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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第六章　概率
§1　随机事件的条件概率
1.1　条件概率的概念
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　条件概率的概念及求解
1.(2024江西部分学校阶段性考试)先后两次抛一枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一次抛出的点数小于3”,事件B=“两次点数之和大于3”,则P(B|A)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024四川宜宾第一次诊断性测试)某校举办中学生乒乓球比赛,高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛,并从中随机选取3人组成代表队参赛,在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025江西上饶检测)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测,对此建筑构件实施打击,该构件有A,B两个易损部位,每次打击后,A,B部位损坏的概率分别为,,则在第一次打击后有部位损坏(只考虑A,B两个易损部分)的条件下,A,B两个部位都损坏的概率是　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(多选题)(2025福建泉州期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件,P(A)=,P(B)=,P(A+B)=,则下列说法正确的是(　　)
A.P(AB)=　　　　B.P(B)=
C.P(B|A)=　　　　D.P(|)=
5.(2025江西上饶检测)如图,一个质点从位置0出发,每次随机等可能地向左或向右移动一个单位,共移动4次,在第一次移动后位于位置1的条件下,该质点共经过两次位置2的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2025安徽部分学校联考)某公司进行招聘,甲、乙、丙被录取的概率分别为,,,且他们是否被录取互不影响,若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取,则甲被录取的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题组二　条件概率的性质及应用
7.(2025湖北武汉模拟)设A,B为任意两个事件,且A B,P(B)>0,则下列成立的是(　　)
A.P(A)>P(A|B)　　　　B.P(A)≥P(A|B)
C.P(A)8.在一个不透明的袋子中装有10个球,其中1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,这些球除颜色外完全相同,从中依次摸2个球,则在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到黄球或黑球的概率为　　　　.
9.(教材习题改编)银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数,则不超过2次就按对的概率为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第六章　概率
§1　随机事件的条件概率
1.1　条件概率的概念
基础过关练
1.B　由题意可得P(A)==,P(AB)=×=,所以P(B|A)==.
2.B　设事件A表示“代表队中既有男生又有女生”,事件B表示“女生甲被选中”,
则在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为P(B|A).
易得n(A)=--=30,n(AB)=+=8+6=14,
∴P(B|A)===.
3.A　记事件E表示“第一次打击后有部位损坏”,事件F表示“A,B两个部位都损坏”,
则P(E)=1-×=,P(EF)=×=,
由条件概率公式可得P(F|E)==.
4.ACD　因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以=+-P(AB),解得P(AB)=,故A正确;
P(B)=P(B)-P(AB)=-=,故B错误;
P(B|A)===,故C正确;
P(|)====,故D正确.
5.A　质点共移动4次,有2×2×2×2=16种情况.
设“质点第一次移动后位于位置1”为事件A,
则P(A)=,
设“质点共经过两次位置2”为事件B,若第一步位于位置1,想要经过位置2两次,则有1→2→3→2,1→2→1→2两种情况,
所以P(AB)==,则P(B|A)===.
6.C　设“甲、乙、丙被录取”分别为事件A,B,C,“三人中恰有两人被录取”为事件D,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=,
P(D)=P(BC∪AC∪AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=××+××+××=,
P(AD)=P(AC∪AB)=P(AC)+P(AB)=,
故P(A|D)===.
7.D　由A B知A∩B=A,故P(A)=P(AB)≤P(B),
则P(A|B)==,则P(A|B)P(B)=P(A),
又08.答案　
解析　设“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到黄球”为事件B,“第二次摸到黑球”为事件C,
则P(A)=,P(AB)==,P(AC)==,
∴P(B|A)==,P(C|A)==,
∴P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+=.
9.答案　
解析　设“第i(i=1,2)次按对密码”为事件Ai,“不超过2次就按对”为事件A,则A=A1∪(A2),
“密码的最后一位数字是奇数”为事件B,
则由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=.
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