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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与椭圆的交点
1.(教材习题改编)已知直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆mx2+2y2=2m总有公共点,则m的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　B.　　C.　　D.[1,2)
2.(2024黑龙江绥化期末)若直线mx-ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　　)
A.至多为1　　　　B.2
C.1　　 　　D.0
3.(2025江西部分学校联考)若直线l:y=x+m与椭圆C:+=1没有公共点,则m的取值范围为　　　　.
题组二　直线与双曲线的交点
4.(易错题)(2025浙江温州十校联合体期中)“k=±”是“直线y=kx+1与双曲线-y2=1只有一个公共点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知两点A(-4,0),B(4,0),若直线上存在点P,使得|PA|-|PB|=4,则称该直线为“点定差直线”.下列直线中,不是“点定差直线”的是(　　)
A.2x-y+4=0　　 　　B.x+y-1=0
C.x-y+1=0　　　　D.x-y+1=0
6.(2025云南玉溪第一中学月考)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是　　　　.
题组三　直线与抛物线的交点
7.(教材习题改编)若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　)
A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.4条
8.(2024浙江金华第一中学期中)设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB=　　　　.
9.(2025河北部分地区期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l:x=-1,过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点(A在x轴上方),分别过A,B作准线l的垂线,垂足分别为C,D.
(1)求抛物线的方程;
(2)设O为坐标原点,M为线段AB的中点,N为线段CD的中点,求.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与圆锥曲线的交点
1.(2025江西华东师范大学上饶实验中学检测)已知双曲线C:-=1(a>0),过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=16,这样的直线有4条,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.(0,64)
2.(2024湖北鄂东南示范高中模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点(A点在x轴上方),点D,若|AF|=|AD|,|BF|=,则C的方程为(　　)
A.y2=x　　B.y2=x　　C.y2=2x　　D.y2=4x
3.(2025河北部分学校联考)已知直线l1:y=kx(k>0),l2:4x+3y-2=0,椭圆C:4x2+y2=1,l1与C交于P,Q两点,点Q位于第一象限,l1与l2交于点T,设O是坐标原点,若2|OT|=|OP|+|TQ|,则k=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l绕点P(-2,1)旋转,Q为C上的动点,O为坐标原点,则(　　)
A.以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切
B.若直线l与抛物线有且只有一个公共点,则这样的直线l有两条
C.线段PF的垂直平分线的方程为3x-y+2=0
D.过点F的直线交C于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有2条
题组二　与交点有关的最值(或范围)问题
5.(2025湖南部分学校开学考试)已知直线l:x=m(y-3)与曲线C:x=有两个公共点,则m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,Q(1,2).若+=,则|PF|+|PQ|的最小值是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
7.(2024江苏徐州沛县月考)已知直线2x-y-2=0与双曲线C:x2-y2=1交于点A(x1,y1),B(x2,y2).P(x3,y3)为C上一点,且x18.(2025江西景德镇质检)已知O为坐标原点,椭圆Γ:+=1(a>b>0),C是Γ上一点,离心率e=.
(1)求Γ的方程;
(2)斜率为的直线l交Γ于A,B两点,P在以AB为直径的圆上,求|OP|的最大值.
答案与分层梯度式解析
§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
基础过关练
1.D　方程mx2+2y2=2m可化为+=1,该方程表示焦点在x轴上的椭圆,则02.B　由题意知,圆心(0,0)到直线mx-ny-4=0的距离d=>2,整理得m2+n2<4,所以点P(m,n)在以(0,0)为圆心,2为半径的圆内,因为椭圆+=1中a=3,b=2,所以点P(m,n)在椭圆内,所以过点P(m,n)的直线与椭圆+=1有2个交点.
3.答案　(-∞,-)∪(,+∞)
解析　联立方程组得14x2+18mx+9m2-45=0,
则Δ=324m2-56(9m2-45)<0,解得m<-或m>.
解题技巧　求直线与椭圆的位置关系时,可将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则Δ>0 有两个交点 相交;有一个交点 相切;Δ<0 无交点 相离.
4.A　联立方程组得(1-4k2)x2-8kx-8=0,
当1-4k2=0,即k=±时,方程有一个解,即只有一个公共点;
当1-4k2≠0时,令Δ=64k2+32(1-4k2)=0,解得k=±.
综上可得,若直线y=kx+1与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k=±或k=±,故为充分不必要条件.
点明易错　联立直线与双曲线方程,消元后得到的方程的二次项系数是不是0需分类讨论.当二次项系数为0时,直线与双曲线最多有一个交点;当二次项系数不为0时,利用判别式Δ求解.
5.A　结合双曲线的定义,满足|PA|-|PB|=4的点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线C的右支,易得双曲线C的标准方程为-=1,渐近线方程为y=±x,
依题意,若某直线为“点定差直线”,则该直线必与双曲线C的右支相交,
C,D中直线与双曲线C的右支相交,是“点定差直线”;
B中直线与双曲线C的一条渐近线平行,与右支有一个交点,是“点定差直线”;
A中直线与双曲线C无交点,不是“点定差直线”.
6.答案　(-1,1)
解析　解法一:当直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的渐近线y=±x平行时,k=±1,直线与双曲线的一支相交,
若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,
则直线y=kx+2一定在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含实轴的区域内,故k的取值范围为(-1,1).
解法二:联立方程组得(1-k2)x2-4kx-5=0,
由题意得解得-17.C　①当直线l的斜率不存在时,直线l为y轴,与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,符合题意;
②当直线l与抛物线C:y2=2x的对称轴平行时,直线l:y=2,与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,符合题意;
③当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,消去y,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,令Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,故直线l的方程为y=x+2.
综上,符合题意的直线l共有3条.
易错分析　直线与抛物线只有一个公共点有两种情况:①直线与抛物线相切;②直线与抛物线的对称轴平行或重合.
8.答案　
解析　由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2,
设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0),
联立得y2-8y-16=0,
故y1=4+4,y2=4-4,则x1=6+4,x2=6-4,
故A(6+4,4+4),B(6-4,4-4),
故|AC|==4,
|BC|==4,
|AB|=x1+x2+4=16,
在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB===.
9.解析　(1)由题意得=1,则p=2,故抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意得F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.
联立方程组得x2-6x+1=0,
解得x1=3+2,x2=3-2,则y1=2+2,y2=2-2,
故A(3+2,2+2),B(3-2,2-2),
则C(-1,2+2),D(-1,2-2),
则M(3,2),N(-1,2),
所以|AB|=3+2+3-2+2=8,|MN|=4,
原点到直线AB的距离d==,
所以S△AOB=×8×=2,S△MON=×4×2=4,
所以==.
能力提升练
1.B　由题意得F(,0),当x=时,y=±,
若A,B在同一支上,则|AB|min=,
若A,B在两支上,则|AB|min=2,
因为|AB|=16且这样的直线有4条,
所以解得2.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1==p,
∴y1==p,即A(p,p),
又F,
∴直线l的斜率k==2,
∴直线l的方程为y=2,
联立得4x2-5px+p2=0,
则x1+x2=p,∴x2=,
∴|BF|=x2+=p=,解得p=,
故C的方程为y2=x.
3.B　联立解得
所以T.
联立解得
因为点Q位于第一象限,所以Q.
由椭圆的对称性知2|OT|=|OP|+|TQ|=|OQ|+|TQ|=|OT|+2|TQ|,
则|OT|=2|TQ|,则=,所以=,解得k=.
4.AC　由抛物线C:y2=4x可知,C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
对于A,由抛物线的定义可知A正确.
对于B,当直线l的斜率不存在时,直线l与抛物线无公共点;当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2)+1,
当k=0时,直线l:y=1与抛物线有且只有一个公共点,
当k≠0时,联立整理可得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0,
令Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,解得k=-1或k=,
所以这样的直线l有3条,故B错误.
对于C,线段PF的中点为,又kPF==-,所以线段PF的垂直平分线的方程为y-=3,即3x-y+2=0,故C正确.
对于D,因为|AB|=4=2p,所以线段AB为抛物线的通径,所以这样的直线只有一条,故D错误.
5.D　由x=,得x2=(4-y2)(x≥0),即+=1(x≥0),所以C为椭圆+=1的右半部分(包含上、下顶点).
当m=0时,直线l:x=0与C有两个公共点,符合题意;
当m≠0时,直线l:y=x+3,令=k,
将y=kx+3代入+=1,得(3k2+4)x2+18kx+15=0,
则Δ=(18k)2-60(3k2+4)>0,得k2>,则m2<,
易知<0,所以-综上,m的取值范围是.
6.C　解法一:由题意可知F,直线AB的斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=kx+,代入x2=2py,得x2-2pkx-p2=0.
由根与系数的关系得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p.
所以+=+==,
所以2p=4,即p=2.故x2=4y.
分别过点P,Q作PM,QN垂直于抛物线的准线于M,N,连接MQ(图略),则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,当Q,P,M三点共线且M与N重合时,等号均成立.
解法二:设直线AB的倾斜角为θ,直线CD的倾斜角为β,β>θ,则+=+=,
因为两条焦点弦互相垂直,所以β=+θ,
所以+=====,所以2p=4,即p=2.故x2=4y.
下同解法一.
方法点拨　抛物线的焦点弦公式
已知AB是过抛物线的焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角是θ,直线AB的斜率为k.对于抛物线y2=2px(p>0),|AB|==2p;对于抛物线x2=2py(p>0),|AB|==2p(1+k2).
7.答案　
解析　联立解得或
因为x1故|AB|==,为定值,
由于x1当P距离直线AB最远时,△PAB的面积取得最大值,
设直线2x-y+t=0(t≠-2)与双曲线C相切于P点,
由消去y并化简,得3x2+4tx+t2+1=0,
由Δ=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0,解得t=-或t=,
结合图形(图略)可知切线方程为2x-y-=0,
直线2x-y-2=0与直线2x-y-=0的距离为,
所以△PAB的面积的最大值为××=.
8.解析　(1)由题意知解得
∴Γ的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M,联立得x2+2mx+2m2-2=0,
则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,
Δ=(2m)2-4(2m2-2)>0,得m2<2,∴M,
∴|OM|=|m|,
|AB|=|x1-x2|
==·,
∴|OP|≤|OM|+|AB|=(|m|+),
令|m|=cosθ,
则|m|+=(cosθ+sinθ)=2sin≤2,当且仅当θ=,即|m|=1时等号成立,满足m2<2,
∴|OP|≤,即|OP|的最大值为.
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