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8 数上 基本功
15.1.2 线段的垂直平分线
课时 1 线段的垂直平分线的性质及判定
知识点 1 线段垂直平分线的性质及应用
1. ， ， 三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓
的位置应选在( )
A. 三边中线的交点处
B. 三条角平分线的交点处
C. 三边垂直平分线的交点处
D. 三边高线的交点处
解析：∵ 中转仓到 ， ， 三地的距离相等，∴ 中转仓的位置应选在△ 三边的垂直平分
线的交点处，故选 C.
2.如图，在△ 中， 的垂直平分线 与边 ， 分别交于点 ， .已知△ 与△ 的
周长分别为22 cm和14 cm，则 的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
1
解析：∵ 是 的垂直平分线，∴ = ， = = .
2
∵ △ 的周长是14 cm，∴ + + = 14 cm ，
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8 数上 基本功
即 + = 14 cm.∵ △ 的周长是22 cm，∴ + + = 22 cm ，
1 1
∴ = 22 14 = 8(cm)，∴ = = × 8 = 4(cm) .故选 B.
2 2
3.在△ 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， 的垂直平分线分别交 ， 于
点 ， .若 = 10， = 2，则△ 的周长为________.
解析：当点 在点 的左侧时，如图（1）
由线段垂直平分线的性质可得， = ， = ，
∴ △ 的周长为 + + = + + = = 10 .
当点 在点 的右侧时，如图（2） .
由线段垂直平分线的性质可得， = ， = ，
∴ △ 的周长为
+ + = + +
= + + +
= + 2 = 10 + 4 = 14.
综上所述，△ 的周长为 10 或 14，故答案为 10 或 14.
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8 数上 基本功
知识点 2 线段垂直平分线的判定
4.如图， = ， = ，则( )
A. 垂直平分 B. 垂直平分
C. 平分∠ D.以上结论均不对
解析：∵ = ， = ,∴ 点 , 均在 的垂直平分线上,∴ 垂直平分 .故选 B.
5.如图，已知点 (2,3)和点 (4,1)，在 轴或 轴上有一点 ，且点 到点 和点 的距离相等，
则点 的坐标为______________.
解析：如图，取格点 (2,1), (3,2)，作直线 ,
则点 为 的中点， = = 2，∴ = ，∴ 点 , 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 直线 是线段 的垂直平分线.根据图易得直线 与 轴交于点(1,0) ，
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8 数上 基本功
与 轴交于点(0, 1). ∵ 点 到点 和点 的距离相等，
∴ 点 在线段 的垂直平分线 上，
∴ 点 的坐标为(1,0)或(0, 1)，故答案为(1,0)或(0, 1) .
6.如图，已知△ ， 是∠ 的平分线， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，连接 交 于
点 .
（1）求证： 垂直平分 ；
【证明】∵ 平分∠ , ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠ = 90 ， = ，∴ 点 在 的垂直平分线上.
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，
= ,
∴ = ，∴ 点 在 的垂直平分线上，∴ 垂直平分 .
（2）若 + = 10， = 3，求△ 的面积.
解：∵ = 3，∴ = = 3. ∵ + = 10 ，
1 1 1
∴ △ = + = ( + ) = 15 . 2 2 2
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8 数上 基本功
知识点 3 互逆命题（定理）
7.“直角都相等”与“相等的角是直角”是( )
A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题
解析：“直角都相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”；“相等的角是直角”的题设
是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，这两个命题的题设和结论互换，所以是互逆命题.“相
等的角是直角”是假命题，所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理.故选 A.
8.按要求解答下列各题.
（1）请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角；
解：“相等的角是内错角”的逆命题：如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
②如果 + > 0，那么 > 0 .
解：“如果 + > 0，那么 > 0”的逆命题：如果 > 0，那么 + > 0 .
（2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为互逆定理.
解：因为（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，所以（1）中①的原命题和逆命题不是互
逆定理.
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15.1.2 线段的垂直平分线
课时 1 线段的垂直平分线的性质及判定
知识点 1 线段垂直平分线的性质及应用
1. ， ， 三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓
的位置应选在( )
A. 三边中线的交点处
B. 三条角平分线的交点处
C. 三边垂直平分线的交点处
D. 三边高线的交点处
2.如图，在△ 中， 的垂直平分线 与边 ， 分别交于点 ， .已知△ 与△ 的
周长分别为22 cm和14 cm，则 的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.在△ 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， 的垂直平分线分别交 ， 于
点 ， .若 = 10， = 2，则△ 的周长为________.
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知识点 2 线段垂直平分线的判定
4.如图， = ， = ，则( )
A. 垂直平分 B. 垂直平分
C. 平分∠ D.以上结论均不对
5.如图，已知点 (2,3)和点 (4,1)，在 轴或 轴上有一点 ，且点 到点 和点 的距离相等，
则点 的坐标为______________.
6.如图，已知△ ， 是∠ 的平分线， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，连接 交 于
点 .
（1）求证： 垂直平分 ；
（2）若 + = 10， = 3，求△ 的面积.
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知识点 3 互逆命题（定理）
7.“直角都相等”与“相等的角是直角”是( )
A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题
8.按要求解答下列各题.
（1）请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角；
②如果 + > 0，那么 > 0 .
（2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为互逆定理.
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