + 1 计算结果的个位数字是( )
A.4 B.6 C.2 D.8
解析：原式= (22 1)(22 + 1)(24 + 1) × × (232 + 1) + 1
= (24 1)(24 + 1) × × (232 + 1) + 1
= 264 1 + 1 = 264.
∵ 21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32 ,26 = 64, ,
个位数字按照 2，4，8，6 依次循环，而64 = 16 × 4，
∴原式计算结果的个位数字为 6.故选 B.
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7. 若 = 1 954 × 1 946， = 1 957 × 1 943 ， = 1 949 × 1 951，则 ， ， 的大小关系为_
___（用“< ”连接）.
解析： = 1954 × 1946 = (1950 + 4)(1950 4) = 19502 16 ，
= 1957 × 1943 = (1950 + 7)(1950 7) = 19502 49，
= 1949 × 1 951 = (1950 1)(1950 + 1) = 19502 1.
∵ 19502 49 < 19502 16 < 19502 1，
∴ < < ，故答案为 < < .
8.如图是一道例题及部分解答过程，其中 ， 是两个关于 ， 的二项式.请仔细观察上面的例
题及解答过程，完成下列问题：
（1）直接写出多项式 和 ，并求出该例题的运算结果.
解： = 2 3 ， = 2 + 3 ，原式= 4 6 6 9 = 2 15 .
（2）求多项式 与 的平方差.
解： 2 2 = (2 3 )2 (2 + 3 )2
= (2 3 + 2 + 3 )(2 3 2 3 )
= 4 ( 6 ) = 24 .
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16.3 乘法公式——16.3.1 平方差公式
知识点 1 平方差公式
1. 下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A. 1 1( + 2 )( 2 ) B.( 2 + 3 )( 3 2 )
2 2
C.( 2 + )( 2 ) D.( 1)( + 1)
2. 如图，在边长为 的正方形中挖掉一个边长为 的小正方形( > ) ，将余下部分剪拼成一
个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 , 的恒等式为( )
A.( + )( ) = 2 2 B.( + )2 = 2 + 2 + 2
C.( )2 = 2 2 + 2 D. 2 = ( )
3. 已知 2 3 = 0 ，则代数式( + 1)( 1) + ( 2) 的值为___.
4. 如果( 2 + 2 + 1)( 2 + 2 1) = 8，那么 2 + 2 的值为___.
5.计算：
（1）(3 2 + 2 3)( 3 2 + 2 3) ；
（2）(2 + 1)(2 1)(4 2 + 1) .
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知识点 2 平方差公式的应用
6. 3(22 + 1)(24 + 1) × × (232 + 1) + 1 计算结果的个位数字是( )
A.4 B.6 C.2 D.8
7. 若 = 1 954 × 1 946， = 1 957 × 1 943 ， = 1 949 × 1 951，则 ， ， 的大小关系为_
___（用“< ”连接）.
8.如图是一道例题及部分解答过程，其中 ， 是两个关于 ， 的二项式.请仔细观察上面的例
题及解答过程，完成下列问题：
（1）直接写出多项式 和 ，并求出该例题的运算结果.
（2）求多项式 与 的平方差.
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