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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第二章　圆锥曲线
(全卷满分150分　考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,则点M到y轴的距离为(　　)
A.2 B.2 C.2 D.1
2.已知椭圆C:+y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线过点(-2,0),且与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的标准方程是(　　)
A.-x2=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.y2-=1
4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上位于第一象限的点,且|PF|=3,直线l过点P,当原点O到l的距离最大时,l的方程为(　　)
A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0
C.x-y-2=0 D.x+y-6=0
5.曲线|y|=x+2与曲线C:=1恰有两个不同的交点,则实数λ的取值范围为(　　)
A.[-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1]
6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且斜率为的直线l'与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MN⊥l于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则=(　　)
A. B.
C.3 D.2
7.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|<|FA|≤3|FB|,则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.[,+∞)
C. D.(,+∞)
8.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为=1(a>b>0),则椭圆上一点A(x0,y0)处的切线方程为=1.试运用该性质解决以下问题:椭圆C1:=1(a>b>0),其焦距为2,且过点,B为C1在第一象限内的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于点C,D,O为坐标原点,则△OCD面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.对任意的θ,方程(sin θ)x2+(cos θ)y2=1所表示的曲线可能为　(　　)
A.双曲线 B.抛物线 C.椭圆 D.圆
10.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过F的直线l与圆O:x2+y2=a2相切于点M,l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则(　　)
A.|MF|=b
B.直线OM与C相交
C.若|MF|=|QF|,则C的渐近线方程为y=±2x
D.若|MF|=|PF|,则C的离心率为
11.数学中有许多形状优美的曲线,如图,曲线E:x2+(y-|x|)2=1与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点P是曲线E上的一个动点,则(　　)
A.点(1,2)在曲线E上
B.△PAB面积的最大值为1
C.曲线E恰好经过3个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
D.|PC|+|PD|≤2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点,若,且cos∠MNF2=,则cos∠MF2N=　　　　.
13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOF的面积是△BOF面积的2倍,则|AB|=　　　　.
14.定义两个点集S,T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S,Q∈T},其中|PQ|表示P,Q两点之间的距离.已知m,t∈R,在平面直角坐标系xOy中,点集S={(x,y)|(x-)2+(y-a)2=1,a∈R},T={(x,y)|x+my-t=0},若d(S,T)=(0,+∞),则t的值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知双曲线C的中心为坐标原点O,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点A(2,0).
(1)求C的标准方程;
(2)过点A作一条直线与C的一条渐近线垂直,垂足为B,求△OAB的面积.
16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(0,2),动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F任作一直线l与C交于A,B两点,直线OA,OB与直线y=-2分别交于点M,N,求证:以线段MN为直径的圆经过点F.
17.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,如图,椭圆C的四个顶点与左、右焦点围成的阴影部分的面积为2.
(1)求C的标准方程;
(2)若直线l与C交于A,B两点,以AB为直径的圆经过坐标原点O,求△OAB面积的最大值.
18.(17分)设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,T1,T2,T3为C上三个不同的点,且|=6.
(1)求C的方程;
(2)设过点F的直线l交C于P,Q两点.
①若直线l交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,求的最小值;
②过点F作l的垂线m,交C于A,B两点,设线段PQ,AB的中点分别为D,E,求证:直线DE过定点.
19.(17分)如图,过椭圆的左、右焦点F1,F2分别作长轴的垂线l1,l2交椭圆于点A1,B1,A2,B2,将l1,l2两侧的椭圆弧删去,再分别以F1,F2为圆心,线段F1A1,F2A2的长为半径向外侧作半圆,这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l1,l2之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”,其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+)2+y2=1.
(1)求“帽体段”的方程;
(2)记“帽体段”所在椭圆为C,过点P(1,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在一个定点M(t,0),使得·为定值 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与解析
第二章　圆锥曲线
1.B　由题意得,|MF|=yM+=3,p=2,所以yM=2,
又点M在抛物线上,所以x2=4×2,解得x=±2,
所以点M到y轴的距离为2.
2.A　当m=2时,椭圆C:+y2=1,其离心率e=,充分性成立.
若椭圆C的离心率为,当m<1时,离心率e=,解得m=;当m>1时,离心率e=,解得m=2.综上,m=或m=2,必要性不成立.故为充分不必要条件.
3.B　椭圆方程可化为标准方程=1,
因为双曲线与椭圆有公共焦点,所以c=,
又双曲线过点(-2,0),所以a=2,则b2=c2-a2=1,
所以双曲线的标准方程为-y2=1.
4.D　设P(x0,y0),x0>0,y0>0,由|PF|=3,得y0+1=3,则y0=2,所以x0=2,则P(2,2),所以直线OP的斜率为,
当原点O到l的距离最大时,l⊥OP,所以l的斜率为-,
所以l的方程为y-2=-),即x+y-6=0.
5.B　如图所示,方程|y|=x+2表示起点为A(-2,0)的两条射线,且两条射线所在直线的斜率分别为1和-1.
当曲线C:=1为圆,即λ=1时,两曲线有三个交点,不符合题意;
当曲线C:=1为椭圆,即λ>0且λ≠1时,要使两曲线恰有两个不同的交点,只需点A(-2,0)落在椭圆内,即<1,所以λ>1;
当曲线C:=1为双曲线,即λ<0时,其渐近线方程为y=±x,
要使两曲线恰有两个不同的交点,只需≤1,所以λ≤-1.
综上,实数λ的取值范围是(-∞,-1]∪(1,+∞).
6.D　由抛物线C的方程y2=2px(p>0),得F,准线l:x=-,
则直线MF:y=,与抛物线方程y2=2px联立,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,即(6x-p)(2x-3p)=0,
设直线l'与抛物线y2=2px(p>0)在x轴下方交于点A,
可得xM=.
∵MN⊥l,∠MFx=60°,
∴∠NMF=60°,
又|MN|=|MF|,∴△NMF为等边三角形,
∴|MN|=|NF|=|MF|=xM+=2p.
易知∠NFO=∠OFA=60°,
由抛物线的对称性可得xQ=xA=,
∴|QF|=,
∴|NQ|=|NF|-|QF|=,
∴=2.
7.A　如图所示:
设双曲线的左焦点为F1,由双曲线的对称性可知,四边形AFBF1为平行四边形,
又·=0,所以FA⊥FB,所以四边形AFBF1为矩形,所以|AB|=|FF1|=2c,
设|AF1|=n,|AF|=m,则|BF|=n,
在Rt△ABF中,m-n=2a,m2+n2=4c2,
所以2mn=4c2-4a2=4b2,则mn=2b2,所以,
令=t,得,由|FB|<|FA|≤3|FB|,得=t∈(1,3],
因为对勾函数y=t+在(1,3]上单调递增,所以∈,
所以∈,即+1∈,则∈,故∈,
所以e=∈,所以双曲线C的离心率的取值范围是.
8.B　根据题意得c=1,因为椭圆C1过点,且a2=b2+c2,所以=1,解得b2=1,所以a2=2,所以椭圆C1的方程为+y2=1.
设点B(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题知切线l的方程为+y0y=1,
易得C,所以△OCD的面积S=.
因为1=≥2x0y0,当且仅当x0=1,y0=时等号成立,所以≥,所以△OCD面积的最小值为.
9.ACD　当sin θcos θ<0时,方程表示双曲线,故A正确;当sin θ>0,cos θ>0,且sin θ≠cos θ时,方程表示椭圆,故C正确;当sin θ=cos θ>0时,方程表示圆,故D正确;方程中无x或y的一次项,故不可能表示抛物线,故B错误.
10.AD　依题意知F(c,0),OM⊥l,如图所示:
|MF|==b,故A正确;
kOM=tan∠MOF=,直线OM是双曲线C过第一、三象限的渐近线,直线OM与C不相交,故B错误;
由A得点M,设点Q(x0,y0),
依题意知,,即(x0-c,y0)=4,
所以x0=,即Q,
又点Q在直线y=-x上,所以,
所以8a2=3c2,则,
故C的渐近线方程为y=±x,故C错误;
同C得点P,由点P在双曲线C上,得=1,即=1,所以e=,故D正确.
11.BD　将(1,2)代入曲线E的方程,得12+(2-1)2=2≠1,
所以点(1,2)不在曲线E上,A错误;
对于x2+(y-|x|)2=1,令y=0,得2x2=1,解得x=±,
所以A,所以|AB|=,
令x=0,得y2=1,故y=±1,所以C(0,-1),D(0,1),
令y=,得x2+(-|x|)2=1,所以2x2-2|x|+1=0,即(|x|-1)2=0,所以x=±,所以直线y=与曲线E交于点,
结合题图可得点P的纵坐标的绝对值的最大值为,
所以△PAB面积的最大值为=1,B正确;
对于x2+(y-|x|)2=1,令x=±1,可得y=1,
所以直线x=1与曲线E交于点(1,1),直线x=-1与曲线E交于点(-1,1),
所以曲线经过点(0,1),(0,-1),(1,1),(-1,1),C错误;
坐标平面内到定点C,D的距离之和为2的点的轨迹是以C,D为焦点,长轴长为2的椭圆,
设椭圆方程为=1(a>b>0),则2a=2,c=1,则a=,
b2=3-1=2,所以椭圆方程为=1,
联立
得9x2+4y2-12|x|y=0,所以3|x|-2y=0,所以x=±,
故椭圆=1与曲线E的交点为,
如图:
故曲线E上的所有点都满足|PC|+|PD|≤2,D正确.
12.答案　
解析　设|F1N|=k(k>0),则|MF1|=3k,|MN|=4k,
由椭圆的定义知,|NF2|=2a-k,|MF2|=2a-3k,
在△MNF2中,由余弦定理得|MF2|2=|MN|2+|NF2|2-2|MN||NF2|·cos∠MNF2,
即(2a-3k)2=(4k)2+(2a-k)2-2×4k×(2a-k)×,解得k=,
在△MNF2中,|MN|=,|MF2|=a,
由余弦定理可得cos∠MF2N=.
13.答案　
解析　由题意得F(1,0),当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线只有1个交点,不符合要求,舍去;
设直线l的方程为x=1+my,
联立消去x并整理,得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,
因为△AOF的面积是△BOF面积的2倍,所以y1=-2y2,
则y1y2=-2=-4,所以y2=-,则y1=-2y2=2,
则y1+y2=,即4m=,解得m=,
故x1+x2=,
则|AB|=x1+x2+2=.
14.答案　-
解析　集合S表示以(,a)为圆心,1为半径的圆上的点构成的集合,
集合T表示直线x+my-t=0上的点构成的集合.
易知圆心(,a)在双曲线x2-y2=1的右支上,
如图,
由图可知,当直线x+my-t=0与双曲线的渐近线x±y=0平行且距离为1时满足d(S,T)=(0,+∞),则m=±1.
当m=-1时,直线x-y-t=0在双曲线的渐近线x-y=0的左上方且距离为1,∴=1,t<0,解得t=-;
当m=1时,直线x+y-t=0在双曲线的渐近线x+y=0的左下方且距离为1,∴=1,t<0,解得t=-.
∴t的值为-.
15.解析　(1)由题意得a=2,设C的方程为=1(b>0),(2分)
则e2=1+,解得b2=4,(4分)
∴C的标准方程为=1.(6分)
(2)根据双曲线的对称性,不妨取C的一条渐近线y=x,(8分)
则|AB|=,(10分)
∴|OB|=,(12分)
∴△OAB的面积为.(13分)
16.解析　(1)∵动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1,
∴动点P到点F的距离等于动点P到直线y=-2的距离,(2分)
故点P的轨迹是以点F为焦点的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),
又=2,∴p=4,故动点P的轨迹C的方程为x2=8y.(4分)
(2)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A,则lOA:y=x,(6分)
由得M,同理可得N,(8分)
∴,(10分)
由得x2-8kx-16=0,∴x1x2=-16,(12分)
则··+16=0,即FM⊥FN,(14分)
因此,以线段MN为直径的圆经过点F.(15分)
17.解析　(1)由题意得e=,则c=a,(1分)
则阴影部分的面积为4×,(2分)
得a2=4,所以a=2,所以b=,(4分)
所以C的标准方程为=1.(5分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2,y2).
①当直线l的斜率不存在时,x1=x2≠0,y1=-y2,
因为以AB为直径的圆过坐标原点O,所以OA⊥OB,则·=0,
即x1x2+y1y2==0,得,(6分)
因为点A在C上,所以=1,代入上式解得|x1|=,
所以S△OAB=.(7分)
②当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m.
联立得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
则Δ=48(4k2+3-m2)>0,x1+x2=-,(8分)
因为以AB为直径的圆过坐标原点O,所以OA⊥OB,则·=0,
即x1x2+y1y2=0,(9分)
故x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)·+km·=0,
则7m2=12(k2+1).(10分)
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4··(4k2+3-m2),
所以|AB|=·,(11分)
又点O到直线AB的距离d=,(12分)
所以S△OAB=|AB|·d=·····≤·,当且仅当3m2=4m2-3,即m2=3,k2=时,等号成立,故S△OAB≤.(14分)
因为,所以△OAB面积的最大值为.(15分)
18.解析　(1)由抛物线方程得F,准线方程为x=-,(1分)
设T1(x1,y1),T2(x2,y2),T3(x3,y3),
则|,(2分)
由||=6,得x1+x2+x3+p=6,(3分)
由,且=0,得x1+x2+x3-p=0,(4分)
所以p=6,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(5分)
(2)①由题意作图如下:
将圆的方程化为标准形式,得(x-1)2+y2=1,则该圆圆心为F(1,0),半径r=1.(6分)
当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,代入y2=4x,解得y=±2,
则P(1,2),Q(1,-2),
将x=1代入x2+y2-2x=0,得y=±1,则M(1,1),N(1,-1),
所以|PM|=1,|QN|=1,则=5.(7分)
当l的斜率存在时,由题意可设l的方程为y=kx-k(k≠0),P(x4,y4),Q(x5,y5),x4>0,x5>0,
联立消去y并整理可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
Δ=[-2(k2+2)]2-4k4=16k2+16>0,x4+x5=,x4x5=1,(8分)
易知|PM|=|PF|-r=x4+-r=x5,
所以=4x4+x5≥2=4,当且仅当4x4=x5,即x4=,x5=2时,等号成立.(9分)
综上所述,的最小值为4.(10分)
②证明:由题意可作图如下:
易知直线l的斜率存在且不为零,设l的方程为y=kx-k,P(xP,yP),Q(xQ,yQ),结合①得xP+xQ=,(11分)
由m⊥l,可知直线m的方程为y=-,
联立消去y并整理可得x2-2(1+2k2)x+1=0,
Δ'=[-2(1+2k2)]2-4=16k2+16k4>0,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=2(1+2k2).
设D(xD,yD),E(xE,yE),
则xD=,(12分)
xE==-2k.(13分)
当k≠±1时,直线DE的斜率存在,设为k',
则k'=,(14分)
可得直线DE的方程为y-yE=k'(x-xE),即y+2k=(x-1-2k2),
整理可得y=(x-3),
所以直线DE过定点(3,0).(15分)
当k=±1时,直线DE的斜率不存在,易知xD=xE=3,
则直线DE的方程为x=3,此时直线过点(3,0).(16分)
综上所述,直线DE过定点(3,0).(17分)
19.解析　(1)设“帽体段”所在椭圆的标准方程为=1(a>b>0),(1分)
由题意知F2(,1),所以c==1,又a2=b2+c2,
所以a=2,b=c=,(4分)
所以“帽体段”的方程为≤x≤).(5分)
(2)①当直线AB与x轴不重合时,设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
将x=my+1代入=1,得(m2+2)y2+2my-3=0,
所以y1+y2=,
则x1+x2=m(y1+y2)+2=,
由题意得·,(9分)
要使得·为定值,即使得为定值,
则2(t2-4)=2t2-4t-1,解得t=,
即当t=时,·,为定值,(14分)
②当直线AB与x轴重合时,直线AB的方程为y=0,不妨令A(-2,0),B(2,0),
当点M的坐标为时,·.
综上,存在定点M,使得·为定值-.(17分)
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