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8 数上 基本功
14.3 角的平分线——课时 1 角平分线的性质
知识点 1 角平分线的作法
1.如图，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以点 ， 为圆
1
心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠ 的内部相交于点 ，作射线 .
2
（1）根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线 为∠ 的___ .
【解】由作图过程可知，射线 为∠ 的平分线.故答案为平分线.
（2）连接 ， ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）中的结论.
= ,
【证明】由作图过程可得， = ， = .在△ 和△ 中，{ = ,
= ,
∴ △ ≌△ (SSS)，∴ ∠ = ∠ ，∴ 射线 为∠ 的平分线.
2.分别画出已知钝角和平角的平分线.
【解】如图所示，射线 即为角平分线.
知识点 2 角平分线的性质
3.点 在∠ 的平分线上，点 到 边的距离等于 6，点 是 边上的任意一点，则下列选
项正确的是( )
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8 数上 基本功
A. > 6 B. ≥ 6 C. < 6 D. ≤ 6
【解析】如图,
平分∠ ， = 6, ⊥ ，过点 作 ⊥ 于 ，则 = = 6.
∵ 点 是 边上的任意一点，∴ ≥ 6 .故选 B.
4.如图，已知△ 的周长是 34， ， 分别平分∠ 和∠ ， ⊥ 于 ，且 = 4，
则△ 的面积是( )
A.17 B.34 C.38 D.68
【解析】如图，过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，连接 .
∵ ， 分别平分∠ 和∠ ， ⊥ ，∴ = ， = ，即 = = = 4，
∴ △ 的面积为 △ + △ + △
1 1 1
= × × + × × + × ×
2 2 2
1 1
= × 4 × ( + + ) = × 4 × 34 = 68 .故选 D.
2 2
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8 数上 基本功
归纳总结
已知三角形的角平分线的交点到一边的距离及三角形的周长求面积时，一般利用角平分线的性
质得三角形的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，利用三角形的面积公式列式求解.本
1
题中， 为三角形三条内角平分线的交点，一般结论为 △ = ( + + ) . 2
5.如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心，适当长为半径作弧，交 轴负半轴于点 ，交 轴
1
正半轴于点 ，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点 .
2
若点 的坐标为( , )，则 与 的数量关系为 ( )
A. = B. = 1 C. + = 1 D. + = 0
【解析】根据作图方法可得点 在第二象限的角平分线上,∴ 点 到 轴、 轴的距离相等,
∴ = ,∴ + = 0 ，故选 D.
6.如图，点 是∠ 的平分线 上一点， ⊥ 于点 ，点 是线段 上一点.
已知 = 3， = 5，点 为 上一点，若满足 = ，则 的长度为______.
答案：3 或 7
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8 数上 基本功
【解析】如图，过点 作 ⊥ 于点 .
∵ 平分∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = . ∵ = ，∴ Rt △ ≌Rt△ (HL)，
∴ = = 5. ∵ = 3， = 5，∴ = 2 .若点 在线段 上，∵ = ， = ，
∴ Rt △ ≌Rt△ (HL) ，∴ = = 2，∴ = = 3.若点 ′在射线 上，
同理可得 ′ = = 2，∴ ′ = + ′ = 7 .故答案为 3 或 7.
7.如图，已知∠ = ，点 在∠ 的平分线 上，∠ = 180° ，且∠ 的两边
分别与 ， 交于点 和点 ，求证： = .
【证明】如图，
过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，则∠ = ∠ = 90° .
∵ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360° ，∴ ∠ + ∠ = 180°.
∵ ∠ = 180° ，∠ = ，∴ ∠ + ∠ = 180°， ∴ ∠ = ∠ ，
即∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
又∵ 为∠ 的平分线， ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，
∴ △ ≌△ (ASA)，∴ = .
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14.3 角的平分线——课时 1 角平分线的性质
知识点 1 角平分线的作法
1.如图，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以点 ， 为圆
1
心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠ 的内部相交于点 ，作射线 .
2
（1）根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线 为∠ 的_____________ .
（2）连接 ， ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）中的结论.
2.分别画出已知钝角和平角的平分线.
知识点 2 角平分线的性质
3.点 在∠ 的平分线上，点 到 边的距离等于 6，点 是 边上的任意一点，则下列选
项正确的是( )
A. > 6 B. ≥ 6 C. < 6 D. ≤ 6
4.如图，已知△ 的周长是 34， ， 分别平分∠ 和∠ ， ⊥ 于 ，且 = 4，
则△ 的面积是( )
A.17 B.34 C.38 D.68
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8 数上 基本功
5.如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心，适当长为半径作弧，交 轴负半轴于点 ，交 轴
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正半轴于点 ，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点 .
2
若点 的坐标为( , )，则 与 的数量关系为 ( )
A. = B. = 1 C. + = 1 D. + = 0
6.如图，点 是∠ 的平分线 上一点， ⊥ 于点 ，点 是线段 上一点.
已知 = 3， = 5，点 为 上一点，若满足 = ，则 的长度为_____________.
7.如图，已知∠ = ，点 在∠ 的平分线 上，∠ = 180° ，且∠ 的两边
分别与 ， 交于点 和点 ，求证： = .
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