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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
2.2　双曲线的简单几何性质
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　由双曲线的方程研究其简单几何性质
1.(2025天津第十四中学月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点到渐近线的距离为3,则C的实轴长为(　　)
A.　　B.3　　C.2　　D.6
2.(多选题)(2025江西抚州多校第一次大联考)已知双曲线C:-=1,则(　　)
A.m的取值范围是(-6,3)
B.m=1时,C的渐近线方程为y=±x
C.C的焦点坐标为(-3,0),(3,0)
D.C可以是等轴双曲线
3.(2025江西新余第十六中学第一次月考)设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△ABF1为正三角形,则(　　)
A.b=
B.C的焦距为2
C.C的离心率为
D.△OBF1的面积为4
题组二　由双曲线的简单几何性质求其方程
4.(2025江西南昌第一中学期中)与双曲线x2-=1有共同的渐近线,且经过点(,6)的双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
5.(教材习题改编)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±2y=0,且C过点(4,1),则C的方程为(　　)
A.-y2=1　　　　B.-=1
C.-y2=1　　　　D.-=1
6.(2025江西期中调研)若双曲线C的一个焦点为(2,0),其中一条渐近线与直线3x+y-1=0平行,则C的标准方程为(　　)
A.-y2=1　　　　B.-x2=1
C.x2-=1　　　　D.y2-=1
7.(2024江西景德镇期中)中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线x-4y+2=0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A.x2-y2=8　　　　B.x2-y2=4
C.y2-x2=8　　　　D.y2-x2=4
8.(2025江西赣州大余期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)顶点在x轴上,焦距为10,离心率为;
(2)一个顶点的坐标为(0,2),一个焦点的坐标为(0,-).
题组三　双曲线的渐近线
9.(教材习题改编)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x
C.y=±x　　　　D.y=±2x
10.(2025河南南阳六校期中)已知双曲线C以两个坐标轴为对称轴,且经过点(2,)和(-,-2),则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　B.y=±x　C.y=±x　D.y=±2x
11.(2024湖南株洲期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1,则双曲线C的渐近线方程为　　　　.
12.(2024河南驻马店高级中学期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,其右焦点F(c,0)到渐近线的距离为,O为坐标原点,P(x0,y0)为双曲线右支上一动点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)求·的最小值.
题组四　双曲线的离心率
13.(2025江西景德镇一中期中)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
14.(2025广东卓越联盟学校联考)F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,若F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则C的离心率为(　　)
A.2　　B.　　C.3　　D.
15.(2024江苏盐城一中、大丰中学联考)设F1,F2是椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=60°,若椭圆的离心率e1∈,则双曲线的离心率e2的取值范围是(　　)
A.(1,]　　　　B.(1,]　　
C.[,+∞)　　　　D.[,+∞)
16.(2025江西大联考)3D打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可黏合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术,如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6cm,下底直径为9cm,喉部(中间最细处)的直径为8cm,则该塔筒的高为(　　)
A.cm　　　　B.18cm
C.cm　　　　D.18cm
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　双曲线的渐近线和离心率
1.(多选题)(2025河南安阳第一中学阶段考试)已知双曲线Γ:-=1(a>0)的右焦点为F,直线l:ax+y=0是Γ的一条渐近线,P是Γ右支上的一点,O为坐标原点,则(　　)
A.F到l的距离为3
B.Γ的渐近线方程为3x±y=0
C.Γ的离心率为2
D.|PF|min=
2.(2025江西临川第一中学期中)在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,|F1F2|=6,P为E左支上异于顶点的一点,直线PM平分∠F1PF2,F2M⊥PM,|OM|=,则E的离心率为(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.4
3.(2025河南豫北名校期中联考)如图,已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点F1,F2,P是C1与C2在第一象限内的公共点,线段PF1的垂直平分线经过坐标原点O,若C1的离心率为,则C2的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x
C.y=±x　　　　D.y=±x
4.(2024江西宜春宜丰中学开学考试)双曲线的光学性质:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率e=(　　)
　
A.　　B.　　C.　　D.2
5.(2025浙江星辰联盟期中)已知点M(-4,0),N(4,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,同时存在点Q,使|QN|-|QM|=6,则称该直线为“两全其美线”.下列直线中为“两全其美线”的是(　　)
A.y=x　　B.x=4　　C.y=x　　D.y=2x
6.(2025江西南昌第一中学期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF2⊥x轴,过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线,与直线PF1交于点A,若点A在圆O:x2+y2=a2上,则C的离心率e为　　　　.
7.已知双曲线Q:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,过双曲线的右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6.
(1)求双曲线Q的离心率;
(2)求双曲线Q的方程.
题组二　双曲线几何性质的综合应用
8.(2024江苏如东一中、徐州中学、宿迁一中联考)直线l过圆M:(x-4)2+y2=1的圆心,且与圆M相交于A,B两点,P为双曲线-=1右支上一个动点,则·的最小值为(　　)
A.-2　　B.1　　C.2　　D.0
9.(多选题)(2025江西景德镇一中期中,)
如图,已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B,连接BF1,BF2,BF1与双曲线的左支交于点P,与两条渐近线分别交于点M,N,则(　　)
A.|PM|=|BN|
B.过F2的双曲线的弦的长度的最小值为8
C.=4
D.点B到两条渐近线的距离的积为
10.(创新题)(新考法·以对勾函数为背景,研究双曲线的性质)(多选题)(2025陕西汉中普通高中十校联盟期中)某数学兴趣小组的同学在探究函数f(x)=的图象和性质时,发现该函数的图象是双曲线,且存在实数k,使得 x>0,f(x)>kx恒成立.据此,下面的结论成立的是(　　)
A.实数k的最大值为
B.该双曲线的离心率为
C.该双曲线的一个顶点是(,2)
D.该双曲线的焦距为8
11.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线互相垂直,且AB与OC垂直,其中C为AB的中点,AB=80cm,OC=20cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上,则距点O较近的焦点距点O　　　　cm.
答案与分层梯度式解析
2.2　双曲线的简单几何性质
基础过关练
1.D　易得双曲线的一条渐近线方程为y=-x,即bx+ay=0,一个焦点为(c,0),
由题意得=3,解得b=3,
由e==,a2+b2=c2,解得a=3,c=3,
所以C的实轴长为2a=6.
二级结论　双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.
2.ACD　对于A,由题意得(3-m)(m+6)>0,解得-6对于B,当m=1时,双曲线的方程为-=1,其渐近线方程为y=±x=±x,B错误;
对于C,由A得3-m>0,m+6>0,所以双曲线的焦点在x轴上,设C的半焦距为c(c>0),则c2=3-m+m+6=9,解得c=3,故其焦点坐标为(-3,0),(3,0),C正确;
对于D,若C为等轴双曲线,则3-m=m+6,
解得m=-∈(-6,3),D正确.
3.A　由双曲线方程知a=1,由题可得∠BF1F2=30°,又|F1F2|=2c,所以|BF2|=,|BF1|=,
由双曲线定义可得|BF1|-|BF2|=-=2,解得c=,
所以b==,故A正确;
焦距为2c=2,故B错误;
离心率e==,故C错误;
=|OF1||BF2|=,故D错误.
4.D　由题意可设所求双曲线的方程为x2-=k(k≠0,且k≠1),又双曲线过点(,6),∴2-=k,解得k=-2,
∴所求双曲线的方程为x2-=-2,即-=1.
方法技巧　与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0,且λ≠1).
5.B　由题意可设C的方程为x2-4y2=λ(λ≠0)(解题技法),把(4,1)代入得λ=42-4×12=12,
所以C的方程为x2-4y2=12,即-=1.
方法技巧　已知双曲线的渐近线方程为Ax±By=0,求双曲线的方程时,方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某点坐标求解.
6.C　由题意可设C的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则解得a=1,b=.
所以C的标准方程为x2-=1.
7.B　易知双曲线的焦点在x轴上,令y=0,得x=-2,则c=2.因为双曲线为等轴双曲线,所以a=b,又a2+b2=c2,所以a2=b2=4,所以双曲线的方程为-=1,即x2-y2=4.
8.解析　(1)依题意可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得
则双曲线的标准方程为-=1.
(2)依题意知双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0),则c=,a=2,b2=c2-a2=1,
则双曲线的标准方程为-x2=1.
9.D　由题意可得e===,可得=2,因此C的渐近线方程为y=±x=±2x.
10.B　设双曲线C的方程为+=1(ab<0),
∵点(2,)和(-,-2)在双曲线C上,
∴两式相减可得+=0,即a=-b.
∴C的渐近线方程为y=±x.
11.答案　y=±x
解析　易知双曲线C的焦点在y轴上,其渐近线方程为y=±x,
由焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1,可知c=3a(依据相似三角形对应边成比例),则b==2a,
则双曲线C的渐近线方程为y=±x.
12.解析　(1)由渐近线方程为y=±x,得a=b,
由F(c,0)到渐近线y=±x的距离为,得=,解得c=2,
又c2=a2+b2,所以a2=b2=2,
所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)由(1)及题知F(2,0),x0≥,=(x0,y0),=(x0-2,y0),=-2,则·=x0(x0-2)+=2-2x0-2=-,
所以当x0=时,·取得最小值,为2-2.
13.A　因为|PF1|=3|PF2|,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,
所以|PF2|=a,|PF1|=3a,
在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos60°,
整理得4c2=7a2,所以e2==,即e=.
14.A　如图所示,设F2关于渐近线(以图中直线为例)的对称点为P,M为PF2的中点,易知|OF2|=|OP|=|OF1|=|F1P|,F1P∥OM,所以∠PF1F2=,则∠MOF2=,即一条渐近线的倾斜角为,所以=tan=,所以e===2.
15.B　不妨设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆及双曲线的定义得所以
在△MF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60°=+3,
两边同时除以c2得+=4,
因为e1∈,所以∈,所以∈(1,3],所以=4-∈[1,3),则e2∈(1,].
16.C　该塔筒的轴截面如图所示,以喉部的直径的中点O为原点,建立平面直角坐标系,
设A,B分别为上、下底面的对应点.
设塔筒所对应的双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
因为e==,所以b2=9a2.
因为喉部(中间最细处)的直径为8cm,所以2a=8,则a=4,b2=144,所以双曲线的方程为-=1.
由题意可知xA=3,xB=,代入双曲线方程得yA=3,yB=-,
所以该塔筒的高为yA-yB=cm.
能力提升练
1.ACD　由双曲线方程得b=3,双曲线Γ的渐近线方程为y=±x,又l:ax+y=0,即y=-ax是Γ的一条渐近线,所以=a,所以a=,所以c=2,
所以双曲线Γ的方程为-=1.
对于A,F(2,0),l:x+y=0,所以F到l的距离为=3,故A正确;
对于B,渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故B错误;
对于C,离心率e===2,故C正确;
对于D,当P是双曲线的右顶点,即P(,0)时,|PF|min=c-a=,故D正确.
2.A　由|F1F2|=2c=6,得c=3,设PF1与F2M交于点N,
由直线PM平分∠F1PF2,且F2M⊥PM,得△PF2N为等腰三角形,M为线段F2N的中点,故|F1N|=2|OM|=2,
因为|PF2|=|PN|=|PF1|+|F1N|=|PF1|+2,
所以|PF2|-|PF1|=2a=2,则a=,
故E的离心率e==.
3.B　令线段PF1的垂直平分线与PF1的交点为M,显然M是PF1的中点,又O为F1F2的中点,所以OM∥PF2,
所以PF2⊥PF1,则
则(2a1)2+(2a2)2=2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2,
令C1与C2的半焦距为c,
由=得a1=c,于是+(2a2)2=2(2c)2,解得a2=c,则b2=c,则=,
所以C2的渐近线方程为y=±x.
4.B　如图所示,连接AF1,BF1,易知F1,A,D三点共线,F1,B,C三点共线,AB⊥DF1.
设|AF1|=m,|AF2|=n,
由题意得tan∠ABF1=tan(180°-∠ABC)=-tan∠ABC==,所以|AB|=,
在Rt△ABF1中,|BF1|==,
由双曲线的定义可得
即解得
在Rt△AF1F2中,+=,即(3a)2+a2=(2c)2,即4c2=10a2,
∴e==.
方法技巧　求双曲线的离心率e的值(或范围)的两种常见方法:
①求出a,c的值,代入公式e=求解;
②根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2将其转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(或范围).
5.C　由|PM|-|PN|=6<|MN|=8,得点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,设为C1,其方程为-=1(x≥3),
由|QN|-|QM|=6<|MN|=8,得点Q的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为6的双曲线的左支,设为C2,其方程为-=1(x≤-3),
则当且仅当直线PQ与双曲线C:-=1的两支相交时,直线PQ为“两全其美线”.
对于A,双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以直线y=x与C无公共点,A不符合题意;
对于B,直线x=4与C2无公共点,B不符合题意;
对于C,由0<<,知直线y=x过C的中心,且过C的两条渐近线所夹(含焦点)的区域,故直线y=x与C的两支相交,C符合题意;
对于D,由2>,知直线y=2x过C的中心,且过两条渐近线所夹(含虚轴)的区域,故直线y=2x与C无公共点,D不符合题意.
6.答案　
解析　由题意知F2(c,0),PF2⊥x轴,将x=c代入-=1,得|PF2|=,
由题意可知点P在双曲线的右支上,不妨设点P位于第一象限,则|PF1|-|PF2|=2a,故|PF1|=2a+,
设Q为∠F1PF2的平分线所在直线与x轴的交点,则F2A⊥PQ,
则|PA|=|PF2|=,
又|PF1|=|PA|+|AF1|=2a+,所以|AF1|=2a,
由题意可知|OA|=a,|OF1|=c,
在Rt△PF1F2中,cos∠PF1F2==,
在△AOF1中,由余弦定理得|OA|2=|OF1|2+|AF1|2-2|OF1||AF1|cos∠AF1O,即a2=c2+4a2-2·c·2a·,
结合b2=c2-a2,得3a4-4a2c2+c4=0,即e4-4e2+3=0,
解得e2=3或e2=1(舍),故e=(负值舍去),即C的离心率为.
二级结论　与椭圆一样,过双曲线的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于A,B两点,则AB为通径,其长为.
7.解析　(1)由题意得=tan=,即b=a,
∴c===2a,
∴双曲线Q的离心率e===2.
(2)由题意可画出图形,如图所示:
l是该双曲线的一条渐近线,其方程为y=x,即bx-ay=0,
作AC⊥l,BD⊥l,FE⊥l,垂足分别为C,D,E,则AC∥BD∥EF,四边形ACDB是梯形.
∵F是AB的中点,∴|EF|==3,
易知F(c,0),由点到直线的距离公式可得|EF|==b,
∴b=3,又b=a,∴a=,
故双曲线Q的方程为-=1.
8.D　由题意,得圆M的圆心M(4,0),半径为1.设P(x0,y0),x0≥3,则-=1,得=7,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-||2=(x0-4)2+-1=(x0-4)2+7-1=-8x0+8,x0≥3,令f(x)=x2-8x+8,其图象开口向上,对称轴为直线x=,因为x0≥3,所以当x0=3时,·取得最小值,为×9-8×3+8=0.
9.ACD　由双曲线方程可知a=1,b=2,c=,
由且点B位于第一象限,得B.
又F1(-,0),所以直线F1B的方程为y=x+.
由且点P在双曲线的左支上,得P.
易知双曲线的渐近线方程为y=±2x,
由得M,N或M,N.
对于A,若M,N,
则|PM|==2,
|BN|==2,
所以|PM|=|BN|;
若M,N,
则|PM|==,
|BN|==,
所以|PM|=|BN|,故A正确;
对于B,过F2的双曲线的弦的长度的最小值为双曲线的实轴长,为2,故B错误;
对于C,=×2×=4,故C正确;
对于D,×=,故D正确.
10.ABD　 x>0,f(x)>kx恒成立,即 x>0,>kx恒成立,则 x>0,k<+恒成立,
当x>0时,+>,则k≤,A正确;
如图,双曲线的一条渐近线为y=x,倾斜角为30°,另一条渐近线为x=0,则两条渐近线的夹角为60°,设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,
则=tan30°=,则双曲线的离心率e===,B正确;
双曲线的实轴所在的直线为两条渐近线夹角的角平分线所在直线,易知其倾斜角为60°,方程为y=x,
联立解得或
所以双曲线的顶点为(,3),(-,-3),C错误;
由C知2a==4,即a=2,则c=4,所以双曲线的焦距为2c=8,D正确.
11.答案　30-30
解析　以OC所在直线为x轴,垂直于OC的直线为y轴且使O为双曲线的右顶点,建立平面直角坐标系(图略).设该双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
因为该双曲线的渐近线互相垂直,所以a=b.
由题意知,-=1,
所以a=b=30,又c2=a2+b2,所以c=30,
故距点O较近的焦点距点O(30-30)cm.
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