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8 数上 基本功
17.2 用公式法分解因式
课时 2 用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方式
1.下列是完全平方式的有( )
① 2 + 2 + 4；② 2 + 2 1；③ 2 + 2 + 1；④ 2 + 2 + 1 ；
⑤ 2 2 1；⑥4 2 + 4 + 1 .
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.若 2 + ( 2) + 16是一个完全平方式，则 的值是________.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
3.将多项式( 2 + 2)( 2 + 2 8) + 16 进行因式分解的结果是( )
A.( 2 + 2 4)2 B.( )2
C.( 2 2 4)2 D.( 2 + 2 + 4)2
1
4.因式分解：2 2 2 + = __________.
2
5.分解因式：
（1）( 2 + 4)2 16 2 ；
（2）( 2 + )2 ( + 1)2 .
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8 数上 基本功
6.下面是某同学对多项式( 2 4 + 2)( 2 4 + 6) + 4 进行因式分解的过程.
解：设 2 4 = ，
则原式= ( + 2)( + 6) + 4 （第一步）
= 2 + 8 + 16 （第二步）
= ( + 4)2 （第三步）
= ( 2 4 + 4)2 .（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了什么公式分解因式？
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.
（3）请你仿照以上方法尝试对多项式( 2 2 )( 2 2 + 2) + 1 进行因式分解.
知识点 3 完全平方公式分解因式的应用
7.不论 ， 为任何实数， 2 + 2 6 + 10 + 35 的值都是( )
A.非负数 B.正数
C.负数 D.非正数
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8 数上 基本功
8.如图，在边长为 cm的大正方形内放入三个边长都为 cm( > ) 的小正方形纸片，这三张
纸片没有盖住的面积是4 cm2，则 2 2 + 2 的值为___.
9.已知一个圆的面积为9π 2 + 6π + π 2( > 0, > 0) ，则该圆的半径是_______.
10.已知 ， 满足 = 4， = 1，则2 3 4 2 2 + 2 3 = ___.
11.若 ， 是等腰△ 的两边长，且满足关系式( 2)2 + 2 = 8 16，则△ 的周长
是____.
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17.2 用公式法分解因式
课时 2 用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方式
1.下列是完全平方式的有( )
① 2 + 2 + 4；② 2 + 2 1；③ 2 + 2 + 1；④ 2 + 2 + 1 ；
⑤ 2 2 1；⑥4 2 + 4 + 1 .
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】①②④不是完全平方式；③⑥是完全平方式；
⑤ 2 2 1 = ( 2 + 2 + 1) = ( + 1)2 ,是完全平方式.故选 B.
2.若 2 + ( 2) + 16是一个完全平方式，则 的值是________.
【解析】∵ 2 + ( 2) + 16是一个完全平方式，∴ 2 = ±8，解得 = 10 或 6，故答
案为 10或 6 .
知识点 2 用完全平方公式分解因式
3.将多项式( 2 + 2)( 2 + 2 8) + 16 进行因式分解的结果是( )
A.( 2 + 2 4)2 B.( )2 C.( 2 2 4)2 D.( 2 + 2 + 4)2
【解析】
( 2 + 2)( 2 + 2 8) + 16 = ( 2 + 2)2 8( 2 + 2) + 16 = ( 2 + 2 4)2 ，故选 A.
1
4.因式分解：2 2 2 + = __________.
2
2 1 1【解析】原式= 2( + ) = 2( )2 .
4 2
5.分解因式：
（1）( 2 + 4)2 16 2 ；
【解】原式= ( 2 + 4 + 4 )( 2 + 4 4 )
= ( + 2)2( 2)2 .
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8 数上 基本功
（2） ( 2 + )2 ( + 1)2 .
【解】原式= ( 2 + + + 1)( 2 + 1)
= ( + 1)2( + 1)( 1)
= ( + 1)3( 1) .
6.下面是某同学对多项式( 2 4 + 2)( 2 4 + 6) + 4 进行因式分解的过程.
解：设 2 4 = ，
则原式= ( + 2)( + 6) + 4 （第一步）
= 2 + 8 + 16 （第二步）
= ( + 4)2 （第三步）
= ( 2 4 + 4)2 .（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了什么公式分解因式？
【解】该同学第二步到第三步运用了完全平方公式分解因式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.
【解】该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是( 2)4 .
（3）请你仿照以上方法尝试对多项式( 2 2 )( 2 2 + 2) + 1 进行因式分解.
【解】设 2 2 = ，
则( 2 2 )( 2 2 + 2) + 1
= ( + 2) + 1 = 2 + 2 + 1
= ( + 1)2
= ( 2 2 + 1)2
= [( 1)2]2
= ( 1)4 .
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知识点 3 完全平方公式分解因式的应用
7.不论 ， 为任何实数， 2 + 2 6 + 10 + 35 的值都是( )
A.非负数 B.正数
C.负数 D.非正数
【解析】 2 + 2 6 + 10 + 35 = ( 3)2 + ( + 5)2 + 1 > 0 ,故选 B.
8.如图，在边长为 cm的大正方形内放入三个边长都为 cm( > ) 的小正方形纸片，这三张
纸片没有盖住的面积是4 cm2，则 2 2 + 2 的值为___.
【解析】由题意得( ) × ( ) × = ( )( ) = ( )2 = 4 ,
∴ 2 2 + 2 = ( )2 = 4 .故答案为 4.
9.已知一个圆的面积为9π 2 + 6π + π 2( > 0, > 0) ，则该圆的半径是_______.
【解析】设该圆的半径为 . ∵ 原式= π(9 2 + 6 + 2) = π(3 + )2 = π 2 ，
∴ = 3 + ，即半径为3 + .
10.已知 ， 满足 = 4， = 1，则2 3 4 2 2 + 2 3 = ___.
【解析】2 3 4 2 2 + 2 3 = 2 ( 2 2 + 2) = 2 ( )2.
∵ = 4 ， = 1，
∴ 2 ( )2 = 2 × 4 × ( 1)2 = 8 ，
∴ 2 3 4 2 2 + 2 3 = 8 .
故答案为 8.
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8 数上 基本功
11.若 ， 是等腰△ 的两边长，且满足关系式( 2)2 + 2 = 8 16，则△ 的周长
是____.
【解析】∵ ( 2)2 + 2 = 8 16，∴ ( 2)2 + 2 8 + 16 = 0 ，
∴ ( 2)2 + ( 4)2 = 0,∴ 2 = 0, 4 = 0,∴ = 2， = 4 .
①若 2是腰长，则三角形的三边长为 2，2，4，不符合三角形三边关系,不能组成三角形；
②若 2是底边长，则三角形的三边长为 2，4，4，符合三角形三边关系，
则△ 的周长为2 + 4 + 4 = 10 .故答案为 10.
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