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【期末专项训练】实际问题与二元一次方程组-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
1．为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表：
捐书（本） 3 5 8 10
人数（人） 4 9
表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由．
2．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？
3．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元．
(1)问排球和跳绳的单价各是多少？
(2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠．
4．胶州湾跨海大桥是连接黄岛、城阳、李沧、胶州的跨海通道，曾被评为世界最美十大公路之一．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过49吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个部件和2个部件的总质量为2.8吨，2个部件和3个部件的质量相等．
(1)求1个部件和1个部件的质量各是多少吨？
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，现准备一次运输10套设备，请你判断能否通行，请说明理由．
5．2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
6．某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元．
(1)两种取暖器各购进多少台？
(2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
7．除夕当天，小渝购入了、两款电子泡泡机．购买款花费800元，购买款花费400元，其中款的数量恰好是款的，每个款的价格比每个款的价格低4元．
(1)请问款泡泡机的与款泡泡机的单价分别是多少元？
(2)元宵节当天，小渝决定再次购入一批电子泡泡机，其中购买款的数量与第一次相同，购买款的数量比第一次的购入量多个．此时、款两泡泡机均涨价，每个款的价格比第一次的价格高元，每个款的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买、两款泡泡机的总费用只比第一次购买、两款泡泡机的总费用多元，求的值．
8．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市两次购进两种大米数量和进货款如下表：
种大米数量（袋） 种大米数量（袋） 进货款（元）
第一次
第二次
(1)求两种大米每袋的进价；
(2)为刺激销量，超市决定在月份增加购进种大米作为赠品，进价为每袋元，并推出两种促销方案．甲方案：“买袋种大米送袋种大米”；乙方案：“买袋种大米送袋种大米．”若进货款为元，月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？
9．如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元．
(1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？
10．又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表：
中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨
第一次 3 2 9
第二次 5 4 16
(1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量；
(2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？
11．“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元．
(1)小长方形的长和宽各是多少米？
(2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
12．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元．
(1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？
(2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？
13．如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度．
14．请根据图中信息，回答下列问题：
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由．
15．某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗．
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
《【期末专项训练】实际问题与二元一次方程组-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
1．捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键．
根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可．
【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，
∴，
解得，，
∴捐5本的有20人，捐8本的有12人．
2．有只鸽子在树上，有只鸽子在树下
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，
由题意得，，
解得，
答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下．
3．(1)排球的单价是80元，跳绳的单价20元
(2)方案更优惠
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．
（1）设排球的单价是元，跳绳的单价是元，根据两次订购的数量和费用建立方程组，解方程组即可得；
（2）结合（1）的结果，分别计算出两种方案的费用，由此即可得．
【详解】（1）解：设排球的单价是元，跳绳的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：排球的单价是80元，跳绳的单价20元．
（2）解：方案：（元），
方案：（元），
因为，
所以方案更优惠．
4．(1)1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨
(2)能通行，理由见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的应用：
（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，由题意列方程组，即可求解；
（2）利用（1）中结论计算出10套设备的质量，加上卡车自重，与大桥限重比较即可．
【详解】（1）解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：，
解得，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
（2）解：能通行，理由如下：
10套设备的质量为：（吨），
，
能通行．
5．(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米
(2)按此施工进度，还需要200天完成任务
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键．
（1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，
根据题意得：，
解得：．
答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米；
（2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务，
根据题意得：，
解得：．
答：按此施工进度，还需要200天完成任务．
6．(1)A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台
(2)A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元
【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台”，列出方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据＂这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利＂，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
7．(1)A款泡泡机的单价是元，B款泡泡机的单价是元；
(2)的值为．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设A款泡泡机的单价是x元，则B款泡泡机的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用元购买B款泡泡机的数量是用元购买款泡泡机数量的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A款泡泡机的单价），进而求出B款泡泡机的单价；
（2）利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A款泡泡机的单价是x元，则B款泡泡机的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴（元）．
答：A款泡泡机的单价是元，B款泡泡机的单价是元；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去），．
答：的值为．
8．(1)种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元；
(2)方案一：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋，方案二：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋
【分析】（）设种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元，根据题意列出方程组即可求解；
（）设购进种大米袋，购进种大米袋，则购进种大米袋，根据题意列出二元一次方程，解二元一次方程即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元，
由题意得，，
解得，
答：种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元；
（2）解：设购进种大米袋，购进种大米袋，则购进种大米袋，
由题意得，，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当，时，，，；
当，时，，，；
∴有两种购买方案：
方案一：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋，
方案二：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋．
9．(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元
(2)该店共有3种购买方案，最大利润为万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
（1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元，
由题意可得：
，
解得，
答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元．
（2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数，
解得：，，，
所以该4S店共有3种购买方案．
当，时，获得的利润为（万元），
当，时，获得的利润为（万元）
当，时，获得的利润为（万元），
综上所述，最大利润为13.5万元．
10．(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨
(2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用；
（1）设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，再根据表格信息建立方程组解题，进一步的计算即可；
（2）设用中型货车辆，小型货车辆，可得，即．再求解方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，
根据题意，得
解得
（吨）．
答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是吨．
（2）解：设用中型货车辆，小型货车辆，
则，即．
∵为正整数，
∴或或；
方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，
费用：（元）；
方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，
费用：（元）；
方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，
费用：（元）．
，
方案一运输费用最少．
即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元．
11．(1)小长方形的长为米，宽为米；
(2)要完成这块绿化工程，预计花费元．
【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可；
（）利用“平方米造价总面积”即可；
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米，
根据题意可列方程组，
整理得：
解得：，
答：小长方形的长为米，宽为米；
（2）解：（元），
答：要完成这块绿化工程，预计花费元．
12．(1)甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元
(2)天
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键．
（1）设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，根据题意列方程组，求解即可．
（2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，根据题意列方程组，求出甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天数．
【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，
根据题意，得，
解得，
∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元．
（2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，
根据题意，得，
解得，
∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务．
13．这种书的厚度为，竖放时的高度为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题先设这种书的厚度为，竖放时的高度为，然后根据题干信息找到等量关系，列出方程组，即可求解；
【详解】解：设这种书的厚度为，竖放时的高度为，
根据题意，得，
解得，
答：这种书的厚度为，坚放时的高度为．
14．(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元
(2)到乙商场购买更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用．
（1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意，
得
解得
答：一个暖瓶70元，一个水杯30元．
（2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）；
若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）．
，
到乙商场购买更合算．
15．(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元
(2)250棵
(3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键．
（1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可；
（2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可；
（3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可．
【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，
根据题意，得，解得：
答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元．
（2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．
由题意可得：，解得．
答：至少购买“女贞”树苗250棵．
（3）解：由题意：可列不等式，解得：．
由（2）可知，
．
为整数，
的取值可以是250，251，252，
有三种购买方案，
方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）；
方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）；
方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）．
，
方案一最省钱．
答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵．
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