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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
4.2　超几何分布
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　超几何分布及其概率计算
1.(2024山东潍坊开学考试)一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是(　　)
A.X表示取出球的最大号码
B.Y表示取出球的最小号码
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分
D.T表示取出的黑球个数
2.(2025江西上饶广丰检测)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.某公司有一批专业技术人员,其中年龄在35~50岁的本科生和研究生分别有30人和20人,现用分层随机抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取3人,则至少有1人为研究生的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.生产方提供了50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则如下:从该批产品中任取5箱进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品.该批产品被接收的概率为　　　　.(结果用最简分数表示)
题组二　超几何分布的期望与方差
5.(教材习题改编)已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.E(2X-1)=　　　　B.DX=
C.EX=1　　　 　D.D(2X-1)=
6.(2025上海师范大学附属中学月考)某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍,现在需要从这20人中任选3人去A城市支援,设X表示内科医生的人数,则EX=　　　　.
7.(2025江苏常州期中)某校由5名教师组成校本课程讲师团,其中2人有校本课程开设经验,3人没有经验.先从这5名教师中随机抽选2名开设校本课程,该期校本课程结束后,再从这5名教师中随机抽选2名开设下一期校本课程.
(1)在第一次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列和数学期望;
(2)求“在第二次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　超几何分布的期望与方差
1.(2025广东潮州多校联考)已知某批矿物晶体中含有大量水分子,且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6∶3∶1.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子,用频率估计概率,求至少分离出2个轻水分子的概率;
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子,其中轻水分子有6个,然后从这10个水分子中随机分离出3个水分子进行后续的试验,记这3个水分子中轻水分子的个数为X,求X的数学期望.
2.(2025四川眉山期中)现有甲、乙两个箱子,两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干.其中甲箱中有4个红球,3个黑球,2个绿球;乙箱中有2个红球,2个黑球,5个绿球.
(1)若从甲箱中任取两个球,求这两个球颜色不同的概率;
(2)若从乙箱中任取3个球,记取出的黑球的个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望;
(3)若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出一个球,求从乙箱取出的球是绿球的概率.
题组二　超几何分布与二项分布的综合运用
3.(2024湖南长沙第一中学月考)北京冬奥会之后,多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况,在该地随机选取了10所学校进行研究,得到如下数据:
(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”,现在从这10所学校中随机选出3所,记X为选出可作“基地学校”的学校个数,求X的分布列和数学期望;
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中,小明同学3个动作每个动作达到“优秀”的概率均为,每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想达到“优秀”的次数的平均值达到5次,那么理论上至少要进行多少轮测试
4.(2025北京东城东直门中学期中)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级,某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件,根据产品的等级分类得到如下数据:
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
(1)根据产品等级,按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件,再从这10件产品中随机抽取3件,记这3件产品中一等品的数量为X,求X的分布列及数学期望;
(2)若将频率视为概率,从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,求恰好有1件四等品的概率;
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择,
方案一:产品不分类,售价均为21元/件;
方案二:分类卖出,分类后的产品售价如下,
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/(元/件) 24 22 18 16
从采购商的角度考虑,你觉得应该选择哪种销售方案 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
4.2　超几何分布
基础过关练
1.D　
2.B　至少含有一个黑球的概率是.
3.D　由题意可知,抽样的比例为,
故样本中本科生和研究生人数分别为3和2,
从中任意抽取3人,则其中有1人为研究生的概率为 ,有2人为研究生的概率为 ,
所以至少有1人为研究生的概率为.
4.答案　
解析　设进行检测的5箱产品中不合格产品有X箱,则X服从超几何分布,
∴该批产品被接收的概率为P(X≤1)=.
5.D　解法一:根据题意可得,X的可能取值为1,2,3,且X服从超几何分布,
则P(X=1)=,
P(X=3)=,
所以EX=1×+2×+3×=2,
DX=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×,
E(2X-1)=2EX-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4DX=.
解法二:根据题意知,X服从参数为6,4,3的超几何分布,
所以EX=××,
所以E(2X-1)=2EX-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4DX=.
知识总结
超几何分布的期望与方差
若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=··.
6.答案　
解析　根据题意知,X服从参数为20,4,3的超几何分布,则EX=.
7.解析　(1)X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望EX=0×+1×+2×.
(2)用B表示事件“在第二次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是1”,
用Ai(i=0,1,2)表示事件“第一次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是i”,
A0,A1,A2两两互斥,Ai=Ω,
由(1)知P(A0)=,
由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
=×××,
所以在第二次抽选的2名教师中,有校本课程开设经验的教师人数是1的概率为.
能力提升练
1.解析　(1)由题意知分离出1个轻水分子的概率为,分离出1个非轻水分子的概率为,
所以至少分离出2个轻水分子的概率为.
(2)因为分离出10个水分子,其中轻水分子有6个,所以重水分子和超重水分子共有4个,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=.
故EX=0×+1×+2×+3×.
2.解析　(1)从甲箱中任取两个球,这两个球颜色不同的概率为1-.
(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
则X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX=0×+1×+2×.
(3)用事件A1、A2、A3分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球,B表示从乙箱中取出绿球,
则P(A1)=,
P(B|A1)=P(B|A2)=,
由全概率公式可得P(B)=×××.
3.解析　(1)由已知得,10所学校中“基地学校”有4所,故X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×+1×+2×+3×.
(2)小明同学在一轮测试中达到“优秀”的概率P=×××,
设小明同学在n(n∈N+)次测试中达到“优秀”的次数为ξ,则ξ~B,
由题知,n×≥5,得n≥≈19.286,
因为n∈N+,所以n的最小值为20,
故理论上至少要进行20轮测试.
4.解析　(1)由题可得,抽取的10件产品中,一等品有4件,非一等品有6件,所以X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=2)=,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则EX=0×+1×+2×+3×.
(2)记抽到四等品的数量为Y,则Y~B,
∴P(Y=1)=××.
(3)方案二中产品的平均售价为
24×+22×+18×+16×=21.2(元/件),
∵21<21.2,
∴从采购商的角度考虑,应该选择方案一.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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