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2025年安徽省安庆市大观区三校（外国语、石化一中，二中南区）联考中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在，，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．已知实数，，，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆
6．在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．如图，某地一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为，则的长为（ ）
A． B． C．5m D．
8．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
9．点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（ ）
A．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积
B．的最小值为40
C．若，则
D．若，则
10．如图，在中，，D为上任一点，F为中点，连接，E在上，且满足，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1.5
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上．轴，过点A作轴于点D连接OB，与AD相交于点C，若，则k的值为 ．
14．二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．解不等式组：
17．无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者小明（点A）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．（参考数据：，，）
18．某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系．
(1)求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式．
(2)求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）
19．观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
20．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
21．打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
(1)条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
22．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．
23．如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)连接AP，交线段BC于点D．
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
(2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
《2025年安徽省安庆市大观区三校（外国语、石化一中，二中南区）联考中考二模数学试题》参考答案
1．D
解：是负数，既不是正数也不是负数，和是正数．
所以最小．
， ．
因为，
所以 ．
综上，，最大的数是，
故选：D．
2．D
解：A、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；
B、当时，无意义，故此选项不符合同意；
C、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项符合题意；
故选D．
3．D
解：∵，
∴，
∴，
即，
故选：D
4．C
解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
5．A
解：长方体的主视图和左视图是长方形，俯视图可能是正方形，故该立体图形是长方体；
故选：A.
6．D
解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化，
故选：D．
7．B
解：∵坡面的坡度为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
8．D
解：，
抛物线的顶点坐标为，
由二次函数的图象可得：，，
，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
9．D
解：，
而的面积等于的面积，即，
∴，
即的面积等于的面积，故A正确；
如图，连接，由勾股定理得；
∵四边形是矩形，
∴；
∵，
∴，
即的最小值为40，故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故C正确；
∵，
∴，；
∵，
∴，即；
设，则，由勾股定理得，
∴，
∴，故D错误；
故选：D．
10．A
解：如图所示，取的中点，连接，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
当三点共线的时，的值最小，
∴，
故选A．
11．/
解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
12．
解：，
故答案为：．
13．6
解：∵点A在上，
∴设，
∴，；
∵轴，
∴，
∴；
∵，
∴
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
把点B的坐标代入中，
即，
∴；
故答案为：6．
14．或
解：如图：
对于二次函数，
令，即，
解得或 ，
所以该二次函数与轴交点为和 ．
当直线经过点时，
把，代入直线方程得
，
解得 ；
当直线经过点时，
把，代入直线方程得
，
解得 ．
由此可知，当时，直线与新图象有两个交点．
先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为．
联立直线与翻折后抛物线的方程
，
，
．
∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解，
∴一元二次方程的判别式．
则，即，
解得 ．
由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点．
综上，的取值范围是或．
15．，1．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入即可得．
【详解】解：原式，
，
将代入得：原式．
16．
解：
解不等式①得， ，
解不等式②得，，
所以，该不等式组的解集为．
17．13米
解：过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AEF=90°，
∴tan37°=，
∴AE40，
∵DE⊥AB，CB⊥AB，CF⊥DE，
∴四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE57-40=17，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF=17，
∴BC=EF=DE-DF30-17=13，
答：教学楼BC的高度约为13米．
18．(1)
(2)
（1）解：设，由题意知当时，；当时，；
则，解得：，
∴；
（2）解：由题意得：，
整理得：．
19．(1)
(2)，见解析
（1）解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；
（2）解：猜想第个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
猜想成立；
故答案为：．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
21．(1)18，6，
(2)480人
(3)
（1）解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
（2）解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
22．（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1
解：（1）如图1中，
在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
故答案为：∠BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，
∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，
∴，∴ ，
∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，
∴（负根已经舍弃），∴ ．
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．
由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，
∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，
∴△PA′D∽△PBC，
∴，
∴，即
∴PC=1．
23．(1)①；②
(2)存在，
（1）解：①对于，令，则，
∴；
令，解得，
∴，
则；
轴，，
，解得或1，
，
，
轴，
．
②如图，过点P作交BC于点Q，
设直线BC的解析式为：．
把点B的坐标代入得：，解得，
直线BC的解析式为：．
设点P的横坐标为m，
则．
，
，
，
当时，的最大值为．
（2）解：存在满足题意的点P，且；
假设存在点P使得，即．
过点C作轴交抛物线于点F，
，
，
延长CP交x轴于点M，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，
；
设直线CM的解析式为：，
把点M的坐标代入得：，解得，
直线CM的解析式为：，
令，
解得或（舍），
∴存在点P满足题意，此时．

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