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【期末专项训练】相交线与平行线解答题综合-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
1．问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，直线分别交于点，点在射线上运动．
①当点在（不与重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？
②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请直接写出间的数量关系．
2．综合与探究
如图，，点，分别在直线，上．
(1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明．
(2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数．
(3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
3．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C．
(1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由；
(2)若，平分，交直线于点D．
①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
4．如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线交于一点P．
(1)如图2，若和，则 ；
(2)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知，点M，N分别在上，点P是之间，右侧任意一点，连接，则的数量关系为 ；（不需要写解答过程）
(4)如图4，在（3）条件下，之间，左侧再取一点Q，连接，若使得，求与的数量关系．（用n表示）
5．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
(3)如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
6．如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
(1)若点在线段上，
①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程．
②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由．
(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．
7．在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和．
(1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °．
(2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值；
②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．
8．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题：
如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为．
【问题解决】
（1）下列结论错误的是（ ）
A．　B．　C．　D．
（2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数；
【探索发现】
（3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系．
9．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
10．【问题初探】
（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：；
【类比探究】
（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系；
【学以致用】
（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数．
《【期末专项训练】相交线与平行线解答题综合-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
1．（1）；（2）①当点在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，；②当在延长线时，；当在之间时，
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键．
（1）如图：过作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答；
（2）①同（1）求解即可；②如图：当在延长线时，过作交于，结合图形可得；同理：可求当在之间时．
【详解】（1）解：如图：过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴；
（2）解 ：①，理由如下：
如图：过作交于，
，
，
，
；
②如图：当 P 在延长线时，
如图：过作交延长线于，
，
，
，
如图：当在之间时，
如图：过作交于，
，
，
，
．
2．(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论；
（2）由（1）可得，代入数据，即可求解．
（3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵
∴
∵，
由（1）可得
（3）解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
由（1）可得，
∴
即．
3．(1)
(2)①不变，②与之间的数量关系是：或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数；
（2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论；
②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系．
【详解】（1）解：延长到E，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下：
延长到E，如图2所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
②与之间的数量关系是：或，理由如下：
（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
综上所述：与之间的数量关系是：或．
4．(1)
(2)，理由见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键：
（1）过点P作，根据平行线的性质进行求解即可；
（2）同法（1）进行求解即可；
（3）过点P作，根据平行线的性质，进行求解即可；
（4）设，得到，，由（2）（3）的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2所示，过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3），
理由如下：
过点P作（点S在点P的左侧），如图3所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（4）设，
∵，，
∴，，
由（2）的结论得：，
由（3）的结论得：，
∴，
∴，
∴．
5．(1)
(2)
(3)，，，，，秒
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
（1）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解；
（2）根据平行线的性质、角平分线的定义，通过等量代换，即可得解；
（3）根据的旋转速度，得到的旋转速度，分情况进行讨论，即可得出结果，
【详解】（1）解：如图，过点作，

∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示
由和的角平分线交于点，
设，，、交于点，
∴，，
由（1）得，即：，
，即：，
过点G作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）

④当继续旋转到与重合之后，则，
∴旋转了，
∴，
解得：（秒）；
⑤当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒）；
⑥当旋转到平行于射线时，有，
∴，
∴旋转角大小为：，
∴，
解得：（秒），
故的值为，，，，，秒．
6．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键．
（1）①过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解；
②过点C作，则得，从而求得；再由得，进而即可得到答案；
（2）过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解；
【详解】（1）解：①如图，过点C作，
则；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图，过点C作，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；理由：
如图，过点C作，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
7．(1)120；30
(2)①或；②的值为，，，
【分析】（1）根据，，求出，根据角平分线定义求出；根据平行线的性质求出．
（2）①分两种情况：当在右方时，当在左方时，分别画出图形进行求解即可；
②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
∵，
∴．
（2）解：①当在右方时，如图所示：
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：；
当在左方时，如图所示：
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：；
综上分析可知：此时或；
②当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（1）D
（2），，，
（3），理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键．
（1）根据平行线的性质逐项判断即可；
（2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可；
（3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论．
【详解】解：（1）A、∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
又∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意；
故选：D．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），
理由：过点E作，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键．
（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图所示，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
10．（）证明见解析；（）；（）
【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；
（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；
（）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解；
本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（）证明：如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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