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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　离散型随机变量的方差与标准差
1.(2024江西赣州十八县市期中)已知随机变量X的分布列为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则DX=(　　)
A.7　　B.5　　C.4.8　　D.4.2
2.已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,EX=1,则X的标准差为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.若随机变量X的分布列为
X x1 x2
P
且x1A.　　B.　　C.3　　D.
4.(2025上海单元测试)有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在卡片上分别写上0,1,2三个数字,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x,然后放回,再抽取一张,其上数字记作y,令X=xy.求:
(1)X取各值时的概率;
(2)随机变量X的期望与方差.
题组二　离散型随机变量的方差的性质
5.(2024陕西合阳中学月考)已知随机变量X的分布列如下表所示:
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则D(3X+2)=(　　)
A.3　　B.9　　C.27　　D.11
6.(多选题)(2025湖南长沙期中)盒中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(ξ=0)=　　　　B.Eξ=1
C.E(3ξ+1)=3　　　　D.D(3ξ+1)=6
7.袋中有20个大小、形状完全相同的球,其中记上0号的有10个,记上n(n=1,2,3,4)号的有n个.现从袋中任取一球,用X表示所取到的球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,EY=1,DY=11,试求a,b的值.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　离散型随机变量的方差及其应用
1.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨期中)高考数学试题第二部分为多选题,共3个小题,每小题有4个选项,其中有2个或3个是正确选项,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.若正确答案是2个选项,只选对1个得3分,有选错的得0分;若正确答案是3个选项,只选对1个得2分,只选对2个得4分,有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会,该题有两个正确选项的概率是,记X为小明随机选择1个选项的得分,记Y为小明随机选择2个选项的得分,则(　　)
A.P(X=3)=P(Y=4)+P(Y=6)
B.EYC.DX=
D.E(X2)-DX=
2.(2025山东济南开学考试,)设x1A.Eξ1>Eξ2　　　　B.Eξ1C.Dξ1>Dξ2　　　　D.Dξ13.(2024广东深圳高级中学期中)已知随机变量ξ的分布列为
ξ -2 0 1 2
P x y
则x+y=　　　,若E(2ξ)=1,则Dξ=　　　.
4.(2024山东潍坊期末,)某人从A地到B地有路程接近的2条路线可以选择,其中第一条路线上有n个路口,第二条路线上有m个路口.
(1)若n=2,m=2,第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为;第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为,第二个路口遇到红灯的概率为,从“遇到红灯次数的期望”考虑,哪条路线更好 请说明理由;
(2)已知随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=pi,则EXi=pi,且EXi2=pipj(i,j=1,2,…,n).若第一条路线的第i个路口遇到红灯的概率为,则当选择第一条路线时,求遇到红灯次数的方差.
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答案与分层梯度式解析
3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
1.D　由已知得EX=4×0.3+8×0.6+10×0.1=7,
所以DX=(4-7)2×0.3+(8-7)2×0.6+(10-7)2×0.1=4.2.
2.C　设P(X=1)=p,则P(X=2)=-p.
由EX=0×=1,得p=,
所以DX=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×,
所以X的标准差为.
3.C　由题意知EX=,x14.解析　(1)X的可能取值为0,1,2,4.
P(X=0)=,
P(X=2)=.
(2)由(1)得X的分布列为
X 0 1 2 4
P
所以EX=0×+1×+2×+4×=1,
DX=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×+(4-1)2×.
5.B　由题意可得EX=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,
则DX=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,
所以D(3X+2)=32DX=9DX=9.
6.ABD　ξ=0表示停止取球时没有取到黄球,则P(ξ=0)=,故A正确;
ξ的所有可能取值为0,1,2,
则P(ξ=1)=×,P(ξ=2)=×,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以Eξ=0×+1×+2×=1,故B正确;
E(3ξ+1)=3Eξ+1=3×1+1=4,故C错误;
Dξ=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=,
故D(3ξ+1)=32Dξ=6,故D正确.
7.解析　(1)由题易知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,
DX=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知DY=a2DX,即a2×2.75=11,解得a=±2.
又EY=aEX+b,
所以当a=2时,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
当a=-2时,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以或
能力提升练
1.BCD　由题意知X的可能取值为0,2,3,
P(X=0)=××,
P(X=2)=×,
P(X=3)=×.
Y的可能取值为0,4,6,
P(Y=0)=×××,
P(Y=4)=×,
P(Y=6)=×.
对于A,P(X=3)=≠P(Y=4)+P(Y=6)=,A错误;
对于B,EX=0×+2×+3×,
EY=0×+4×+6×,则EY对于C,E(X2)=0×+4×+9×=4,
DX=E(X2)-(EX)2=4-,C正确;
对于D,E(X2)-DX=4-,D正确.
2.C　Eξ1=0.2×x1+0.2×x2+…+0.2×x5=xi,
Eξ2=0.2×+0.2×+0.2×+0.2×+0.2×
=xi,
故Eξ1=Eξ2,故A,B错误;
设Eξ1=Eξ2=m,则Dξ1=0.2×xi+m2
=m×5m+m2=-m2
=-5m2),
同理,Dξ2=-5m2
=-5m2,
因为x10,则4x1x2<2(),
故有Dξ2<-5m2=-5m2)=Dξ1,即Dξ1>Dξ2,故C正确,D错误.
3.答案　
解析　由题意得x++y=1,则x+y=.
易得Eξ=-2x+0++2y,又E(2ξ)=1,
∴2=1,得y-x=,与x+y=联立,解得x=.
∴Eξ=-2×+2×,
∴Dξ=××××.
4.解析　(1)应选择第一条路线,理由如下:
设走第一、二条路线遇到的红灯次数分别为ξ1,ξ2,则ξ1的可能取值为0,1,2.
P(ξ1=0)=,P(ξ1=1)=××,P(ξ1=2)=,
所以Eξ1=.
ξ2的可能取值为0,1,2,
P(ξ2=0)=×,P(ξ2=1)=××,P(ξ2=2)=×,
所以Eξ2=+2×.
因为,所以应选择第一条路线.
(2)设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X,
则EX=EXi=pi,
E(X2)=EXi2=pipj,i,j=1,2,…,n,
所以DX=E(X2)-(EX)2=pipj-pi2=pipj-pipj=,
又因为pi=,所以DX=.
方法技巧　设随机变量Y的取值为Yi(i=1,2,3,…,n),其概率为qi,且qi=1,则DY=·qi-2EY·Yiqi+(EY)2·qi]=·qi)-2EY·(Yiqi)+(EY)2·qi=E(Y2)-(EY)2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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