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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　n重伯努利试验及其概率分布
1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是(　　)
A.①②　　　　B.②③
C.①②③　　　　D.①②④
2.(2024河南郑州月考)某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,击中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至击中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二　二项分布及其概率计算
4.(2025江西景德镇一中期中)若X~B,则当k=0,1,2,…,100时,(　　)
A.P(X=k)≤P(X=50)
B.P(X=k)≤P(X=32)
C.P(X=k)≤P(X=33)
D.P(X=k)≤P(X=49)
5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P连续移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A.　　 　　B.×
C.×　　　　D.××
6.(教材习题改编)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025上海单元测试)已知随机变量X~B(4,p),P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p=　　　　.
8.(2024江西南昌等五地开学考试)甲、乙两位同学进行象棋比赛,采用五局三胜制(当一人赢得三局时,该同学获胜,比赛结束).根据以往比赛成绩,每局比赛中甲获胜的概率都是p(0题组三　二项分布的期望与方差
10.(2025山东菏泽开学考试)如果随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ)=24,Dξ=8,则p=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
11.(多选题)(2025甘肃白银期中)一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片,其中4张是红色卡片,2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次,每次取1张卡片,取到红色卡片记1分,取到黄色卡片记0分,记取4次卡片所得的总分数为X,则(　　)
A.X~B　　　　B.P(X=3)=
C.EX=　　　　D.DX=
12.(2024江苏南通如皋教学质量调研)会员足够多的某知名咖啡店,男会员占60%,女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知,男会员对服务质量满意的概率为,女会员对服务质量满意的概率为.
(1)随机选取一名会员,求其对服务质量满意的概率;
(2)从会员中随机抽取3人,记抽取的3人中,对服务质量满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.
13.(2025福建开学考试)某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为P1,P2,P3,且P1+P2+P3=1.从该工厂生产的产品中随机抽取n件,设其中一等品的数量为X,二等品的数量为Y.
(1)已知X的数学期望EX=4,方差DX=2.4,求P1的值;
(2)若n=20,且P(Y=6)=P(Y=8),求P2的值;
(3)已知P1=0.4,P2=0.3,在抽取的n件产品中,一等品和二等品的数量之和为M,则M的数学期望是否有最大值 若有,求出最大值;若没有,请说明理由.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　二项分布的概率
1.(2024广西期中)已知X~B,记使P(X=k)取最大值时的k的值为k0.把1~9这9个数字排成一列,则k0的左、右两侧都有数字,且与k0相邻的数字都比k0大的排列种数为(　　)
A.15　　B.21　　C.30　　D.42
2.(创新题)(2025山东部分学校教学质量检测)小王、小张两人进行象棋比赛,共比赛2n(n∈N+)局,且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为P(n),则下列结论错误的是(　　)
A.P(1)=
B.P(2)=P(1)
C.P(n)<
D.P(n)随着n的增大而增大
3.(2025河北沧州泊头第一中学省级联测)某市为了传承中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为,且每次答题相互独立,若该同学连续作答20道试题后结束比赛,记该同学答对m道试题的概率为f(m),则当m=　　　　时,f(m)取得最大值.
题组二　二项分布的期望与方差
4.(2025江苏苏州开学考试)在备战巴黎奥运会期间,教练组举办羽毛球训练比赛,派出甲、乙两名单打主力,为了提高两名主力的能力,教练安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与陪练打2局,当两人获胜局数不少于3时,认为这轮训练过关;否则不过关.已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为P1,P2,且满足P1+P2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若EX=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为(　　)
A.32　　B.31　　C.28　　D.27
5.(2025湖北开学考试)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0A.EX>6
B.EX<6
C.EX=6
D.EX与6的大小无法确定
6.(多选题)(2025四川内江第六中学月考)如图,在一条无限长的轨道上,一个质点在随机外力的作用下,从位置0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,设移动n次后质点位于位置Xn,则下列命题正确的是(　　)
A.P(X3=0)=0
B.P(X4=-2)=
C.EXn=0
D.移动n次后质点最有可能位于位置0
7.(2025四川仁寿第一中学校期中)如图,在研究某种粒子的实验装置中,粒子从A室出发,到达C室,粒子从A室经过1号门进入B室后,等可能地变为上旋或下旋状态,粒子从B室经过2号门进入C室后,粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从A室出发.
(1)求两粒子进入C室都为上旋状态的概率;
(2)若实验装置出现故障,两个粒子进入C室后,共裂变为m个粒子,裂变后的每个粒子再经过2号门返回B室的概率为,各粒子返回B室相互独立.
①m=4时,写出返回B室的粒子个数X的分布列、期望、方差;
②m=30时,记有r个粒子返回B室的概率为f(r),则r为何值时,f(r)取得最大值
8.(2025湖南长沙六校开学联合检测)某企业的设备控制系统由(2k-1)(k∈N+)个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为p(0(1)若k=2,且每个元件正常工作的概率p=.
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望;
②在设备正常运行的条件下,求所有元件都正常工作的概率;
(2)请用pk表示pk+1,并探究:在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下,能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率.
答案与分层梯度式解析
§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
基础过关练
1.C　
2.A　他能合格的概率为×××.
3.解析　(1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1,
则P(A1)=××.
所以甲恰好射击3次结束射击的概率为.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=××××.
所以乙恰好射击3次结束射击的概率为.
4.C　令
即
解得≤k≤,k=0,1,2,…,100,所以k=33,
所以P(X=k)≤P(X=33).
5.B　如图,由题意可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能到点(2,3)的位置,问题相当于在5次独立重复试验中,事件“P向右移动2次”的概率,故所求概率P=×××.
6.B　∵随机变量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=,
∴1-,∴p=,∴η~B,
∴P(η≥2)=××××××.
7.答案　或
解析　因为随机变量X~B(4,p),
所以P(X=2)=,
即p2(1-p)2=×,解得p=或p=.
8.答案　
解析　由题意可知,甲以3∶1获胜的概率P1=p2·(1-p)p=3p3(1-p),
甲以3∶2获胜的概率P2=p2(1-p)2p=6p3(1-p)2,
由题意,得P1≤P2,
所以P1-P2=3p3(1-p)(2p-1)≤0,
又0故p的取值范围为.
9.答案　
解析　因为X~B,
所以P(X=3)=.
(a+bx)n的二项展开式中x3的系数是an-3b3.
由题意得,an-3b3=10·,
则an-3b3=
=.
10.C　由E(2ξ)=2Eξ=24,得Eξ=12,
则解得p=.
11.BC　由题意可知每次取到红色卡片的概率为,则X~B,故A错误;
P(X=3)=××,故B正确;
EX=4×,故C正确;
DX=4××,故D错误.
12.解析　(1)记事件A1:会员为男会员,A2:会员为女会员,事件C:对服务质量满意,
则由题可知,P(A1)=,
所以P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=××.
(2)由题设及(1)知X~B,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=3×.
13.解析　(1)由题意知X~B(n,P1),
则解得
(2)由题意知Y~B(20,P2),则P(Y=k)=(1-P2)20-k(k=0,1,2,…,20),
由P(Y=6)=P(Y=8)得(1-P2)12,
化简得,即,解得P2=.
(3)由题意知M~B(n,P1+P2),又P1=0.4,P2=0.3,
所以M~B(n,0.7),则EM=0.7n,当n增大时,EM也增大.
所以,当n→+∞时,EM→+∞,故M的数学期望没有最大值.
但在实际情境中,n的取值是有限的,比如取工厂的总产量时,EM取得最大值.
能力提升练
1.C　因为X~B,所以P(X=k)=(0≤k≤9且k∈N),
则,
当k≤2时,>1,当k≥3时,<1,
所以当k=3时,P(X=k)最大,所以k0=3.
首先将3排到中间7个位置中的一个位置,
再从4,5,6,7,8,9六个数字中选两个排在3的左、右两侧,
最后将其余数字全排列即可,
所以符合条件的排列种数为.
2.B　要使小王赢得比赛,则小王至少赢(n+1)局,
因为小王每局获胜的概率是相同的,所以小王获胜的局数服从二项分布,
则赢(n+1)局的概率P1=×,
赢(n+2)局的概率P2=×,
……,
赢2n局的概率Pn=×,
所以小王赢得比赛的概率
P(n)=(+…+)×+…+2)×+…++…+)×
=(22n-)×,
则P(1)=,P(2)≠P(1),P(n)<,故A,C中结论正确,B中结论错误;
P(n+1)-P(n)=,
由4>0,
可得P(n+1)>P(n),故D中结论正确.
3.答案　13或14
解析　由题意得f(m)=,0≤m≤20且m∈N,
则
即
即
又m∈N,所以m=13或m=14,
故当m=13或m=14时,f(m)取得最大值.
4.D　由题可知每一轮过关的概率P=2P1·(1-P1)+,
因为P1+P2=,所以P1P2≤,当且仅当P1=P2=时等号成立,故P≤.
因为X~B(n,P),所以EX=nP=16,则n=≥16×=27,故甲、乙两人至少要训练27轮.
5.B　由题意知X~B(N,p),则P(X=6)=p6(1-p)N-6,
使P(X=6)最大的N值需满足
解得-1≤N≤(N∈N+),
当为整数时,结合题设要求N=-1,此时EX=p<6;
当不为整数时,N<,此时EX=Np<6.
综上所述,EX<6.
6.ABC　设质点n次移动中向右移动的次数为Y,则Y~B,Xn=Y-(n-Y)=2Y-n,所以P(X4=-2)=P(Y=1)=,故B正确.
因为Y~B,所以EY=,又Xn=2Y-n,所以EXn=2EY-n=0,故C正确.
P(Y=k)=,0≤k≤n,k∈N,
当n为偶数时,{}中间的一项取得最大值,即Y=时概率最大,此时Xn=0,所以质点最有可能位于位置0;
当n为奇数时,{}中间的两项取得最大值,即Y=或Y=时概率最大,此时Xn=-1或Xn=1,
所以P(X3=0)=0,且质点最有可能位于位置-1或1,故A正确,D错误.
7.解析　(1)设事件Ai=“两个粒子通过1号门后处于上旋状态的粒子有i个”,i=0,1,2,
事件B=“两个粒子通过2号门后进入C室都为上旋状态”,
则P(A0)=P(A2)=,
P(B|A0)=,
则P(B)=×××.
(2)①由题意得X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
EX=4×,DX=4××.
②由题意得X~B,
则f(r)=,0≤r≤30且r∈N,
则
解得≤r≤,故r=20,
故当r=20时,f(r)取得最大值.
8.解析　(1)①由题意得X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=3×=2.
②设“设备正常运行”为事件A,“所有元件都正常工作”为事件B,
则P(B|A)=.
(2)因为控制系统中元件总数为奇数,若增加2个元件,
则设备正常运行有三种情况:
(i)原系统中至少有(k+1)个元件正常工作,
其概率为p(1)=pk-pk(1-p)k-1;
(ii)原系统中恰好有k个元件正常工作,新增2个元件中至少有1个正常工作,其概率为p(2)=pk(1-p)k-1·[1-(1-p)2]=pk+1(1-p)k-1(2-p);
(iii)原系统中有(k-1)个元件正常工作,新增2个元件全部正常工作,
其概率为p(3)=pk-1(1-p)k·p2=pk+1(1-p)k,
所以pk+1=pk-pk(1-p)k(2p-1),
即pk+1=pk+pk(1-p)k(2p-1),
则pk+1-pk=pk(1-p)k(2p-1),
所以当p>时,pk+1-pk>0,即增加元件个数能提高设备正常运行的概率,
当p≤时,pk+1-pk≤0,即增加元件个数不能提高设备正常运行的概率.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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