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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　双曲线的定义及其应用　
1.(教材习题改编)与圆O:x2+y2=1及圆B:(x-4)2+y2=4都外切的圆的圆心在(　　)
A.椭圆上　　　　B.双曲线的一支上
C.抛物线上　　　　D.圆上
2.(易错题)(2025广东部分名校期中)已知双曲线C:-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若|PF1|=5,则|PF2|=(　　)
A.9　　B.1　　C.1或9　　D.11或9
3.(2025江西南昌师范大学附属中学期中)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1的左、右焦点,M是E的左支上一点,过F2作∠F1MF2的平分线的垂线,垂足为N,O为坐标原点,则|ON|=(　　)
A.4　　B.2　　C.3　　D.1
4.(2024江西部分学校联考)若M,N分别是双曲线C:x2-=1的右支和圆D:(x-5)2+(y-1)2=1上的动点,且F是C的右焦点,则|MN|+|MF|的最小值为(　　)
A.5-3　　B.5-2　　C.3-2　　D.3-1
题组二　双曲线的标准方程的求解
5.(2023江西景德镇一中期中)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-y2=1
C.x2-=1　　　　D.-=1
6.(2025湖南部分名校期中联考)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,若|AF2|=2|AF1|,△ABF2的面积为8,且∠AF2B为钝角,|AF2|-|AF1|=4,则C的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
7.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)c=6,焦点在x轴上,且过点(-5,2);
(2)与椭圆+=1有公共焦点,且满足=;
(3)经过两点(-7,-6),(,-3).
题组三　双曲线标准方程的综合应用
8.(2025江西八校协作体联考)设m为实数,则双曲线-=1的焦距为(　　)
A.2　　B.4　　C.2　　D.4
9.(教材习题改编)(多选题)已知方程+=1表示曲线C,则下列结论正确的是(　　)
A.当1B.当t<1或t>4时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>4
10.(2025江西南昌师范大学附属中学期中)若2x-1=,则x2+y2的最小值为(　　)
A.1　　B.2　　C.4　　D.
11.(2024江苏南通如皋教学质量调研)已知F1,F2为椭圆+=1(00)的公共焦点,P为它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
12.(2025江西部分学校期中联考)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为右支上一点,且直线PF2与x轴垂直.
(1)证明:|PF1|+|PF2|=b2+4;
(2)若∠F1PF2的平分线恰好过点D(1,0),求△PF1F2的面积.
13.(2025江西南昌第一中学期中)如图,某苗圃有两个入口A,B,|AB|=100,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的C处,已知|CA|=80,|CB|=88,以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)工人计划将树苗分别沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线搬运至P(7,1)处,请判断哪条搬运路线最短,并说明理由;
(2)工人准备将C处树苗运送到苗圃内的点P处,计划合理设计点P的位置,使得沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点P的轨迹方程.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　双曲线的定义的应用
1.(2025河南南阳期中适应性考试)已知P为曲线C:x=上任意一点,A(-,0),B(0,),则|PA|+|PB|的最小值为(　　)
A.2+　　B.5　　C.4　　D.7
2.(2024广东广州段考,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线C右支上的一点,|OP|=|OF2|,且△POF1的面积为4,则实数b=(　　)
A.　　B.2　　C.2　　D.4
3.(2025黑龙江省实验中学期中,)已知椭圆C1:+=1(m>2)与双曲线C2:-=1(n>0)有公共的焦点F1,F2,P是C1和C2的一个公共点,O为坐标原点,则|+|=(　　)
A.2　　　 　B.2
C.2　　　　D.2
题组二　双曲线的标准方程及其综合应用
4.(2025湖北省级示范高中联考,)双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是Γ右支上的一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为5的直角三角形,则Γ的标准方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
5.过双曲线x2-=1的右支上一点P分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为　　　　.
6.(2024福建晋江第一中学期中,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为10,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上且AF2⊥x轴,△AF1F2的面积为,点P为双曲线右支上的任意一点,则-的取值范围是　　　　.
7.中国海军在某次演习中派出三艘舰艇,某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点),如图中A,B,C,且|OA|=|OB|=|OC|=3,假设可疑舰艇在某处发出信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注:信号传播速度为v0),C处舰艇保持静止.
(1)建立适当的坐标系,并求可疑舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)在A,B两处舰艇对可疑舰艇攻击后,C处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察攻击效果,则无人机飞行的最短距离是多少
答案与分层梯度式解析
§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
基础过关练
1.B　设动圆的圆心为C,半径为r,
由圆O的方程得圆心O(0,0),半径r1=1,
由圆B的方程得圆心B(4,0),半径r2=2,
由题意可得消去r可得|CB|-|CO|=1<|OB|=4,
所以动圆的圆心C在双曲线靠近O的一支上.
2.A　由双曲线方程得a=2,b=2,c=4.
由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4,
又|PF1|=5,所以|PF2|=1或|PF2|=9,
又|PF2|≥c+a=6或|PF2|≥c-a=2,且|PF1|=5点明易错　本题易错点有两处:一是若|PF1|-|PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=-2a,则动点P的轨迹为双曲线的一支;二是忽视双曲线上的点到焦点的最短距离为c-a而误选C.
3.B　易知a=2,延长F2N交直线MF1于点H,由题意知|MH|=|MF2|,|NH|=|NF2|,
又O是F1F2的中点,所以|ON|=|F1H|=(|MH|-|MF1|)=(|MF2|-|MF1|)=a=2.
4.A　圆D的圆心为D(5,1),半径r=1,
双曲线C中,a=1,b=,c==2,
设左焦点为F1,则F1(-2,0),
由双曲线的定义得|MF1|-|MF|=2a=2,
则|MF|=|MF1|-2,
所以|MN|+|MF|=|MN|+|MF1|-2≥|DF1|-r-2=-3=5-3,当且仅当M,N分别为线段DF1与双曲线C的右支、圆D的交点时取等号.
故|MN|+|MF|的最小值为5-3.
5.C　根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,
因为△ABF2为等边三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
在△BF1F2中,∠F1BF2=60°,由余弦定理得,|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1||BF2|cos60°,即(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,则7a2=c2=7,解得a2=1,
则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1.
6.B　由双曲线的定义及题意可知|AF2|-|AF1|=|AF1|=2a=4,所以a=2,|AF2|=8,由对称性得|BF2|=|AF1|=4,
所以=|AF2||BF2|sin∠AF2B=×8×4sin∠AF2B=8,解得sin∠AF2B=,
因为∠AF2B为钝角,所以∠AF2B=,所以∠F1AF2=,
在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos=48,即4c2=48,
所以c2=12,则b2=c2-a2=12-4=8,
所以C的方程为-=1.
7.解析　(1)由题意可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为双曲线过点(-5,2),所以-=1,
又c2=a2+b2=36,所以a2=20,b2=16,
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)解法一:由题意知双曲线中c=3,b=a,结合a2+b2=c2,得a2+=9,解得a2=4,b2=5,
所以双曲线的标准方程为-=1.
解法二:设双曲线的标准方程为-=1(3<λ<12),则=,解得λ=8.
所以双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
把(-7,-6),(,-3)代入,得解得所以双曲线的标准方程为x2-=1.
方法技巧　1.与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ0,b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2<λ2.当不能确定双曲线的焦点位置时,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),这种设法可避免对焦点位置的讨论.
8.B　由已知得c2=m2+16+(8-m2)=24,所以c=2,
所以焦距为2c=4.
9.BCD　对于A,若曲线C是椭圆,则解得1对于B,若曲线C是双曲线,则(4-t)(t-1)<0,解得t<1或t>4,故B正确;
对于C,由于曲线C是焦点在x轴上的椭圆,所以4-t>t-1>0,解得1对于D,由于曲线C是焦点在y轴上的双曲线,所以解得t>4,故D正确.
10.A　将原式两边同时平方得(2x-1)2=(x-2)2+y2(2x-1≥0),即x2-=1,
所以(x,y)可以看作双曲线x2-=1的右支上的点,
x2+y2的几何意义为点(x,y)与原点(0,0)之间的距离的平方,易知双曲线x2-=1的右支上的点(1,0)到原点的距离的平方最小,为1,故x2+y2的最小值为1.
11.C　不妨设点P位于第一象限,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2,
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=+1,|PF2|=-1,
则=|PF1||PF2|sin=×(+1)×(-1)×=.
12.解析　(1)证明:由双曲线方程可知a=2,将x=c代入方程-=1,得y=±,即|PF2|=,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+,所以|PF1|+|PF2|=+4+=4+b2.
(2)易知|F1D|=c+1,|F2D|=c-1,由(1)知|PF2|==,|PF1|=4+=4+=.
在△PF1D中,由正弦定理得,=,
在△PF2D中,由正弦定理得,=,
由∠PDF1+∠PDF2=π,得sin∠PDF1=sin∠PDF2,
所以=,即=,
整理得c2-4c=0,又c>0,所以c=4,
所以=|F1F2|·|PF2|=×2c×=24.
13.解析　(1)由题意可得A(-50,0),B(50,0),P(7,1),
则|AP|==5,
|BP|==5,
则路线C-A-P的长度为|CA|+|AP|=80+5,
路线C-B-P的长度为|CB|+|BP|=88+5,
因为80+5>88+5,所以路线C-B-P的长度最短.
(2)设点P(x,y),x>0,y>0.
由题意可知|CA|+|PA|=|CB|+|PB|,
则|PA|-|PB|=|CB|-|CA|=8<100=|AB|,
所以满足要求的点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分,
则2a=8,c=50,所以a=4,b2=c2-a2=2500-16=2484,
故点P的轨迹方程为-=1(x>0,y>0).
能力提升练
1.D　由x=得x2-=1(x≥1),所以C为双曲线x2-=1的右支,A(-,0)为该双曲线的左焦点.
设右焦点为A',则|PA|-|PA'|=2a=2,
所以|PA|=|PA'|+2,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+2≥|BA'|+2=5+2=7,
当且仅当点P在线段A'B上时,等号成立,
所以|PA|+|PB|的最小值为7.
2.C　因为=4,所以=8.
由题可知,|OP|=|OF2|=|OF1|=|F1F2|,
所以△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2.
设|PF1|=m,|PF2|=n,所以|m-n|=2a,m2+n2=4c2,
所以mn===2b2,
所以=mn=b2=8,又b>0,所以b=2.
3.D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=4m,
即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4m①,
由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2,
∴(|PF1|-|PF2|)2=4n,
即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4n②,
由①②解得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),
由题意知c2=m-2,c2=n+2,可得2c2=m+n,
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,而|F1F2|2=4c2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则PF1⊥PF2,
∴△PF1F2为直角三角形,
又∵O为F1F2的中点,∴|OP|=|OF1|=|OF2|=c,
∴|+|=|2|=2||=2c=2=2.
4.A　由题可知,点P位于第四象限,∠F1PF2=90°,
设|PF2|=m,∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2,
由=tanθ1=2,得sinθ1=,
因为∠F1PF2=90°,所以·=-1,得=-,则tanθ2=,所以sinθ2=,
在△PF1F2中,由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sinθ1∶sinθ2∶sin90°=2∶1∶,
由|PF2|=m得|PF1|=2m,|F1F2|=m,
由=|PF1|·|PF2|=m·2m=5得m=,
则|PF2|=,|PF1|=2,|F1F2|=2c=5,故c=,
由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=,故a=,
所以b==,
所以Γ的标准方程为-=1.
5.答案　13
解析　由已知得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,∵PM,PN分别为两圆的切线,∴|PM|2=|PC1|2-=|PC1|2-4,|PN|2=|PC2|2-=|PC2|2-1,∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3,∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的焦点为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当且仅当P为双曲线的右顶点时取等号),∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13.
6.答案　
解析　由题意可知2c=10,则c=5,F1(-5,0),F2(5,0),设A(5,yA),把A的坐标代入双曲线方程得=b2,所以yA=±,
则=×2c×|yA|=,得=,又a2+b2=25,所以a2=16,b2=9,
故双曲线C的方程为-=1.
设P(x0,y0),则-=1(x0≥4),
所以|PF1|===x0+4,同理|PF2|=x0-4,
因为x0≥4,所以-==∈.
7.解析　(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(-3,0),B(3,0),C(0,3).
设可疑舰艇的位置为P(x,y),
由题意可知|PB|-|PA|=v0×=4,|AB|=6,又4<6,所以P点的轨迹是以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线的左支,故2a=4,c=3,∴a=2,b=,
故所求的轨迹方程为-=1(x≤-2).
(2)取曲线-=1(x≤-2)上任意一点M(x0,y0)(x0≤-2),于是-=1,即=+4,
由题意知,求出M,C间的最短距离即可,
|MC|==
=,
可知当y0=时,|MC|min==2.
故无人机飞行的最短距离是2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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