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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第七章　统计案例
§1　一元线性回归
1.1　直线拟合　　1.2　一元线性回归方程
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　线性回归的相关概念的理解
1.下列四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(　　)
A.①②　　B.①③　　C.②③　　D.③④
2.(2024江西乐平中学月考)两个变量x与y之间的回归方程(　　)
A.表示x与y之间的函数关系
B.表示x与y之间的不确定关系
C.反映x与y之间的真实关系
D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
3.下列两个变量中能够具有相关关系的是(　　)
A.人所站的高度与视野
B.人眼的近视程度与身高
C.正方体的体积与棱长
D.某同学的学籍号与考试成绩
题组二　线性回归方程及其应用
4.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时,发现在一定温度范围内,病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系,为了得到它们之间的回归方程,兴趣小组通过实验得到了下列三组数据,计算得到的回归方程为x+44,但由于保存不妥,丢失了一个数据(表中用字母m代替),则(　　)
环境温度x/℃ 6 8 10
病毒数量y/万个 30 22 m
A.m=19　　　　B.m=20
C.m=21　　　　D.m的值无法确定
5.(多选题)(2025广东广州第五中学月考)为调研加工零件效率,调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y(单位:min)的5组数据为(1,5),(2,9),(3,12),(4,15),(5,19),根据以上数据可得线性回归方程为,则下列选项正确的有(　　)
A.=1.8
B.线性回归直线必过点(2,9)
C.加工6个零件的时间大约为22.2min
D.去掉(3,12),剩下4组数据的线性回归方程不会变化
6.(2024河南南阳六校联考)某学习小组对一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,7)进行回归分析,甲同学首先求出线性回归方程为=3x+2,样本点的中心为(2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查,发现甲将数据(4,6)误输成(6,4),将这两个数据修正后得到线性回归方程为=kx+4,则实数k=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025安徽六安月考)商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果.它与项目落地国的商业环境、政府执政能力、法律生态等都有重大的关联.下表是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表.
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x/亿元 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y/亿元 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国,用最小二乘法求出线性回归方程为　　　　.
参考数据和公式:=10,中国)=20,南亚某国.
8.(2025江西华东师大上饶实验中学检测)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下:
使用年限x/年 2 3 4 5 6
维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由数据知y对x呈线性关系,其线性回归方程为,请估计使用10年时的维修费用是　　　　万元.
9.(2024江西名校联盟期末)“守得住经典,当得了网红”,这是时下人们对国货最高的评价,网络平台的发展让越来越多的消费者意识到国货品牌的优势,使得各大国货品牌都受到了高度关注,销售额迅速增长,已知某国货品牌2023年8月至12月在D网络平台的月销售额y(单位:百万元)与月份x具有线性相关关系,并根据这5个月的月销售额求得线性回归方程为=4.2x+3,则该国货品牌2023年8月至12月在D网络平台的总销售额约为　　　　百万元.
10.(2025浙江杭州萧山两校联考)随着时代的不断发展,社会对高素质人才的需求不断扩大,我国本科毕业生中考研人数也不断攀升,2021年的考研人数是377万人,2022年的考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数(单位:千人),得到如下表格:
A大学 B大学 C大学 D大学
2023年毕业生 人数x/千人 8 7 5 4
2023年考研 人数y/千人 0.6 0.4 0.3 0.3
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴,若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p,2p-1,该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元,求p的取值范围.
参考公式:.
11.(2025重庆期中)统计显示,我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势,下表为我国2019年~2023年在线直播生活购物用户规模(单位:亿人),其中2019年~2023年对应的代码依次为1~5.
年份代码x 1 2 3 4 5
用户规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
(1)由上表数据可知,若用函数模型拟合y与x的关系,请估计2027年我国在线直播生活购物用户的规模(结果精确到0.01);
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p,现从我国在线直播购物用户中随机抽取5人,记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X,若P(X=5)=P(X=4),求X的数学期望和方差.
参考数据:≈5.16,≈1.68,viyi≈45.10,其中vi=.
参考公式:对于一组数据(v1,y1),(v2,y2),…,(vn,yn),其线性回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
答案与分层梯度式解析
第七章　统计案例
§1　一元线性回归
1.1　直线拟合
1.2　一元线性回归方程
基础过关练
1.B　
2.D　
3.A　对于A,人所站的高度越高视野越开阔,具有相关关系,故A正确;
对于B,人眼的近视程度与身高不具有相关关系,故B错误;
对于C,正方体的体积与棱长是一种确定关系,故C错误;
对于D,某同学的学籍号与考试成绩不具有相关关系,故D错误.
4.B　由已知得,
即样本中心为,
由回归直线必过样本中心得×8+44,解得m=20.
5.ACD　由题意得×(1+2+3+4+5)=3,×(5+9+12+15+19)=12,
所以回归直线必过点(3,12),所以12=3.4×3+,
解得=1.8,故A正确;
当x=2时,=3.4×2+1.8=8.6≠9,故B错误;
令x=6,得=3.4×6+1.8=22.2,
故加工6个零件的时间大约为22.2min,故C正确;
因为回归直线=3.4x+1.8恒过点(3,12),所以去掉(3,12),剩下4组数据的线性回归方程不会变化,故D正确.
6.D　由题意可得m=3×2+2=8,假设甲输入的(x1,y1)为(6,4),
则故
改为正确数据后,有故
所以样本点的中心为,
将点的坐标代入=kx+4,得k=.
7.答案　=2x-9.6
解析　由已知得,=14.4,
=13.4,故中国的平均利润较高.
根据题设数据知=12,故=14.4-2×12=-9.6,
所以线性回归方程为=2x-9.6.
8.答案　12.38
解析　由题意可得×(2+3+4+5+6)=4,×(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,
由回归直线过点()可得5=1.23×4+a,解得a=0.08,故线性回归方程为=1.23x+0.08,
把x=10代入,得=1.23×10+0.08=12.38.
9.答案　225
解析　将x=8,9,10,11,12分别代入线性回归方程=4.2x+3,得=4.2×8+3=36.6,=4.2×9+3=40.8,
=4.2×10+3=45,=4.2×11+3=49.2,=4.2×12+3=53.4,
因为36.6+40.8+45+49.2+53.4=225,
所以该国货品牌2023年8月至12月在D网络平台的总销售额约为225百万元.
10.解析　(1)由题意得=0.4,
xiyi=8×0.6+7×0.4+5×0.3+4×0.3=10.3,
=82+72+52+42=154,
∴=10.3-4×6×0.4=0.7,
=154-4×36=10,
∴=0.07,
∴=0.4-0.07×6=-0.02,
故y关于x的线性回归方程为=0.07x-0.02.
(2)设小江、小沈两人中选择考研的人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-p)(2-2p)=2(1-p)2,
P(X=1)=p(2-2p)+(1-p)(2p-1)=-4p2+5p-1,
P(X=2)=p(2p-1)=2p2-p,
∴EX=0×2(1-p)2+1×(-4p2+5p-1)+2×(2p2-p)=3p-1,
则E(0.6X)=0.6×(3p-1)≤0.75,得p≤,
由得≤p≤1.
综上,p的取值范围为.
11.解析　(1)由已知得xi=15,
则≈≈1.98,
≈5.16-1.98×1.68≈1.83.
所以y关于x的回归方程为+1.83,
由题意知2027年对应的代码为9,所以2027年我国在线直播生活购物用户的规模约为1.98×3+1.83=7.77亿人.
(2)由题意知X~B(5,p),则P(X=5)=p5(1-p)0=p5,
P(X=4)=p4(1-p)1=5p4(1-p),
因为P(X=5)=P(X=4),所以p5=5p4(1-p),解得p=,
故EX=5×,DX=5××.
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