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8 数上 基本功
13.3.1 三角形的内角——课时 2 直角三角形的性质与判定
知识点 1 直角三角形的性质
1.如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角
的度数是( )
A.45 B.35 C.55 D.25
2.在Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 2∠ ，则∠ = ( )
A.60 B.30 C.45 D.90
3.如图，在直角三角形 中，∠ = 90 , ≠ , ⊥ , ⊥ ， ⊥ ,则图中
与∠ (∠ 除外)相等的角的个数是( )
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
4.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt △ ，∠ = 90 ，并画出了两锐角的平
分线 ， 及其交点 .小明发现，无论怎样变动Rt △ 的形状和大小，∠ 的度数是
定值.这个定值为______.
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5.如图，△ 是直角三角形，∠ = 90 ，∠ = 30 ，过 边上一点 剪下△ ，点 在
上，当△ 是直角三角形时，∠ 的度数是__________.
6.如图，在△ 中，∠ = 90 ， 平分∠ .
（1）若∠ = 40 ，求∠ 的度数.
（2）在图中画出△ 的边 上的高 ，与 交于点 F.试说明：
①∠ = ∠ ；②∠ = ∠ .
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知识点 2 直角三角形的判定
7.如图，在Rt △ 中，∠ = 90 ，直线 与 ， 分别交于 ， 两点.若∠ = ∠ ，
则△ 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
8.如图， ⊥ ，垂足为 ，∠ = ∠ .求证：△ 是直角三角形.
9.在直角三角形 中，∠ :∠ : ∠ = 1: : 3，则 的值是______.
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13.3.1 三角形的内角——课时 2 直角三角形的性质与判定
知识点 1 直角三角形的性质
1.如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角
的度数是( )
A.45 B.35 C.55 D.25
答案：B
解析：∵ 直角三角形的两锐角互余，∴ 需要补的角的度数为90 55 = 35 ，故选 B.
2.在Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 2∠ ，则∠ = ( )
A.60 B.30 C.45 D.90
答案：A
解析：在Rt △ 中，∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = 2∠ ，
∴ 3∠ = 90 ，∴ ∠ = 30 ，∴ ∠ = 60 .故选 A.
3.如图，在直角三角形 中，∠ = 90 , ≠ , ⊥ , ⊥ ， ⊥ ,则图中
与∠ (∠ 除外)相等的角的个数是( )
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
答案：A
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解析：∵ ∠ = 90 , ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ + ∠ = 90 ,∠ + ∠ = 90 ,∠
+ ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ = ∠ .同理,∠ + ∠ = 90 ,∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠
= ∠ ，∴ 题图中与 ∠ (∠ 除外)相等的角的个数是 3 个，故选 A.
4.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt △ ，∠ = 90 ，并画出了两锐角的平
分线 ， 及其交点 .小明发现，无论怎样变动Rt △ 的形状和大小，∠ 的度数是
定值.这个定值为______.
答案：135
解析：∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
1 1
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2 2
1
∴ ∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) = 45 ，∴ ∠ = 180 45 = 135 .故
2
答案为135 .
5.如图，△ 是直角三角形，∠ = 90 ，∠ = 30 ，过 边上一点 剪下△ ，点 在
上，当△ 是直角三角形时，∠ 的度数是__________.
答案：60 或90
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解析：当点 为直角顶点时，如图（1）所示，则∠ = 90 . ∵ ∠ = 30 ，
∴ ∠ = 90 30 = 60 .当点 为直角顶点时，如图（2）所示，则∠ = 90 .
综上，∠ 的度数为60 或90 .
图（1） 图（2）
6.如图，在△ 中，∠ = 90 ， 平分∠ .
（1）若∠ = 40 ，求∠ 的度数.
【解】在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 40 ，∴ ∠ = 90 40 = 50 . ∵
1
平分∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 25 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 65 .
2
（2）在图中画出△ 的边 上的高 ，与 交于点 F.试说明：
①∠ = ∠ ；②∠ = ∠ .
【解】如图所示. ① ∵ 是 边上的高线，∴ ∠ = 90 ，
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∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .
② ∵ 是 边上的高线，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .
知识点 2 直角三角形的判定
7.如图，在Rt △ 中，∠ = 90 ，直线 与 ， 分别交于 ， 两点.若∠ = ∠ ，
则△ 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
答案：B
解析：在Rt △ 中，∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ ,
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ △ 是直角三角形.故选 B.
8.如图， ⊥ ，垂足为 ，∠ = ∠ .求证：△ 是直角三角形.
【证明】∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ，∴ △ 是直角三角形.
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9.在直角三角形 中，∠ : ∠ : ∠ = 1: : 3，则 的值是______.
答案：2 或 4
解析：设∠ = ，∠ = 3 .当∠ = 90 时，3 = 90 ，解得 = 30 ，
∴ ∠ = 30 ，∠ = 90 30 = 60 ，∴ ∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 3，∴ = 2 ；
当∠ = 90 时，∠ + ∠ = 90 ，即 + 3 = 90 ，解得 = 22.5 ，
∴ ∠ = 22.5 ，∠ = 67.5 ，∴ ∠ : ∠ : ∠ = 1: 4: 3，∴ = 4，故 的值是 2 或 4.
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