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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　抛物线的定义及其应用
1.(教材习题改编)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x2=-12y　　　　B.x2=12y　　
C.y2=12x　　　　D.y2=-12x
2.(2025江西部分学校月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(3,0),P(2,t)是抛物线C上一点,则|PF|=(　　)
A.4　　B.5　　C.6　　D.7
3.(2025江西南昌第三中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C的准线l上,线段MF与y轴交于点A,与抛物线C交于点B,O为坐标原点,若|AB|=1,|MA|=3,则p=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
4.(2023河南郑州外国语学校期中)若点P(x,y)满足方程=,则点P的轨迹是　　　　　.(填圆锥曲线的类型)
题组二　抛物线的标准方程及其应用
5.(易错题)(2025江西八校协作体联考)抛物线y=x2的准线方程为(　　)
A.y=-　　B.y=-　　C.y=-　　D.y=-
6.(2025河南南阳期中)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,4)在C上,且|MF|=2|OF|,则C的方程为(　　)
A.y2=4x　　B.y2=8x　　C.y2=2x　　D.y2=x
7.(多选题)(2025江西华东师范大学上饶实验中学检测)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则(　　)
A.y0=4
B.以MF为直径的圆与x轴相切
C.F的坐标为(1,0)
D.|OM|=2
8.(2025广东部分名校联考)已知抛物线y2=12x的焦点为F,点P在抛物线上,定点Q(5,2),则|PQ|+|PF|的最小值为(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
9.(2024江西部分高中月考)已知抛物线C的准线与圆M:(x+2)2+(y+2)2=16相切,请写出一个抛物线C的标准方程:　　　　.
10.(教材习题改编)分别根据下列条件,求抛物线的标准方程.
(1)准线方程是4y+1=0;
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　抛物线的定义及其标准方程的综合应用
1.(2025江西上饶第四中学测试,)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为2的直线l,l与C的一个交点A位于第四象限,且l与C的准线交于点B,若|BF|=8,则|AF|=(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.3
2.(2025河北石家庄二中期中)如图所示,点F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是(　　)
A.[8,10]　　B.(5,8)　　C.(10,12)　　D.(8,10)
3.(2025河北部分地区期中,)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3|BF|,AB的中点到y轴的距离为,则p的值为(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
4.抛物线有如下光学性质:经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴(或在对称轴上);反之,平行于抛物线对称轴(或在对称轴上)的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2=2px(1A.　　B.2　　C.　　D.3
5.(多选题)(2024江西鹰潭贵溪一中期中,)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,B在D的上方.若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则　(　　)
A.△ABF是等边三角形
B.|BF|=3
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=6x
6.(2024河南南阳一中期中,)已知P为抛物线C:y2=4x上的动点,抛物线C的焦点为F,点A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为　　　　;若点B(4,5),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.
7.(2025重庆巴蜀中学校期中,)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,准线与x轴的交点为A,M为抛物线C上一动点,则的取值范围是　　　　.
8.(2024江苏宿迁沭阳期中,)一隧道内设有双行线公路,其截面近似由一长方形和一抛物线构成,如图所示.为保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米.若行车道的总宽度为8米,即|AB|=8米.
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度;
(2)现有一辆载重汽车宽3.5米,高4.2米,试判断该车能否安全通过隧道.
答案与分层梯度式解析
§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
基础过关练
1.A　设动圆圆心M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知,M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,所以=3,2p=12,故M的轨迹方程为x2=-12y.
2.B　由焦点坐标可知=3,由抛物线定义可知|PF|=2+=5.
3.C　设l与x轴的交点为H,则O为FH的中点,易得A为MF的中点,
因为|AB|=1,|MA|=3,所以|MF|=6,|BF|=2,|BM|=4.
过点B作BQ⊥l,垂足为Q,则由抛物线的定义可知|BQ|=|BF|=2,易知△MQB∽△MHF,则=,即=,所以|FH|=3,即p=3.
4.答案　抛物线
解析　由=,得=,
该式表示点P(x,y)到点(1,2)的距离与其到直线3x+4y+12=0的距离相等,
又因为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.
易错警示　到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹不一定是抛物线:①F l时,为抛物线;②F∈l时,为直线.
5.C　抛物线y=x2的标准方程为x2=y,故其准线方程为y=-.
易错分析　求抛物线的准线方程时,先把抛物线方程化为标准形式,再利用开口方向,判断其准线位置.
6.B　由抛物线的定义知|MF|=x0+,又2|OF|=p,|MF|=2|OF|,所以x0+=p,即x0=,
由点M(x0,4)在C上,得16=2px0,结合p>0,解得p=4,所以C的方程为y2=8x.
7.AB　抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),故C错误;
|MF|=y0+1=5,所以y0=4,故A正确;
把y0=4代入x2=4y,得=16,故M(4,4)或M(-4,4),
所以|OM|===4,故D错误;
以MF为直径的圆的圆心为或,半径为,可知圆心到x轴的距离为,等于圆的半径,故以MF为直径的圆与x轴相切,故B正确.
8.C　由抛物线方程可知p=6,F(3,0),准线方程为x=-3,过点P作准线的垂线,垂足为D,
由抛物线的定义得|PF|=|PD|,
故|PQ|+|PF|=|PQ|+|PD|,
易知当Q,P,D三点共线,即PQ所在直线与准线垂直时,|PQ|+|PF|取得最小值,为+5=8.(将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,构造出“两点之间线段最短”使问题得以解决)
9.答案　y2=-8x(答案不唯一)
解析　若抛物线的对称轴为坐标轴,顶点为原点,
则抛物线C的准线方程可能为x=2,x=-6,y=2,y=-6,
所以抛物线C的标准方程可能为y2=-8x,y2=24x,x2=-8y,x2=24y.
10.解析　(1)准线方程4y+1=0可化为y=-,所以抛物线的焦点在y轴上,开口向上,设标准方程为x2=2py(p>0),则=,所以p=,
所以抛物线的标准方程是x2=y.
(2)双曲线的标准方程为-=1,左顶点为(-3,0),
所以抛物线的焦点为(-3,0),所以抛物线的开口向左,设标准方程为y2=-2px(p>0),则=3,所以p=6,
所以抛物线的标准方程是y2=-12x.
(3)若抛物线的开口向右,设标准方程为y2=2px(p>0),当y=-3时,x=,
则|AF|=+=5,即p2-10p+9=0,解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
若抛物线的开口向左,设标准方程为y2=-2px(p>0),当y=-3时,x=-,
则|AF|=+=5,解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=-2x或y2=-18x.
综上可知,抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
能力提升练
1.B　过点A作准线的垂线,垂足为D,设|AD|=|AF|=m,易知tan∠BAD=2,则sin∠BAD=2cos∠BAD,
又sin2∠BAD+cos2∠BAD=1,
所以cos∠BAD=,则|AB|=3m,
因此|BF|=m+3m=8,所以|AF|=m=2.
2.D　过点A作抛物线的准线x=-1的垂线,垂足为E,
则△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=|AE|+|AB|+4=|BE|+4=xB+5,
由得故3故△FAB的周长的取值范围为(8,10).
3.B　易知F,准线l:x=-,设准线交x轴于点K,
不妨令点A位于第一象限,过A,B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,
过B作BG⊥AD于点G,交FK于点H,令|BE|=|BF|=n,则|AD|=|AF|=3n,|AG|=2n,
由|FK|=p,知|FH|=p-n,
易知△BFH∽△BAG,则=,即=,则n=,
设AB的中点为M,过M作MN⊥l于点N,则|MN|==2n==+,解得p=3.
4.D　由题知抛物线的焦点F,AB∥x轴,将y=2p代入y2=2px,得x=2p,则B(2p,2p),由题可知B,F,C三点共线,所以直线BC的方程为y=,即y=,代入抛物线方程并整理,得8x2-17px+2p2=0(15.ACD　根据题意作图,如图所示:
因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,所以|FA|=|FB|,
又A在抛物线上,所以|FA|=|AB|,所以△ABF为等边三角形,故A正确;
因为∠ABD=90°,所以AB∥x轴,过F作FE⊥AB于点E,则点E为AB的中点,
故点E的横坐标为,又点B的横坐标为-,所以|AB|=2|BE|=2p,
所以S△ABF=|AB|2=×4p2=9,解得p=3(舍负),则|BF|=|AB|=2p=6,故B错误;
焦点F到准线的距离为p=3,故C正确;
抛物线C的方程为y2=6x,故D正确.
6.答案　4;
解析　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
过点P作准线的垂线,垂足为点E,如图,由抛物线的定义得|PF|=|PE|,故|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,
易知当A,P,E三点共线,即当AP所在直线与直线x=-1垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,为3+1=4.
由三角形的性质可知|PB|+|PF|≥|BF|,由两点间的距离公式可得|BF|=,即当P是线段BF与抛物线的交点时,|PB|+|PF|取得最小值,为.
7.答案　[1,]
解析　由题意知F,A,
设M(x0,y0)(x0≥0),则|MA|=,
由抛物线定义知|MF|=x0+,
当x0=0时,=1;
当x0>0时,==
===,
因为x0+≥2=,当且仅当x0=,即x0=时,等号成立,
所以有最大值,
又当x0+→+∞时,→1,
所以∈(1,].
综上所述,的取值范围是[1,].
8.解析　(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
根据题意,可知此抛物线经过点(-5,-5),将(-5,-5)代入抛物线方程,解得p=,所以抛物线的方程为x2=-5y.
在此方程中,令x=-4,得y=-,又7--0.5=3.3,所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米.
(2)对于抛物线方程x2=-5y,令x=3.5,得y=-,
因为7--0.5=4.05<4.2,所以该车不能安全通过隧道.
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