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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对条件概率理解不清致误
　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)(2025江西上饶广信中学月考)甲袋中装有5个红球和5个绿球,乙袋中装有4个红球和6个绿球,这些球除颜色外其他都相同,先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋,再从乙袋中随机摸出一个小球,记A1表示事件“从甲袋摸出的是红球”,A2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”,B1表示事件“从乙袋摸出的是红球”,B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.则下列说法正确的是(　　)
A.A1,A2是互斥事件
B.A1,B2是独立事件
C.P(B2|A2)=
D.P(B2|A1)+P(B1|A2)=
2.(2025河北沧州月考)中国是瓷器的故乡,瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献,瓷器传承着中国文化,有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器,由甲、乙、丙三家瓷厂生产,其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件,而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%.现从这批瓷器中任取一件,若取到的是次品,则其来自甲瓷厂的概率为　　　　.(结果保留两位小数)
易错点2　离散型随机变量取值不当或对应的概率求错致误
3.在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题,甲、乙两队进行抢答,比赛规定:对于每一道题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分),若每道抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是　　　　　　.
4.(2025重庆长寿中学开学考试)某次文化艺术展中,用体现中华文化的外圆内方的经典古钱币造型作为该活动的举办标志,举办方计划在入口处设立一个如图所示的造型.现拟在图中五个不同的区域内栽种花卉,要求相邻两个区域的花品种不一样.
现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹5个不同的品种.
(1)(i)共有多少种不同的栽种方法
(ii)记“在③和⑤区域内栽种不同品种的花”为事件A,“完成该标志花卉的栽种共用了4个品种的花”为事件B,求P(A|B);
(2)设完成该标志的栽种所用的花的品种数为ξ,求ξ的分布列及数学期望
易错点3　不能正确区分超几何分布与二项分布致误
5.(2024北京怀柔一中月考)袋中装有6个白球,3个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列;
(2)若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列.
易错点4　对正态曲线的性质理解不全面致误
6.甲、乙两地举行数学联考,统计发现:甲地学生的数学成绩X~N(μ1,)(σ1>0),乙地学生的数学成绩Y~N(μ2,)(σ2>0).甲、乙两地学生的数学成绩的正态分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是(　　)
参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-σA.甲地学生的数学平均成绩比乙地的高
B.甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的小
C.P(90≤X<94)>P(82D.若σ2=8,则P(927.(2024广东江门大联考)某公司建有1000个销售群,在某产品的销售旺季,所有群的销售件数X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=376,σ2=12100,公司把销售件数大于596的群称为“A级群”,销售件数在(266,596]内的群称为“B级群”,销售件数小于或等于266的群称为“C级群”.
(1)若P(X2a-1),求a的取值范围;
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元,每个“B级群”奖励500元,每个“C级群”奖励200元,那么公司大约需要准备多少元奖金 (群的个数按四舍五入取整数)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ思想方法练
一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024广东东莞实验中学月考)已知随机变量X的分布列如下表.当a在(-1,1)内增大时,方差DX的变化为(　　)
X -1 a 1
P
A.增大　　　　 B.减小
C.先增大再减小　　　　D.先减小再增大
2.(2024江西宜春三中月考)设随机变量X服从二项分布B(n,p),且EX=1.6,DX=1.28,则p=　　　　.
二、分类讨论思想在概率中的应用
3.(2024河南郑州中牟二高月考)为了发展农村经济,某乡镇政府根据当地的地理优势计划从A,B,C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A,B,C三种经济作物的概率分别为,若从当地村民中随机选取4人进行交流,则其中至少有2人愿意种植A作物,且至少有1人愿意种植B作物的概率为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.(2024江西抚州金溪一中月考)甲、乙两人准备进行羽毛球比赛,比赛规定:一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球,则本回合甲赢的概率为,若乙发球,则本回合甲赢的概率为,每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定,第1回合由甲发球.
(1)求第4回合甲发球的概率;
(2)设前4个回合中,甲发球的次数为X,求X的分布列及数学期望.
三、数形结合思想在正态分布中的应用
5.(2024湖南衡阳第八中学月考)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个变量的正态曲线如图所示.下列结论中正确的是(　　)
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.ACD　A1∩A2= ,所以A1,A2是互斥事件,故A正确;
P(A1)=,若事件A1发生,则此时乙袋中有5个红球,6个绿球,则P(B2|A1)=,若事件A2发生,则此时乙袋中有4个红球,7个绿球,则P(B2|A2)=,故C正确;
P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=××,
P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=×,
所以P(A1)P(B2)≠P(A1B2),故B错误;
P(B2|A1)+P(B1|A2)=,故D正确.
2.答案　0.36
解析　用B表示事件“取到次品”,A1表示事件“该产品由甲瓷厂生产”,A2表示事件“该产品由乙瓷厂生产”,A3表示事件“该产品由丙瓷厂生产”,
则P(A1)=,
P(B|A1)=4%,P(B|A2)=3%,P(B|A3)=3%,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×4%+×3%+×3%=0.033.
故若取到的是次品,则其来自甲瓷厂的概率为
P(A1|B)=≈0.36.
易错警示　求解条件概率问题常出现的错误有两种:
(1)混淆P(A|B)与P(B|A),P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
(2)混淆P(A|B)与P(AB),其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率.
3.答案　-1,0,1,2,3
解析　X=-1表示甲队抢到1道题且答错,乙队抢到2道题且均答错.
X=0表示甲队没有抢到题,乙队抢到3道题且至少答错其中的2道题,或甲队抢到2道题且答对1道题,答错1道题,乙队抢到1道题且答错.
X=1表示甲队抢到1道题且答对,乙队抢到2道题且至少答错其中的1道题,或甲队抢到3道题且答对其中的2道题,乙队没有抢到题.
X=2表示甲队抢到2道题且均答对.
X=3表示甲队抢到3道题且均答对.
易错警示　本题在随机变量X取值时易漏掉X=-1的情况,致错原因往往是从生活经验出发,以为甲队要获胜肯定至少回答正确一次,没有从问题的背景深入分析.要避免这种错误,可以将事件发生的各种可能一一列出,再针对出现的各种结果分析随机变量取值的可能,做到不重不漏.
4.解析　(1)(i)规定栽种顺序为①→③→②→④→⑤,
若②和④同品种,则方法数为5×4×3×1×3=180;
若②和④不同品种,则方法数为5×4×3×2×2=240,
所以共有180+240=420种不同的栽种方法.
(ii)由题意可知P(AB)=,所以P(A|B)=.
(2)ξ的可能取值为3,4,5,则
P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=,
所以ξ的分布列为
ξ 3 4 5
P
Eξ=3×+4×+5×.
5.解析　(1)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布.
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)有放回地抽取3次,可看作3次独立重复试验,每次抽取到黑球的概率均为,
由题意可知Y的可能取值为0,1,2,3,且Y~B,
P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
P(Y=3)=,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
易错警示　　　超几何分布与二项分布的区别与联系
超几何分布 二项分布
区 别 是否 放回 不放回抽样,总体越来越少 有放回抽样,总体不变
计算 公式 P(X=k)=,其中n,N,M为非负整数 P(X=k)=pk·(1-p)n-k,其中k=0,1,2,…,n
联系 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与不放回地抽取的条件下,计算得到的概率非常接近,此时可以近似把超几何分布认为是二项分布
6.D　对于A,由题图可知甲、乙两地学生的数学成绩的平均分分别为90分,100分,故甲地学生的数学平均成绩比乙地的低,故A错误;
对于B,由题图可看出乙地学生的数学成绩更集中,故甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的大,故B错误;
对于C,μ1=90,根据正态曲线的对称性,可知P(90≤X<94)=P(86对于D,μ2=100,σ2=8,
则P(927.解析　(1)由正态曲线的对称性可知,
当2a-1≥376,即a≥时,要使P(X2a-1),则有376-a≤(2a-1)-376,解得a≥251;
当2a-1<376,即a<时,要使P(X2a-1),则有a-376≥376-(2a-1),解得a≥251.
综上,a的取值范围为[251,+∞).
(2)由已知得μ=376,σ=110,
所以P(X>596)=P(X>μ+2σ)=P(μ-2σP(266=P(μ-σ≈×0.6826+×0.9544=0.8185,
所以“A级群”有1000×0.0228≈23个,“B级群”有1000×0.8185≈819个,“C级群”有1000-23-819=158个,
所以公司大约需要准备奖金23×1000+819×500+158×200=464100元.
思想方法练
1.D　根据题意,得EX=-1×+a×+1×(a+1),
所以DX=××××(2a2-2a+5)=×,
构造方差关于a的二次函数,通过研究函数的性质来确定方差的变化规律,体现了函数思想的应用.
所以当a∈时,DX单调递减;当a∈时,DX单调递增.
2.答案　0.2
解析　因为随机变量X服从二项分布B(n,p),且EX=1.6,DX=1.28,
所以
利用二项分布的期望、方差公式列方程组,体现了方程思想.
解得p=0.2,n=8.
思想方法　函数与方程思想在离散型随机变量中的应用:(1)结合分布列的性质及数学期望或方差的有关知识,利用方程思想构造方程(组)求参数;(2)将事件的概率、随机变量的数学期望或方差的表达式视为一个函数表达式,利用函数思想求相关最值.
3.D　选取的4人中,至少有2人愿意种植A作物,且至少有1人愿意种植B作物的情况共有以下3种:
①有2人愿意种植A作物,愿意种植B,C作物的各有1人;
②有2人愿意种植A作物,有2人愿意种植B作物;
③有3人愿意种植A作物,有1人愿意种植B作物.
故所求概率P=×××××××××××.
4.解析　(1)由题可知,第2回合甲发球的概率为,乙发球的概率为.
第3回合甲发球的概率为××,
乙发球的概率为××.
第4回合甲发球的概率为××.
故第4回合甲发球的概率为.
(2)由题意可知,X的可能取值为1,2,3,4.
则P(X=1)=××,
P(X=4)=,
当X=2时,前4个回合中甲发球两次的情况有三种:
第一种:甲第1,2回合发球,乙第3,4回合发球,其概率为××;
第二种:甲第1,3回合发球,乙第2,4回合发球,其概率为××;
第三种:甲第1,4回合发球,乙第2,3回合发球,其概率为××,
故前4个回合中,甲发球两次的概率为,即P(X=2)=,
P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=4)=.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以EX=1×+2×+3×+4×.
思想方法　分类讨论思想在本章中的应用:(1)对随机变量的取值进行分类;(2)对不同情况的发生进行分类;(3)求解随机变量取某一范围内的值的概率时,先分类求该变量取不同值时的概率,再将所得的概率相加.
5.C　对于A,由题意知X,Y的正态曲线分别关于直线x=μ1和x=μ2对称,结合题图可得μ1<μ2,
观察题中图形的对称特点,得到μ1,μ2的大小关系,体现了数形结合思想.
所以P(Y≥μ2)对于B,X的正态曲线较Y的“高瘦”,所以0<σ1<σ2,
观察题中图形比较两正态曲线的形状,确定σ1,σ2的大小关系,体现了数形结合思想.
所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错误;
对于C,D,由正态曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知,对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.
观察题中图形的面积大小,得到两概率的大小关系,体现了数形结合思想.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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