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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.2　椭圆的简单几何性质
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　由椭圆方程研究其简单几何性质
1.(2025江西赣州中学检测)若椭圆3x2+ky2=1(k>0)的一个焦点的坐标是(0,1),则其离心率等于(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(教材习题改编)(多选题)已知椭圆C:+=1,则下列说法正确的是(　　)
A.(2,0)是C的一个顶点　　　　
B.(0,1)是C的一个焦点
C.C的离心率e=　　　　
D.C的短轴长为2
3.(2024陕西西安铁一中学月考)椭圆+=1与+=1(0A.有相等的长轴长　　　　B.有相等的焦距
C.有相同的焦点　　　 　D.有相同的顶点
4.(2025江西德兴第六高级中学期中)如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面的夹角为45°的平面所截,截面是一个椭圆,则下列结论错误的是(　　)
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为+=1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-
题组二　椭圆的离心率
5.(2025江苏常州联盟学校学情调研)比较下列椭圆的形状,最趋向于圆的是(　　)
A.2x2+y2=4　　　　B.4x2+y2=4
C.3x2+4y2=12　　　　D.6x2+9y2=54
6.(2025江西新余第十六中学月考)P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=,则椭圆的离心率e为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025北京师范大学附属实验中学月考)如图,某同学用两根木条钉成十字架,制成一个椭圆仪.木条中间挖一条槽,在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔,可以容纳笔尖,A,B各在一条槽内光滑移动(保证PA与PB的长度不变),当A,B各在一条槽内移动时,P处笔尖就画出一个椭圆.已知|PA|=3|AB|,且P在椭圆的右顶点时,B恰好在O点,则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(多选题)(2025江西新余第十六中学月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,则C的离心率可以是(　　)
A.0.3　　B.0.6　　C.0.9　　D.0.95
9.(2024湖北部分名校期中联考)如图,已知圆柱的底面半径为2,高为3,轴截面是矩形ABCD,E,F分别是母线AB,CD上的动点(含端点),过EF且与轴截面ABCD垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆,当此交线是椭圆时,其离心率的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.(2025广东六校联考)已知F1,F2,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点和上顶点,连接BF1并延长,交椭圆C于点P,若△PF2B为等腰三角形,O为坐标原点,则C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题组三　椭圆简单几何性质的综合应用
11.(多选题)(2025江西宜春第一中学期中)已知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的任意一点,则(　　)
A.C的离心率为
B.|PF1|+|PF2|=8
C.|PF1|的最大值为4+2
D.使∠F1PF2为直角的点P有4个
12.(2025广东梅州期中)小明同学发现,在某时刻阳光的照射下,篮球在地面上留下的影子如图所示,设篮球的球心为O,球心O在地面上的影子为点O',过篮球的球心O且与太阳平行光线垂直的平面为α,地面所在平面为β,篮球与地面的切点为H.已知太阳平行光线与地面的夹角为θ,AB为球O的一条直径,A',B'分别为A,B在地面上的影子,点H在线段A'B'上.小明经过研究资料发现,当θ≠时,篮球的影子为一个椭圆,且点H为椭圆的一个焦点,线段A'B'为椭圆的长轴,则此时该椭圆的离心率为(用θ表示)(　　)
A.cosθ　　B.sinθ　　C.cos2θ　　D.
13.(2025江西南昌师大附中期中)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径是的圆为椭圆C的准圆.已知椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C和其准圆的方程;
(2)若A,B是C的准圆与x轴的两个交点,P是C上的一个动点,求·的取值范围.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　椭圆的离心率
1.(2024四川成都期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2025江西南昌师大附中期中)从椭圆C:+=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线,切点分别为A,B,则称直线AB为点P关于椭圆C的极线,其方程为+=1.现有如图所示的两个椭圆C1,C2,离心率分别为e1,e2,C2内含于C1,椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l,若原点O到直线l的距离为1,则-的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025江西赣州检测)已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,以线段F1F2为直径的圆与E在第一、二象限分别交于点Q,P,PF2与QF1交于点M,若∶=3∶8,则E的离心率为　　　　.
题组二　椭圆几何性质的综合应用
4.(2024浙江A9协作体期中联考)已知点F为椭圆C:+=1的右焦点,点P是椭圆C上的动点,点Q是圆M:(x+3)2+y2=1上的动点,则的最小值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2025江西临川第一中学期中)已知直线x-3y+7=0与椭圆+=1(a>)相交于A,B两点,椭圆的两个焦点分别是F1,F2,线段AB的中点为C(-1,2),则△CF1F2的面积为(　　)
A.2　　B.4　　C.2　　D.4
6.(2025江苏徐州多校联考)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2.关于该椭圆,有下列四个命题:
甲:|A1F1|=1;乙:△B1F1F2的周长为8;
丙:离心率为;丁:四边形A1B1F2B2的面积为3.
如果只有一个假命题,则该命题是(　　)
A.甲　　B.乙　　C.丙　　D.丁
7.(多选题)(2025江西赣州中学检测,)已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,已知定点Q(4,2),P是椭圆上的一个动点,O为坐标原点,则下列结论中正确的有(　　)
A.存在点P,使得∠F1PF2=120°
B.直线PA与直线PB的斜率之积为定值
C.+的最小值为
D.|PQ|+|PF1|的取值范围为[2,12]
8.(2025广东佛山H7教育共同体联考)已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,若PF1⊥PF2,|PF1|=3|PF2|,∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q,则C的长轴长为　　　　.
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A,B.
(1)若椭圆C上的点M到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的标准方程;
(2)设直线x=与x轴交于点H,O为坐标原点,试求的最大值;
(3)若P是椭圆C上异于A,B的任一点,记直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-,试求椭圆C的离心率.
10.(创新题)(2025江西赣州检测)定义:由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点(焦点与顶点在同一侧)、短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”,如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1:+=1(a>b>0),椭圆C2:+=1(a'>b'>0),C1的离心率为e,C2的离心率为e',下列问题中,C1对应图1,C2对应图2.
　　
(1)判断椭圆C1:+=1与椭圆C2:+=1是不是“相似椭圆”,若是,求出相似比;若不是,请说明理由;
(2)证明:椭圆C1与C2是“相似椭圆”的充要条件是椭圆C1与C2的离心率相等;
(3)已知C1与C2是“相似椭圆”,且C1与C2的相似比为k∶1,若△AF2B的面积为S,求△A'F1'F2'的面积(用e',k,S表示).
答案与分层梯度式解析
1.2　椭圆的简单几何性质
基础过关练
1.D　由题意知椭圆的焦点在y轴上,b2=,a2=,由焦点坐标可知c=1,所以a2==1+=,解得a=,
故椭圆的离心率e==.
2.BCD　由椭圆方程可知椭圆的焦点在y轴上,且a=2,b=,c==1,
则椭圆的四个顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),(,0),(-,0),两个焦点的坐标分别为(0,1),(0,-1),短轴长为2b=2,离心率e==.
故A错误,B,C,D正确.
3.B　对于椭圆+=1,a=5,b=3,c=4,设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-4,0),F2(4,0),长轴长为2a=10,焦距为2c=8.对于椭圆+=1(04.B　设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,
由题图可得2acos45°=2,∴a=2,又b=,c2=a2-b2,∴c=,故椭圆的方程为+=1或+=1,
所以椭圆的长轴长为4,离心率为,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=2-,故A,C,D中结论正确,B中结论错误.
规律总结　椭圆上到焦点的距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.
5.C　椭圆的离心率越小,椭圆越趋向于圆,则计算各选项中的离心率即可.
A中e=,B中e=,C中e=,D中e=,因此C符合题意.
6.D　把x=c代入椭圆方程,可得|PF|=,又|AF|=a+c,
所以tan∠PAF===,即2b2=a2+ac,又b2=a2-c2,所以2c2+ac-a2=0,两边同时除以a2得2e2+e-1=0,解得e=-1(舍)或e=.
知识拓展　过椭圆焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段为椭圆的通径,其长为.故本题可由PF⊥x轴直接得出|PF|=.
7.C　由题意知PA与PB的长度不变,设|AB|=x,则|PA|=3x,
当A滑动到O处时,P在上顶点或下顶点,则短半轴长b=3x,当P在右顶点时,B恰好在O点,则长半轴长a=4x,所以离心率e====.
8.AB　因为|F1F2|=2c=2,所以c=1,则a>1,
因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,
则a2+b20,令t=a2,t>1,则t2-3t+1>0,
所以t>,即a2>,所以a>,所以e==∈,即e∈,结合选项知A,B正确.
9.A　当EF与AD行时,交线近似为一个圆,此时离心率接近于0;
当|EF|=|AC|时,交线是一个“最扁”的椭圆,此时离心率最大,且长轴长为|EF|=|AC|=2a=5,解得a=,
又短半轴长为b=2,则半焦距为c==,
所以此时的离心率e=.
所以离心率的取值范围是.
10.D　由题意得|PB|=|PF2|,设|PF1|=m,则|PB|=a+m,|PF2|=2a-m,
故a+m=2a-m,则m=,则|PF1|=,|PF2|=,
在△BF1O中,cos∠BF1O==,
在△PF1F2中,cos∠PF1F2==,
因为cos∠PF1F2=-cos∠BF1O,所以=,整理得3c2=a2,则离心率e==.
11.BCD　由原方程可得椭圆C的标准方程为+=1,
∴a=4,b=2,c=2.
离心率e==,故A错误;
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8,故B正确;
由椭圆的性质可知|PF1|max=a+c=4+2,故C正确;
因为b12.A　设篮球的半径为R,显然平面ABB'A'⊥平面β,连接OH,OB',则OH⊥平面β,
过B'作B'C∥AB交AA'于点C,则B'C⊥AA',|B'C|=|AB|=2R,
则椭圆的长轴长为2a=|A'B'|==,
由题图可知∠B'OH=∠BOH=,且0<θ<,
则a-c=|B'H|=Rtan==
==a(1-cosθ),
所以=cosθ,即该椭圆的离心率为cosθ.
13.解析　(1)由题知c=,且a==,得b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1,其准圆方程为x2+y2=4.
(2)设P(m,n)(-≤m≤),则+n2=1,
不妨设A(2,0),B(-2,0),所以=(m-2,n),=(m+2,n),
所以·=m2-4+n2=m2-4+1-=-3,
又-≤m≤,所以-3∈[-3,-1],
所以·的取值范围是[-3,-1].
能力提升练
1.A　解法一:设P(m,n)(m≠0,n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以离心率e==.
解法二:设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=.
二级结论　椭圆+=1(a>b>0)上的点(长轴的端点除外)与长轴的两个端点连线的斜率之积为定值-或e2-1(e为椭圆的离心率).
2.D　设M(x0,y0),椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),椭圆C2的方程为+=1(a2>b2>0),则有+=1①,
由极线的定义得直线l的方程为+=1,
所以原点O到直线l的距离d==1,化简得+=1②,
由①②得=,=,
故=1-=1-==(2-),
所以-=(1-)≤==,
当且仅当=1-,即e2=时取等号,此时e1=.
故-的最大值为.
3.答案　
解析　如图,根据圆与椭圆的对称性可知,点M在y轴上,
因为∶=3∶8,所以∶=3∶8,
设=6x,则=16x,则==5x,
所以∶=5x∶16x=5∶16.
易知QF1⊥QF2,则△QF1F2∽△OF1M,
则==,即=,解得|F1M|=,
且=,即=,解得|QF1|=,
在Rt△QF1F2中,由勾股定理得|QF2|==,
由椭圆的定义得|QF1|+|QF2|=+=2a,
所以=,即离心率e=.
4.B　如图所示,
由椭圆方程知a=5,b=4,c=3,则F(3,0),
圆M的圆心为M(-3,0),半径r=1,
易知圆心M(-3,0)为椭圆C的左焦点,由椭圆的定义可得|PF|+|PM|=2a=10,∴|PF|=10-|PM|,
由椭圆的几何性质可得a-c≤|PM|≤a+c,即2≤|PM|≤8,
由圆的几何性质可得|PQ|≤|PM|+|QM|=|PM|+1,
所以≥==-1≥-1=,所以的最小值是.
5.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②,
因为C(-1,2)为线段AB的中点,所以x1+x2=-2,y1+y2=4,
直线x-3y+7=0的斜率为,即=,
由①-②得=-,即=-,
又a>,所以a=3,
故椭圆的方程为+=1,经检验点C在椭圆内,
所以c2=a2-b2=9-6=3,解得c=,则|F1F2|=2c=2,
所以=|F1F2|×|yC|=×2×2=2.
6.B　若甲为真命题,则|A1F1|=a-c=1;
若乙为真命题,则△B1F1F2的周长为2a+2c=8,即a+c=4;
若丙为真命题,则离心率为=;
若丁为真命题,则四边形A1B1F2B2的面积为(a+c)b=3.
若甲、乙都为真命题,则解得则b===2,
此时=≠,(a+c)b=4×2=8≠3,即丙和丁都是假命题,
所以甲、乙不可能同时为真命题,且必有一真一假,故丙和丁都为真命题.
若甲、丙和丁为真命题,则解得
此时满足a2=b2+c2,a>b,a>c,且a+c=3≠4,符合题意;
若乙、丙和丁为真命题,则解得
此时a2≠b2+c2,即乙、丙和丁不能同时为真命题,假设不成立.
综上,乙为假命题.
7.BCD　对于A,由椭圆方程得a=5,b=3,c=4,设N为椭圆C的上顶点,则tan∠F1NO==<,则∠F1NO<60°,所以∠F1PF2<120°,A错误;
对于B,A(-5,0),B(5,0),设P(x,y),则+=1,所以x2-25=-y2,
则kPA·kPB=·===-,为定值,B正确;
对于C,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=10,
则+=(|PF1|+|PF2|)
=
≥==,
当且仅当=,即|PF1|=,|PF2|=时等号成立,C正确;
对于D,易知点Q在椭圆外,设直线QF1,QF2与椭圆分别交于点P1,P2(点P1位于第一象限,点P2位于第四象限),
则(|PQ|+|PF1|)min=|P1F1|+|P1Q|=|QF1|==2,
|PQ|+|PF1|=2a+|PQ|-|PF2|=10+|PQ|-|PF2|,
因为|PQ|-|PF2|≤|QF2|=2,
所以(|PQ|+|PF1|)max=10+|P2Q|-|P2F2|=10+|QF2|=12,
所以|PQ|+|PF1|∈[2,12],D正确.
8.答案　
解析　在△PF1F2中,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即10|PF2|2=4c2,解得|PF2|=c,所以|PF1|=3|PF2|=c.
在△PF1Q中,由正弦定理得=,即=,
在△PF2Q中,由正弦定理得=,即=,
因为∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q,所以∠F1PQ=∠F2PQ,
因为∠PQF1+∠PQF2=π,所以sin∠PQF1=sin∠PQF2,
所以=,即=,解得c=1,
所以2a=|PF1|+|PF2|=c=,即C的长轴长为.
9.解析　(1)由题知2a=4,解得a=2,故椭圆C的方程为+=1(0所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)易得|F2B|=a-c,|OH|=,所以===-e2+e=-+,e∈(0,1),
故当e=时,取得最大值,为.
(3)设点P的坐标为(x0,y0)(x0≠±a),则=(a2-),又A(-a,0),B(a,0),
所以k1·k2=·===-,
又k1·k2=-,所以=,即1-e2=,所以e=.
10.解析　(1)这两个椭圆是“相似椭圆”,相似比为1∶2,理由如下:
椭圆C1:+=1中,
|BF2|=2-1=1,|AF2|=2,|AB|==;
椭圆C2:+=1中,
|B'F2'|=4-2=2,|A'F2'|=4,|A'B'|==2,
则===,所以这两个椭圆的“焦顶三角形”相似,
则这两个椭圆是“相似椭圆”,且相似比为1∶2.
(2)证明:①充分性:若椭圆C1与C2的离心率相等,即=,则=,=.
tan∠ABO==,tan∠A'B'O'===,
则∠ABO=∠A'B'O',即∠ABF2=∠A'B'F2';
tan∠AF2O==,tan∠A'F2'O'===,则∠AF2O=∠A'F2'O',所以∠AF2B=∠A'F2'B',
所以C1与C2的“焦顶三角形”相似,所以C1与C2是“相似椭圆”.
②必要性:若椭圆C1与C2是“相似椭圆”,则它们对应的两个“焦顶三角形”的对应角相等.
若∠ABF2=∠A'B'F2',即∠ABO=∠A'B'O',
则tan∠ABO=tan∠A'B'O',
又tan∠ABO==,tan∠A'B'O'==,
所以=,
因为e====,
e'=====,
所以e=e'.
故椭圆C1与C2是“相似椭圆”的充要条件是椭圆C1与C2的离心率相等.
(3)由题意及(2)可知e=e',
易得=·2c·b=bc,S=(a-c)b,
所以∶S=2c∶(a-c),所以=.
因为C1与C2的相似比为k∶1,所以∶=k2∶1,
所以△A'F1'F2'的面积为==.
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