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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的均值(数学期望)
1.(2024江苏常州联盟校期中)设随机变量X的分布列为P(X=i)=×,i=1,2,3,则X的数学期望EX=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024河北石家庄二十四中月考)一个口袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从口袋中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则EX=(　　)
A.2　　B.3　　C.　　D.
3.(多选题)(2024福建南平高级中学月考)已知X 0 1 2
P p-p2 1-p p2
A.P(X=2)的值最大
B.P(X=0)C.EX随着p的增大而减小
D.EX随着p的增大而增大
4.(2024江西名校联合测评)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定义协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-EX·EY,已知X,Y的分布列如下表所示,其中0X 1 2
P p 1-p
　
Y 1 2
P 1-p p
A.0　　B.1　　C.2　　D.4
5.(2025天津滨海新区期中)为培养学生体育锻炼的习惯,以及强化科学健身的理念,某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团,甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团,每位同学参加各个社团的可能性相同,则三位同学参加的社团各不相同的概率为　　　　,记三位同学所参加的社团种类的个数为X,则EX=　　　　.
6.(2025江西上饶新知学校检测)甲、乙两人进行围棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分,约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束,且得分多的一方获胜.假设在每局比赛中不存在平局,且甲每局获胜的概率为,各局比赛相互独立.已知前3局中,甲胜1局,乙胜2局,两人又打了X局后比赛结束.
(1)求甲获胜的概率;
(2)求X的分布列及期望.
题组二　离散型随机变量的均值的性质
7.(2025全国课后作业)已知离散型随机变量X的分布列如下,若E(3X+4)=5,则a+b=(　　)
X -1 0 a 2
P b
A.　　B.1　　C.　　D.
8.(多选题)(2025广东汕头期中)设离散型随机变量X的分布列如下表:
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量Y=-2X+3,且EX=3.2,则下列正确的是(　　)
A.m=0.3　　　　B.n=0.1
C.EY=-3.4　　　　D.P(X≤3)>P(X>3)
9.(教材习题改编)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都是,则面试结束后通过的人数X的期望为　　　　.
题组三　离散型随机变量的均值的综合应用
10.(2023湖南岳阳第一中学入学考试)甲、乙两人进行乒乓球比赛,每人各局取胜的概率均为,现采用五局三胜制,胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜,此时因某种原因比赛中止,为使奖金分配合理,则乙应得的奖金为(　　)
A.700元　　B.600元　　C.200元　　D.100元
11.(2024江苏新高考基地学校大联考)某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动,凡购物金额超过m元的顾客均可参加一次抽奖.抽奖规则如下:从装有大小、形状完全相同的4个黑球和2个红球的盒子中随机取2个小球,若2个小球都为红色,则获100元奖金;若2个小球为1红1黑,则获30元奖金;若2个小球都为黑色,则获10元奖金.
(1)记参加抽奖的一名顾客获得的奖金为X元,求X的分布列和数学期望;
(2)该超市去年店庆日共有3000名顾客购物,统计购物金额得到如下的频率分布直方图.若今年抽奖活动总奖金预设为12000元,依据去年店庆日的数据,给出合理的m的值,并说明理由.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的均值
1.(2024安徽淮南期中)如图,某考古队在考察一古墓时,发现古墓外面是一个正方形复杂空间,且有4个形状、大小均相同的入口1,2,3,4,其中只有1个入口可以打开,其他的都是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路,从4条路线中任选一条寻找可以打开的入口,找到后直接进入古墓,若未找到,则沿原路返回到出发点,继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的,它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次,且每次选哪条路线是等可能的,则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.
2.(多选题)(2024江西部分学校开学考试)甲盒中装有3个蓝球、2个黄球,乙盒中装有2个蓝球、3个黄球,同时从甲、乙两盒中取出i(i=1,2)个球进行交换,记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望分别为EiX,EiY,则下列结论正确的是(　　)
A.E1X+E1Y=5　　　　B.E1X>E1Y
C.E2X3.(2025四川成都开学考试)甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得0分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中,甲获胜的概率为α,乙获胜的概率为β(α+β=1,α>0,β>0),且每局比赛结果相互独立.若比赛最多进行5局,则比赛结束时比赛局数X的期望EX的最大值为　　　　.
4.(2025江西萍乡期中)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,所得的向上的点数分别记为a,b,设[x]表示不超过实数x的最大整数,的值为随机变量X.
(1)求在X>0的条件下,X=的概率;
(2)求X的分布列及数学期望.
题组二　离散型随机变量的均值的实际应用
5.(2025江西上饶测试)泉州市举办庆“七一”知识竞赛活动,初赛采用两轮制方式进行,要求每个区(县)派出两个小组,且每个小组都要参加两轮比赛,两轮比赛都通过的小组才具备参加决赛的资格.德化县派出甲、乙两个小组参赛,在初赛中,若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是,通过第二轮比赛的概率分别是,且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)德化县派出的两个小组获得决赛资格的小组的个数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)已知德化县的甲、乙两组在决赛中相遇,决赛以抢答A和B两道题的方式进行,抢到并答对一题得10分,答错不得分.其中一方的得分多于另一方的得分即为获胜,假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率,甲、乙两组随机等可能抢到每道题,求甲组获胜的概率.
6.(2024山东淄博实验中学月考)某次数学考试的第9题至第11题为多项选择题,已知每题有四个选项,选项中有2个或3个选项符合题目要求.正确选项是3项的,全部选对得6分,选对2个得4分,选对1个得2分,有选错的得0分;正确选项是2项的,全部选对得6分,选对1个得3分,有选错的得0分.甲考生参加此次数学考试,考前该考生统计了8套该类型数学考卷的答案,分布如下:
第9 题 第10 题 第11 题 第9 题 第10 题 第11 题
第1套 AC ABD BCD 第5套 AC BC ABD
第2套 ACD BC ABD 第6套 ABD AC BCD
第3套 AD ACD BC 第7套 AD ACD BD
第4套 CD AC ACD 第8套 BD ACD ABC
(1)根据这8套数学考卷多项选择题的答案分布,用频率估计概率,求一个多项选择题有2个选项是正确选项的概率;
(2)甲考生在此次考试中发现某题能确定选项C肯定正确,其他选项都不确定是否正确,为使他此题得分X的数学期望最高,请你帮他从以下三种方案中选一种,并说明理由.
方案一:就只选择选项C;
方案二:除选项C外,再随机选择一个选项;
方案三:除选项C外,再随机选择两个选项.
答案与分层梯度式解析
§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
基础过关练
1.A　由题意得EX=1××+2××+3××.
2.C　由题意得,X的可能取值为2,3,4,
则P(X=2)=.
因此X的分布列为
X 2 3 4
P
EX=2×+3×+4×.
3.BD　取p=,则P(X=2)=,A错误;
因为EX=1×(1-p)+2p2=2结合二次函数的性质可知,EX随着p的增大而增大,C错误,D正确.
4.A　由题意得XY的分布列为
XY 1 2 4
P p(1-p) p2+(1-p)2 p(1-p)
E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,EX=2-p,EY=p+1,
所以Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.
5.答案　
解析　三位同学选择社团的情况总数有33=27种,参加的社团各不相同的情况有=6种,
所以三位同学参加的社团各不相同的概率为.
由题意可知,X的所有可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,
P(X=3)=,
则EX=1×+2×+3×.
6.解析　(1)在接下来的比赛中,若甲连赢4局,则甲获胜,
其概率为;
若甲赢3局,乙赢1局,则甲获胜,
其概率为××.
所以甲获胜的概率为.
(2)X的可能取值为2,4,
X=2表示在接下来的比赛中,乙连赢2局,
所以P(X=2)=×,则P(X=4)=1-,
所以X的分布列为
X 2 4
P
因此EX=2×+4×.
7.C　由题意知=1,解得b=,
因为E(3X+4)=5,所以3EX+4=5,所以EX=,
则EX=-1×+0×+a×+2×,
解得a=1,所以a+b=.
8.BCD　由题意知m+0.1+0.3+n+0.3=1,所以m+n=0.3①,
因为EX=3.2,所以1×m+2×0.1+3×0.3+4×n+5×0.3=3.2,即m+4n=0.6②,
联立①②解得m=0.2,n=0.1,故A不正确,B正确;
因为Y=-2X+3,所以EY=-2EX+3=-2×3.2+3=-3.4,故C正确;
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3=0.6,P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.3=0.4,所以P(X≤3)>P(X>3),故D正确.
9.答案　
解析　设甲、乙能通过面试的期望分别为Ea,Eb(a=0,1,b=0,1),则Ea=1×+0×,Eb=1×+0×,又X=a+b,所以EX=E(a+b)=Ea+Eb=.
10.D　设甲应得的奖金为X元,则X的可能取值为800,0.
甲赢得比赛有3种情况:①第3局胜,甲赢的概率为;②第3局输,第4局胜,甲赢的概率为×;③第3,4局输,第5局胜,甲赢的概率为×.∴甲赢的概率为,
∴EX=800×+0×=700,
∴乙应得的奖金为800-700=100元.
11.解析　(1)由题意得X的可能取值为10,30,100,
且P(X=10)=.
所以X的分布列为
X 10 30 100
P
所以EX=10×+30×+100×.
(2)由(1)知,一名顾客参与抽奖所获的奖金均值为元,若今年抽奖活动总奖金预设为12000元,则参与抽奖的人数为=450,
所以一名顾客可以参与抽奖的概率为=0.15,
又100×(0.002+0.004+0.0025)=0.85,所以m=300.
能力提升练
1.D　设Y表示总尝试次数,则Y的可能取值为1,2,3,4.
P(Y=1)=××××××1=,
所以EY=1×+2×+3×+4×.
2.ABC　由题意知X表示交换后甲盒子中的蓝球个数,Y表示交换后乙盒子中的蓝球个数,
当i=1时,X的可能取值为2,3,4,Y的可能取值为1,2,3,且P(X=2)=P(Y=3)=,
则E1X=2×+3×+4×,E1Y=3×+2×+1×=5,故A,B正确;
当i=2时,X的可能取值为1,2,3,4,5,Y的可能取值为0,1,2,3,4,且P(X=1)=P(Y=4)=,
P(X=2)=P(Y=3)=,
P(X=3)=P(Y=2)=,
P(X=4)=P(Y=1)=,
P(X=5)=P(Y=0)=,
则E2X=1×+2×+3×+4×+5×,
E2Y=4×+3×+2×+1×+0×,故C正确,D错误.
3.答案　
解析　设“甲获胜”为事件A,“乙获胜”为事件B,
则P(A)=α,P(B)=β,且α+β=1,
由题意得X的所有可能取值为2,4,5,
则P(X=2)=P(AA)+P(BB)=α2+β2,
P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(αβ+βα)α2+(αβ+βα)β2=2αβ(α2+β2),
P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=α2β2+α2β2+α2β2+α2β2=4α2β2,
所以X的分布列为
X 2 4 5
P α2+β2 2αβ(α2+β2) 4α2β2
所以X的期望EX=2(α2+β2)+8αβ(α2+β2)+20α2β2
=2(1-2αβ)+8αβ(1-2αβ)+20α2β2=4α2β2+4αβ+2,
因为α+β=1≥2,所以αβ≤,当且仅当α=β=时等号成立,所以αβ∈,
所以EX=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤,故EX的最大值为.
4.解析　(1)记抛掷骰子的样本点为(a,b),则样本空间为{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a,b∈N},样本空间中的样本点共有36个.
设事件A为“X>0”,事件B为“X=”,
则A={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(6,6)},共21个样本点,
AB={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共14个样本点,
由条件概率得P(B|A)=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×.
5.解析　(1)设甲、乙通过初赛分别为事件A1,A2,
则P(A1)=××,
由题意可得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=×,
P(X=1)=××,
P(X=2)=×.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX=0×+1×+2×=1.
(2)依题意知,甲、乙抢到并答对一题的概率分别为××,
甲、乙抢到并答错一题的概率分别为××.
甲组获胜的情况有以下两种:
甲得10分,乙得0分,其概率为2××+2××;
甲得20分,其概率为×.
故甲组获胜的概率为.
6.解析　(1)这8套数学考卷多项选择题的24个答案中,有12个正确选项是2项的,
用频率估计概率,则一个多项选择题有2个选项是正确选项的概率为.
(2)由(1)知有2个选项是正确选项的概率为,有3个选项是正确选项的概率为.
方案一:就只选择选项C,
甲得分X的可能取值为2,3,
P(X=2)=,故X的分布列为
X 2 3
P
所以EX=2×+3×.
方案二:除选项C外,再随机选择一个选项,
甲得分X的可能取值为0,4,6,
P(X=0)=×××,
P(X=6)=×,故X的分布列为
X 0 4 6
P
所以EX=0×+4×+6×.
方案三:除选项C外,再随机选择两个选项,
甲得分X的可能取值为0,6,
P(X=0)=××,故X的分布列为
X 0 6
P
所以EX=0×+6×=1.
所以从得分X的数学期望最高的角度考虑,应该采用方案一.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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