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8 数上 基本功
14.3 角的平分线——课时 2 角平分线的判定
知识点 角平分线的判定
1.两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ 的边 , 重合，它
们的顶点重合于点 ，则点 一定在( )
A.∠ 的平分线上 B. 边上的高上
C. 边上的高上 D. 边上的中线上
2.如图，点 在△ 内，且到三边的距离相等，连接 ， ，若∠ = 110° ，则∠ 的
大小是( )
A.35° B.40° C.45° D.70°
3.如图，平面内三条直线 , , 两两相交，在平面内找出一点 ，使得点 到三条直线的距离相
等，那么符合条件的点 有__________处.
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8 数上 基本功
4.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线 重合，且另一边与射线 交
于点 ，另一把直尺的一个直角顶点在射线 上，且与第一把直尺交于点 ，作射线 ，已
知∠ = 40° ，则∠ 的度数是___________．
5.如图，在△ 和△ 中， = ， = ，∠ = ∠ = 40° ， ， 交于
点 ，连接 .
（1）求证：△ ≌△ ；
（2）求证： 平分∠ .
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6.如图，已知等腰直角△ 中，∠ = 90° ， = ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重
合），连接 ，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 .
图（1） 图（2）
（1）如图（1），若 是∠ 的平分线，求证： = 2 .
（2）如图（2），连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合），∠ 的大小是否发
生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值.
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14.3 角的平分线——课时 2 角平分线的判定
知识点 角平分线的判定
1.两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ 的边 , 重合，它
们的顶点重合于点 ，则点 一定在( )
A.∠ 的平分线上 B. 边上的高上
C. 边上的高上 D. 边上的中线上
【解析】如图，∵ ⊥ ， ⊥ ， = ，∴ 点 在∠ 的平分线上，故选 A.
2.如图，点 在△ 内，且到三边的距离相等，连接 ， ，若∠ = 110° ，则∠ 的
大小是( )
A.35° B.40° C.45° D.70°
【解析】∵ ∠ = 110° ，∴ ∠ + ∠ = 180° 110° = 70°.
∵ 点 在△ 内，且到三边的距离相等，∴ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 2(∠ + ∠ ) = 140° ，
∴ ∠ = 180° (∠ + ∠ ) = 180 140° = 40° .故选 B.
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3.如图，平面内三条直线 , , 两两相交，在平面内找出一点 ，使得点 到三条直线的距离相
等，那么符合条件的点 有___处.
【解析】∵ 点 到三条直线的距离相等，∴ 点 是三条直线 , , 所形成的角的平分线的交点，
如图所示，图中点 ,点 ′,点 ″ ,点 即为所求，故答案为 4.
4.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线 重合，且另一边与射线 交
于点 ，另一把直尺的一个直角顶点在射线 上，且与第一把直尺交于点 ，作射线 ，已
知∠ = 40° ，则∠ 的度数是____．
答案：80
【解析】由题意，得 平分∠ ，∴ ∠ = 2∠ = 2 × 40° = 80° .
由长方形直尺可知 // ，∴ ∠ = ∠ = 80 .故答案为80 ．
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5.如图，在△ 和△ 中， = ， = ，∠ = ∠ = 40° ， ， 交于
点 ，连接 .
（1）求证：△ ≌△ ；
【证明】∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) .
= ,
（2）求证： 平分∠ .
【解】如图,过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 . ∵ △ ≌△ ，
∠ = ∠ = 90°,
∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (AAS)，∴ = .又∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 平分∠ .
6.如图，已知等腰直角△ 中，∠ = 90° ， = ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重
合），连接 ，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 .
图（1） 图（2）
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（1）如图（1），若 是∠ 的平分线，求证： = 2 .
【证明】如图（1），延长 , ，相交于点 . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90°.
∵ ∠ = 90° = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ .
又∵ = ，∠ = ∠ = 90° ,∴ △ ≌△ (ASA)，∴ = .
∵ 是∠ 的平分线，∴ ∠ = ∠ . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90°.
又∵ = ，∴ △ ≌△ (ASA)，∴ = ，∴ = 2 ，∴ = 2 .
图（1） 图（2）
（2）如图（2），连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合），∠ 的大小是否发
生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值.
【解】∠ 的大小不变.如图（2），过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ ，
交 的延长线于点 ，则∠ = ∠ = 90°. ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 .
由（1）知∠ = ∠ .又∵ = ，∴ △ ≌△ (AAS)，
1 1
∴ = ，∴ 是∠ 的平分线，∴ ∠ = ∠ = × 90° = 45° ,
2 2
即∠ 的大小不变，为定值45 .
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