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8 数上 基本功
14.2 三角形全等的判定
课时 5 斜边及一直角边证全等(HL)
知识点 1 用“ ”判定直角三角形全等
1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.斜边和一条直角边分别相等
B.一个锐角和斜边分别相等
C.两条直角边分别相等
D.两个锐角分别相等
答案：D
【解析】A 选项，利用HL 可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；B 选项，利用AAS可
以判定两个直角三角形全等，不符合题意；C 选项，利用SAS 可以判定两个直角三角形全等，
不符合题意；D 选项，利用AAA 不能判定两个直角三角形全等，符合题意.故选 D.
2.如图， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， = .若要直接用“HL”判定Rt △ ≌Rt△ ，
则需要添加的条件为_________.
答案： =
【解析】需要添加的条件为 = . ∵ = ，∴ + = + ，
即 = . ∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .
又∵ = ，∴ Rt △ ≌Rt△ (HL).故答案为 = .
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3.如图，在△ 中， = ， 为 上一点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 , ，且
= .请选择一对你认为全等的三角形并加以证明.
【解】△ ≌△ .证明:∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ △ 和△ 是直角三角形.
= ,
在Rt △ 和Rt △ 中，{ ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) .（答案不唯一）
= ,
知识点 2 “ ”判定定理的应用
4.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两
个滑梯的倾斜角∠ 和∠ 之间的关系是( )
A.∠ = ∠
B.∠ > ∠
C.∠ + ∠ = 100
D.∠ + ∠ = 90
答案：D
【解析】由题意可知 = ， = ， ⊥ ， ⊥ ，
∴ △ 与△ 均为直角三角形.
= ,
在Rt △ 与Rt △ 中，{ ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，
= ,
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∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 .故选 D.
5.如图， ⊥ 于点 ， = 6 ， = 3，连接 ，射线 ⊥ 于点 ，点 在线段 上
移动，点 在射线 上随着点 移动，且始终保持 = ，当 = ______时，才能使△
与△ 全等.
答案：3 或 6
【解析】∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 . ∵ = ，
∴ 当 = = 3或 = = 6 时，可以根据HL证明△ 与△ 全等.
故答案为 3 或 6.
6. 如图，在△ 中，∠ = 90 .点 在△ 外，连接 ，作 ⊥ 于点 ，延长 交
于点 ， = ， = .
（1）求证： = ；
【证明】∵ ∠ = 90 ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .在Rt △ 和
= ,
Rt △ 中，{ ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL)，∴ = .
= ,
（2）若 = 2, = 1，求 的长.
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【解】如图，连接 .
∵ = 2， = 1，∴ = = 2 + 1 = 3. ∵ Rt △ ≌Rt△ ,∴ = .
= ,
在Rt △ 和Rt △ 中，{ ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，
= ,
∴ = = 1，∴ = + = 3 + 1 = 4 .
7.如图，∠ = ∠ = 90 ， = ，点 ， 在直线 上，且 = .
（1）求证：∠ = ∠ ；
【证明】∵ = ，∴ + = + ，∴ = .
= ,
在Rt △ 与Rt △ 中，{ ∴ Rt △ ≌Rt△ (HL)，∴ ∠ = ∠ .
= ,
（2）若 平分∠ ，则 与 有什么位置关系？并说明理由.
【解】 ⊥ .理由如下：由（1）得∠ = ∠ .
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS)，∴ ∠ = ∠ .
= ,
∵ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ⊥ .
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14.2 三角形全等的判定
课时 5 斜边及一直角边证全等(HL)
知识点 1 用“ ”判定直角三角形全等
1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.斜边和一条直角边分别相等
B.一个锐角和斜边分别相等
C.两条直角边分别相等
D.两个锐角分别相等
2.如图， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， = .若要直接用“HL”判定Rt △ ≌Rt△ ，
则需要添加的条件为_________.
3.如图，在△ 中， = ， 为 上一点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 , ，且
= .请选择一对你认为全等的三角形并加以证明.
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知识点 2 “ ”判定定理的应用
4.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两
个滑梯的倾斜角∠ 和∠ 之间的关系是( )
A.∠ = ∠
B.∠ > ∠
C.∠ + ∠ = 100
D.∠ + ∠ = 90
5.如图， ⊥ 于点 ， = 6 ， = 3，连接 ，射线 ⊥ 于点 ，点 在线段 上
移动，点 在射线 上随着点 移动，且始终保持 = ，当 = ______时，才能使△
与△ 全等.
6. 如图，在△ 中，∠ = 90 .点 在△ 外，连接 ，作 ⊥ 于点 ，延长 交
于点 ， = ， = .
（1）求证： = ；
（2）若 = 2, = 1，求 的长.
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7.如图，∠ = ∠ = 90 ， = ，点 ， 在直线 上，且 = .
（1）求证：∠ = ∠ ；
（2）若 平分∠ ，则 与 有什么位置关系？并说明理由.
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