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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§2　离散型随机变量及其分布列
2.1　随机变量　　2.2　离散型随机变量的分布列
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　随机变量
1.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个球,下列选项中可以用随机变量表示的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
2.(易错题)某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是(　　)
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标
D.第4次击中目标
3.(2023江苏徐州第一中学月考)袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数为　　　　.
题组二　离散型随机变量的分布列
4.(2024山东德州夏津育中万隆中英文高级中学月考)如图,我国古代珠算算具算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面的2颗叫上珠,下面的5颗叫下珠,若从某一档的7颗算珠中任取3颗,记其中上珠的个数为X,则P(X≤1)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.5.数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称有一个“巧合”,则“巧合”个数ξ的分布列为　　　　.
6.(2025吉林长春十一高中月考)门卫室有5把钥匙,其中只有一把能打开办公室的门,由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙,他只好逐一尝试.若不能开门,则标记后换一把钥匙继续尝试开门,记打开门时,试开门的次数为X.求:
(1)X的分布列;
(2)该员工至多试开3次的概率.
7.(2025江西新余第四中学模拟)小睿与小金进行羽毛球比赛,经过大数据分析,每局比赛小睿获胜的概率均为.
(1)若比赛为三局两胜制:
(i)设比赛结束时比赛局数为X,求X的分布列;
(ii)求小金最终获胜的概率;
(2)若比赛为五局三胜制,已知小睿最终获胜了,求在此条件下进行了5局比赛的概率.
题组三　离散型随机变量的性质
8.(2025湖北黄冈月考)设随机变量X的分布列为P(X=k)=m,k=1,2,3,4,则m的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(2024江西部分学校月考)设随机变量X的分布列如下表,则P(|X-1|≤1)=(　　)
X -1 0 1 2
P m
A.　　B.　　C.　　D.
10.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y题组四　两点分布
11.(2024江苏盐城期中)已知随机变量X服从两点分布,若P(X=1)=0.6,则P(X=0)=(　　)
A.0.6　　B.0.3　　C.0.2　　D.0.4
12.若离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=p,4-5P(X=0)=p,则p=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
13.(2024江西泰和中学质检)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=a,那么a=　　　　.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　离散型随机变量的分布列的应用
1.(2024河北衡水武强中学期中,)已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1,X2,记X=min{X1,X2},则P(2≤X≤4)=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.(2025吉林长春期中,)2024年斯诺克武汉公开赛前夕,肖国栋与斯佳辉两人进行了热身赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设肖国栋在每局中获胜的概率为,斯佳辉在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,比赛停止时已打局数为ξ,则(　　)
A.P(ξ=2)=　　　　B.P(ξ=3)=
C.P(ξ=4)=　　　　D.P(ξ=6)=
4.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为　　　　　　　　　.
5.(2024江苏连云港灌南高级中学检测)甲、乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲、乙两人对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为,若乙发球,则甲得分的概率为,规定赢得一球得1分.该局比赛中,甲、乙依次轮换发球(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.
(1)求在前4球中,甲领先的概率;
(2)12球过后,双方战平(6∶6),已知继续对战奇数个球后,甲率先取得11分获得胜利(获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上).设净胜分(甲,乙的得分之差)为X,求X的分布列.
答案与分层梯度式解析
§2　离散型随机变量及其分布列
2.1　随机变量
2.2　离散型随机变量的分布列
基础过关练
1.C
2.C　因为击中目标或子弹打完就停止射击,所以射击次数ξ=5说明前4次均未击中目标.
易错警示　因为停止射击的条件是“击中目标或子弹打完”,所以“ξ=5”与“ξ=4”不同,“ξ=4”的含义是“前3次未击中目标,第4次击中目标”,“ξ=5”的含义是“前4次均未击中目标”,与第5次是否击中目标没有关系.
3.答案　10
解析　X的所有可能取值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,共10个.
4.A　解法一:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.
解法二:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X≤1)=1-P(X=2)=1-.
5.答案　
ξ 0 1 2 4
P
解析　ξ的可能取值为0,1,2,4,则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=4)=.
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 4
P
6.解析　(1)X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X=1)=,
P(X=3)=,
P(X=5)=.
因此X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
(2)P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=.
7.解析　(1)(i)由题意知X的可能取值为2,3.
P(X=2)=,
P(X=3)=1-P(X=2)=1-,
所以X的分布列为
X 2 3
P
(ii)小金最终获胜的概率P=·.
(2)设事件A=“小睿最终获胜”,事件B=“共进行了5局比赛”,
则P(A)=,
故P(B|A)=.
8.C　由题意得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=m=1,解得m=.
9.C　由题意可得=1,则m=,所以P(|X-1|≤1)=P(0≤X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.
10.解析　(1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
则P(Y=0)=.
所以Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)因为P(Y所以实数x的取值范围是(4,9].
11.D　因为随机变量X服从两点分布,所以P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.
12.D　因为离散型随机变量X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,
则4-5[1-P(X=1)]=p,即4-5(1-p)=p,解得p=.
13.答案　
解析　由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=.
能力提升练
1.A　由分布列的性质可知a+=1,解得a=,
由Y=2X+1,Y≥5,可得X≥2,由题表可知P(X≥2)=,故P(Y≥5)=.
2.B　随机变量X满足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4这3个互斥事件的和,而P(X=2)=,所以P(2≤X≤4)=.
3.D　ξ的所有可能取值为2,4,6,
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为,
如果该轮结束时比赛还将继续,那么在该轮中两人各得1分,则该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,
从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×,P(ξ=6)=,因此D正确.
4.答案　
ξ 0 1
P
解析　ξ的可能取值为0,1,.
若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条,所以P(ξ=0)=.
若两条棱平行,则它们之间的距离为1或,
而距离为的棱共有6对,故P(ξ=.
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
技巧点拨　如果求随机变量取某个值时的概率比较烦琐,那么可先求出随机变量取其他值时的概率,再利用分布列的性质求解.
5.解析　(1)在前4球中,甲领先的情况有两种:①甲与乙的比分是4∶0;②甲与乙的比分是3∶1.
甲与乙的比分是4∶0的概率为×××,
比分是3∶1的概率为2××××+2××××,
故在前4球中,甲领先的概率P=.
(2)由题意可知接下来将由甲发球,若继续对战奇数个球后,甲获得胜利,则甲以11∶6或11∶8获胜,即在接下来的比赛中,甲与乙的比分为5∶0或5∶2,且最后一球均为甲获胜.
记“接下来的比赛中,甲与乙的比分为5∶0”为事件A,则P(A)=××,
记“接下来的比赛中,甲与乙的比分为5∶2”为事件B,则前6球中,乙获胜两球,甲发球四次,乙发球两次,
则P(B)=×××××××××××,
故甲获胜的概率为.
易得X的所有可能取值为3,5,
P(X=3)=,
故X的分布列为
X 3 5
P
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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