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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.3　全概率公式
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　全概率公式及其应用
1.(2025四川德阳质检)已知一道解答题共有两小问,第一问5分,第二问8分,现每10个人有6个人能够解答出第一问,在第一问解答不出的情况下,解答出第二问的概率为0.1,第一问解答出来的情况下,第二问解答不出来的概率为0.7,则解答出第二问的概率为(　　)
A.0.04　　B.0.18　　C.0.22　　D.0.46
2.(多选题)(2025江苏南京开学考试)对于随机事件A,B,若P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则(　　)
A.P(AB)=　　　　B.P(A|B)=
C.P(A+B)=　　　　D.P(B)=
3.(2025江西上饶余干月考)“狼来了”的故事大家小时候应该都听过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度分析,假设小孩是诚实的,则他出于某种原因说谎的概率为0.1;小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9,则他说谎的概率是(　　)
A.0.1　　B.0.9　　C.0.05　　D.0.14
4.(2024江西新余期末)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校大约有30%的学生近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意选取一名学生,则他近视的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2025江西南昌第十中学月考)某工厂生产一种零件,该零件按质量分为一等品、二等品和次品.根据历史数据,该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7,0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测,检测方式分为两种:自动检测和人工抽检.自动检测能将一等品全部正确识别,但有5%的概率将二等品误判为次品,有15%的概率将二等品误判为一等品,也有10%的概率将次品误判为二等品.
(1)求在自动检测下,一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率;
(2)假设零件先经过自动检测,若判断为一等品,则进行人工抽检;若判断为二等品或次品,则直接淘汰.求人工抽检一个零件,该零件恰好是一等品的概率.
题组二　*贝叶斯公式
6.(2023湖北武昌实验中学适应性考试)已知某公路上经过的汽车只有货车和客车,且货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01.现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为(　　)
A.0.4　　B.0.6　　C.0.7　　D.0.8
7.(2025江西上饶第四中学测试)某人下午5:00下班,他所积累的资料表明:
到家时间 5:35到 5:39 5:40到 5:44 5:45到 5:49 5:50到 5:54 迟于 5:54
乘地铁到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽车到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家,结果他是5:47到家的,则他乘地铁回家的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2025福建莆田月考)第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到红球的条件下,求2个球都是红球的概率;
(2)抛一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于4,则从甲箱中随机抽出1个球;如果点数大于等于5,则从乙箱中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率;
(3)在(2)的条件下,若抽到的是红球,求它来自乙箱的概率.
9.(2025上海华东师大附中月考)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2023年某机场飞往A地、B地及其他地区(不包含A,B两地)的航班放行准点率的估计值分别为84%,80%和75%,2023年该机场飞往A地、B地及其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6.
(1)现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的概率;
(2)若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他地区三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
答案与分层梯度式解析
1.3　全概率公式
基础过关练
1.C　设“解答出第一问”为事件A,“解答出第二问”为事件B,则P(A)=|A)=0.7,
则P()=0.4,P(B|A)=0.3,
由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()=0.6×0.3+0.4×0.1=0.22.
2.BCD　对于A,由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=×,故A错误;
对于B,P(A|B)=,故B正确;
对于C,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故C正确;
对于D,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(),即×),解得P(B|,再由乘法公式得P(×,故D正确.
3.D　设事件A为“小孩诚实”,事件B为“小孩说谎”,
则P(B|A)=0.1,P(B|)=0.1,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()=0.9×0.1+0.1×0.5=0.14.
4.B　令事件A1=“该校学生每天玩手机的时间超过1小时”,事件A2=“该校学生每天玩手机的时间不超过1小时”,事件B=“从该校任意选取一名学生,此学生近视”,
则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.6,P(B)=0.3,
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.6+0.8×P(B|A2)=0.3,解得P(B|A2)=,
所以所求概率为.
5.解析　(1)设事件A为“零件是次品”,B为“自动检测判断零件为次品”,A1为“零件是一等品”,A2为“零件是二等品”,则P(A)=0.1,P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(B|A)=0.9,P(B|A1)=0,P(B|A2)=0.05,
由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.1×0.9=0.09,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.1×0.9+0.7×0+0.2×0.05=0.1,
故P(A|B)=.
所以在自动检测下,一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为.
(2)设事件C为“零件需要进行人工抽检”,D为“人工抽检的零件为一等品”,
则P(C)=0.7+0.2×0.15=0.73,P(CD)=0.7,
故P(D|C)=.
所以人工抽检一个零件,该零件恰好是一等品的概率为.
6.D　设事件A1表示“经过的是货车”,A2表示“经过的是客车”,B表示“汽车中途停车修理”,则B=A1B∪A2B,则P(A1)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得
P(A1|B)=
==0.8.
7.C　用事件A表示“乘地铁回家”,事件B表示“乘汽车回家”,则P(A)=P(B)=0.5,
用事件C表示“5:45到5:49到家”,则P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.20,
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5×0.45+0.5×0.20=0.325,
所以P(A|C)=.
8.解析　(1)设事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”,事件B表示“2个球都是红球”,
则P(A)=1-,
故P(B|A)=.
(2)设事件C表示“从乙箱中抽球”,则事件表示“从甲箱中抽球”,事件D表示“抽到红球”,
则P(C)=,
故P(D)=P(CD)+P(××.
(3)在(2)的条件下得P(C|D)=.
9.解析　(1)设事件A1=“该航班飞往A地”,A2=“该航班飞往B地”,A3=“该航班飞往其他地区”,C=“该航班准点放行”,
则P(A1)=0.2,P(A2)=0.2,P(A3)=0.6,
P(C|A1)=0.84,P(C|A2)=0.8,P(C|A3)=0.75,
由全概率公式得P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)P(C|A3)=0.2×0.84+0.2×0.8+0.6×0.75=0.778,
所以该航班准点放行的概率为0.778.
(2)P(A1|C)=,
P(A2|C)=,
P(A3|C)=,
因为,所以该航班飞往其他地区的可能性最大.
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