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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§5　正态分布
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　正态曲线
1.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.正态曲线中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差
B.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的
C.正态曲线可以关于y轴对称
D.若X~N(μ,σ2),则P(X<μ)=
2.(2024湖北华大新高考联盟测评)对A,B两地国企员工上班迟到的情况进行了统计,可知A,B两地国企员工上班迟到的时间均符合正态分布,其中A地员工上班迟到的时间为X(单位:min),X~N(2,4),对应的曲线为C1,B地员工上班迟到的时间为Y(单位:min),Y~N,对应的曲线为C2,则下列图象正确的是(　　)
　　　　　　
3.(多选题)(2024江苏南京、盐城期末)某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程,在两村的村民中进行满意度测评,满分100分,规定:得分不低于80分的为“高度满意”,得分不超过60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布,其中X~N(70,),0<σ1<σ2,则(　　)
A.X对应的正态密度曲线比Y对应的正态密度曲线更扁平
B.甲村的平均分低于乙村的平均分
C.甲村的高度满意率与不满意率相等
D.乙村的高度满意率比不满意率大
题组二　正态分布的概率计算
4.(2024湖南长沙长郡中学月考)设随机变量X~N(μ,σ2),且P(XA.0.75　　B.0.5　　C.0.3　　D.0.25
5.(2025江西九江开学测试)已知某地区高考二检数学考试共有8000名考生参与,且二检的数学成绩X近似服从正态分布N(95,σ2),若成绩在80分以下的有1500人,则可以估计P(95≤X≤110)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024贵州黔西南州部分学校月考)若随机变量X~N(10,22),则下列结论错误的是(　　)
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
7.(2024江西名校联盟期末)已知随机变量X~N(12,σ2),若P(X<9)=0.36,则P(12题组三　正态分布的应用
8.(2025江西上饶广信检测)已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布N(18,σ2),质量指标大于或等于20的产品为优等品,且优等品出现的概率为0.1,现从该批产品中随机抽取6件,用X表示这6件产品中质量指标不在区间(16,20)内的产品件数,则DX=(　　)
A.0.96　　B.0.48　　C.1.2　　D.2.4
9.(2025甘肃白银期中)某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后,每天团购券的核销量(单位:张)X服从正态分布N(100,256),则200天内团购券的核销量在(84,132]内的天数大约是(　　)
(若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.191　　B.137　　C.159　　D.164
10.(多选题)(2025湖南长沙联考)某校高三年级选地理的学生有100名,现将他们的一次地理考试分数转换为等级分,已知等级分X的分数转换区间为[30,100],若等级分X~N(80,25),则(　　)
参考数据:P(μ-σA.这次考试等级分的标准差为5
B.这次考试等级分超过80分的约有45人
C.这次考试等级分在(70,80]内的人数约为48
D.P(6511.(2024江苏南通海安高级中学阶段检测)某小区居民前往高铁站有两种方案可选,方案一:穿过市区,路程较短但交通拥挤,经测算所需时间X1(单位:分钟)服从正态分布N1(50,100);方案二:骑共享单车到地铁站,乘地铁前往,路程长,但意外阻塞较少,经测算所需时间X2(单位:分钟)服从正态分布N2(60,16).该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达高铁站的可能性更大,则甲、乙两人选择的方案分别为(　　)
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.方案一,方案一　　　　B.方案一,方案二
C.方案二,方案一　　　　D.方案二,方案二
12.(2025江西上饶余干月考)某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2).其中,μ为样本平均数,σ2为样本方差.已知μ的近似值为76.5,σ的近似值为5.5,用样本估计总体.
(1)假设有84.13%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩,试估计该校预期的平均成绩;
(2)若笔试成绩高于76.5分即可进入面试,则从报考该试点高校的学生中随机抽取10人,设其中进入面试的学生人数为ξ,求随机变量ξ的数学期望;
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　正态分布及其概率计算
1.(2024山东德州第一中学期末)设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≥a)=0.5,P(XA.0.25　　B.0.3　　C.0.5　　D.0.75
2.(2024江西宜春丰城九中期末)已知随机变量X~B(2,p),随机变量Y~N(2,σ2),若P(X≤1)=0.36,P(Y<4)=p,则P(0A.0.1　　B.0.2　　C.0.3　　D.0.4
3.设随机变量ξ~N(μ,1),函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,则P(0<ξ≤1)=(　　)
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9544.
A.0.1587　　　　B.0.1359
C.0.2718　　　　D.0.3413
4.(多选题)(2025江苏南京玄武高级中学期中)已知三个分布密度函数fi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则(　　)
A.μ1=μ2>μ3
B.σ1=σ2<σ3
C.若X~N(1,),P(X<2)=0.7,则P(0D.若X~N(μ2,),Y~N(μ3,),则存在实数x0,使得P(X5.(2025江西宜春丰城中学期中)杨明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得,坐公交车平均用时为36min,样本方差为36;骑自行车平均用时为35min,样本方差为4,假设坐公交车用时X(单位:min)和骑自行车用时Y(单位:min)都服从正态分布N(μ,σ2),且参数μ用样本均值估计,参数σ用样本标准差估计,则下列说法错误的是(　　)
A.P(X≤25)B.P(X<24)>P(Y>41)
C.P(Y≤30)D.若某天只有35min可用,杨明应选择骑自行车
题组二　正态分布的综合应用
6.(多选题)(2025八省适应性联考)芯片时常被制造在半导体晶圆表面上.某企业使用新技术对某款芯片生产工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选合格”,B表示事件“某芯片经人工抽检合格”.改进生产工艺后,这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取M个芯片,其中恰有m个芯片的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55],则下列说法正确的是(　　)
(附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974)
A.P(B)>P(B|A)
B.P(A|B)>P(A|)
C.P(5.35<ξ≤5.55)≈0.84
D.P(m=45)取得最大值时,M的估计值为54
7.(2025陕西西安高新一中开学考试)某市为提高中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,其中预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生的预赛成绩中随机抽取100人的预赛成绩作为样本,得到频率分布直方图如图(各组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间):
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,求X的分布列及数学期望,并求至少有1人预赛成绩优良的概率;
(2)若认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中100名学生的预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=362,已知小明的预赛成绩为91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛.
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ8.我国是全球制造业大国,制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一,主要产品产量稳居世界前列,为深入推进传统制造业改造提升,全面提高传统制造业核心竞争力,某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.新设备生产的零件的直径为X(单位:nm).
(1)现有旧设备生产的零件共7个,其中直径大于10nm的有4个,现从这7个零件中随机抽取3个,记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件个数,求ξ的分布列及数学期望Eξ;
(2)已知新设备生产的零件的合格率为,每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测,若合格的零件个数η超过半数,则可认为技术攻坚成功,求技术攻坚成功的概率及η的方差;
(3)若新设备生产的零件直径X~N(9,0.04),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ答案与分层梯度式解析
§5　正态分布
基础过关练
1.CD　对于A,μ,σ的意义分别是样本的均值与标准差,故A错误;
对于B,正态曲线与x轴围成的面积是1,故B错误;
对于C,当μ=0时,正态曲线关于y轴对称,故C正确;
对于D,正态曲线关于直线x=μ对称,故P(X<μ)=,故D正确.
2.B　由μX=2<μY=3,知曲线C1的对称轴在曲线C2的对称轴的左侧,排除C,D;
由,知曲线C2比曲线C1瘦高,排除A.可知B正确.
3.BCD　对于A,曲线越扁平,方差越大,因为0<σ1<σ2,所以Y对应的正态密度曲线比X对应的正态密度曲线更扁平,故A错误;
对于B,甲村的平均分为70分,乙村的平均分为75分,故B正确;
对于C,因为甲村的平均分为70分,所以P(X≥80)=P(X≤60),故C正确;
对于D,因为乙村的平均分为75分,所以P(X≥80)>P(X≤60),故D正确.
4.D　易得P(X5.B　解法一:依题意得P(X<80)=,
故P(95≤X≤110)=P(80≤X≤95)=P(X≤95)-P(X<80)=.
解法二:由题意得成绩在[80,95]内的有4000-1500=2500人,
由对称性可知成绩在[95,110]内的也有2500人,
故P(95≤X≤110)=.
6.D　因为随机变量X~N(10,22),所以μ=10,σ=2,所以P(X≥10)=0.5,故A中结论正确;
P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B中结论正确;
P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),故C中结论正确;
D(2X+1)=4DX=16,故D中结论错误.
7.答案　0.14
解析　∵随机变量X~N(12,σ2),且P(X<9)=0.36,
∴P(X>15)=P(X<9)=0.36,
则P(1212)-P(X>15)=0.5-0.36=0.14.
8.A　由正态分布的性质得质量指标不在区间(16,20)内的概率为2×0.1=0.2,
所以X~B(6,0.2),故DX=6×0.2×0.8=0.96.
9.D　由题可知μ=100,σ=16,
故P(84故200天内团购券的核销量在(84,132]内的天数大约是200×0.8185=163.7≈164.
10.ACD　对于A,易知σ==5,故A正确;
对于B,因为μ=80,所以这次考试等级分超过80分的学生约占一半,即约有50人,故B错误;
对于C,P(70故这次考试等级分在(70,80]内的人数约为0.48×100=48,故C正确;
对于D,P(65=[P(μ-3σ≈×(0.9974-0.6826)=0.1574,故D正确.
11.C　对于甲,若选择方案一,则按时到达高铁站的概率为P(X1≤70)=P(X1≤μ1+2σ1)≈1-=0.9772;
若选择方案二,则按时到达高铁站的概率为P(X2≤70),
因为P(X2≤68)=P(X2≤μ2+2σ2)≈1-=0.9772,所以P(X2≤70)>0.9772.
综上所述,甲应选择方案二.
对于乙,若选择方案一,则按时到达高铁站的概率为P(X1≤64),
因为P(X1≤60)=P(X1≤μ1+σ1)≈1-=0.8413,所以P(X1≤64)>0.8413;
若选择方案二,则按时到达高铁站的概率为P(X2≤64)=P(X2≤μ2+σ2)≈1-=0.8413.
综上所述,乙应选择方案一.
12.解析　(1)由P(X>μ-σ)=≈0.8413,μ=76.5,σ=5.5,
知该校预期的平均成绩大约是76.5-5.5=71分.
(2)由μ=76.5,可得P(ξ>76.5)=,
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1名学生,
该学生笔试成绩高于76.5分的概率为,
所以随机变量ξ~B,
故Eξ=10×=5.
(3)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=×××,
P(X=1)=××××××××,
P(X=2)=×××××××××××,
P(X=3)=××××××××,
P(X=4)=×××,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×.
能力提升练
1.A　因为X~N(μ,σ2),P(X≥a)=0.5,所以a=μ,
因为P(X所以P(X≥b)=0.25,
所以根据正态分布密度曲线的对称性,得P(X≤2a-b)=P(X≥b)=0.25.
2.C　因为X~B(2,p),所以P(X≤1)=(1-p)2+2p(1-p)=0.36,解得p=0.8或p=-0.8(舍去),
因为P(Y<4)=p=0.8,所以P(Y≥4)=1-0.8=0.2,
又Y~N(2,σ2),所以P(03.B　若函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点,即方程x2+2x-ξ=0没有实数根,则Δ=4+4ξ<0,即ξ<-1.
∵函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,
∴P(ξ<-1)=0.5,由正态曲线的对称性可知μ=-1,
∴ξ~N(-1,1),σ=1,
∴μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1,
∴P(0<ξ≤1)=≈=0.1359.
4.BCD　对于A,根据正态曲线的性质可知μ1<μ2=μ3,故A错误;
对于B,σ越小时数据越集中,曲线越“高瘦”,则σ1=σ2<σ3,故B正确;
对于C,P(X>2)=1-0.7=0.3,则P(1对于D,由A知μ2=μ3,则存在实数x0=μ2=μ3,使得P(X5.C　因为EX=36,DX=36,所以X~N(36,36),μ1=36,σ1=6,
因为EY=35,DY=4,所以Y~N(35,4),μ2=35,σ2=2,
所以P(X≤25)P(X<24)=P(X<36-2×6)=×[1-P(μ1-2σ1P(Y>41)=P(Y>35+3×2)=×[1-P(μ2-3σ2因为P(μ1-2σ1所以P(X<24)>P(Y>41),故B中说法正确;
P(Y≤30)=P(Y≥40)>P(Y≥45),故C中说法错误;
P(X≤35)6.BC　对于A,由条件概率的定义知P(B|A)>P(B),A错误;
对于B,因为P(B|A)>P(B),
所以P(A)P(B|A)>P(A)P(B),
又P(B|A)=,故P(AB)>P(A)P(B),
又P(AB)+P(A)=P(A),
所以P(AB)>P(B)·[P(AB)+P(A)],
即P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(A),
即P(AB)[1-P(B)]>P(B)P(A),又P(B)∈(0,1),
所以,即,
故P(A|B)>P(A|),B正确;
对于C,易知μ=5.40,σ=0.05,则μ-σ=5.35,μ+3σ=5.55,
所以P(5.35<ξ≤5.55)=P(μ-σ<ξ≤μ+3σ)≈0.6826×+0.9974×=0.84,C正确;
对于D,由题及上述分析知m~B(M,0.84),则P(m=45)=0.8445×0.16M-45,
设f(x)=0.8445×0.16x-45,
令=0.16·>1,
解得x<≈52.6,故f(53)>f(52),
令=0.16·<1,
解得x>≈53.6,故f(53)>f(54),
所以P(m=45)取得最大值时,M的估计值为53,D错误.
7.解析　(1)预赛成绩在[60,80)内的样本容量为0.0125×20×100=25,在[80,100]内的样本容量为0.0075×20×100=15,
则X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
则EX=0×+1×+2×.
则至少有1人预赛成绩优良的概率为P(X≥1)=.
(2)μ==(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.0125+90×0.0075)×20=53,又σ2=362,所以Z~N(53,362),σ≈19,
故P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=[1-P(μ-2σ故全市参加预赛的学生中,成绩不低于91分的有12000×0.0228=273.6≈274人,
因为274<300,所以估计小明有资格参加复赛.
8.解析　(1)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×.
(2)η的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
则P(η=4)=××,
P(η=5)=××,
P(η=6)=××.
所以技术攻坚成功的概率为P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=,
因为η~B,所以方差Dη=6××.
(3)由X~N(9,0.04),可知μ=9,σ=0.2,则P(X>9.4)=P(X>μ+2σ)=[1-P(μ-2σ9.4)=0.9772,记“从生产的零件中随机取出10个,至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件A,则P(A)=1-P()=1-0.977210≈1-0.7940=0.2060.故至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为0.2060.
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