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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§3　独立性检验问题
3.1　独立性检验　　3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　2×2列联表
1.(2024吉林通榆一中期中)已知甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀,得到如下列联表:
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
总计 105
已知在105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是(　　)
A.列联表中c的值为30,b的值为35
B.列联表中c的值为15,b的值为50
C.列联表中c的值为20,b的值为50
D.由列联表可以看出成绩与班级有关系
2.(2024重庆长寿期末)为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响,对该班50名学生进行了问卷调查,得到下列2×2列联表:
爱运动 不爱运动 合计
男生 m 12 30
女生 8 20
合计 n 50
则m=　　　　,n=　　　　.
题组二　独立性检验及其简单应用
3.(2024江西九江同文中学期末)假设有两个变量X和Y,它们的取值集合分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表如下:
y1 y2
x1 a b
x2 c d
根据以下选项中的数据计算χ2的值,其中χ2的值最大的一组为(　　)
A.a=60,b=50,c=40,d=30
B.a=60,b=40,c=50,d=30
C.a=40,b=30,c=50,d=60
D.a=30,b=40,c=50,d=60
4.(2025江西上饶广信二中月考)一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人,将已患病的500例病人随机分为两组,实验组服用该新药,对照组不服用该新药,在其他治疗措施相同的情况下,统计7天内痊愈病例数,得到如下数据:
7天内未痊愈 7天内痊愈
对照组 30 170
实验组 20 280
则下列结论正确的是(　　)
附:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
A.在犯错误的概率不大于0.01的前提下,不可以认为服用该新药与7天内治愈病人有关
B.在犯错误的概率不大于0.001的前提下,可以认为服用该新药与7天内治愈病人有关
C.有99%的把握判断服用该新药与7天内治愈病人有关
D.有99.9%的把握判断服用该新药与7天内治愈病人有关
5.(2024黑龙江哈尔滨第六中学模拟)某校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查,其中被调查的男、女生人数相同,男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的,女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的,若有95%的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关,则被调查的学生中男生的人数不可能为(　　)
附:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.48　　B.54　　C.60　　D.66
6.(2025江西宜春高县月考)某公园为了提升形象,提高游客旅游的体验感,更新了部分设施,调整了部分旅游线路.为了解游客对新设施是否满意,随机选取了100名游客进行调查,男游客与女游客的人数之比为2∶3,其中男游客有35名满意,女游客有15名不满意.
满意 不满意 合计
男游客 35
女游客 15
合计 100
完成2×2列联表,依据表中数据,判断是否可以认为游客对公园新设施满意与否与性别有关.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
7.(2024广东东莞七校联考)某乡镇在实施乡村振兴的进程中,大力推广科学种田,引导广大农户种植优良品种,进一步推动当地农业发展,不断促进农业增产让农民增收.为了解某新品种水稻的产量情况,现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩,统计其亩产量x(单位:t),并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,精确到小数点后两位);
(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水,现统计了两种水源灌溉水稻的亩产量,并得到下表:
亩产量超过0.7t 亩产量不超过0.7t 总计
河水灌溉 180 90 270
井水灌溉 70 60 130
总计 250 150 400
判断是否有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源有关.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　独立性检验的综合应用
1.(多选题)(2024湖北八市联考)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣,从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行问卷调查,将调查的结果进行统计,得到如下条形图和列联表,则(　　)
性别 对数学的兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 a b a+b
男生 c d c+d
合计 a+c b+d 100
参考数据:
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.表中a=12,c=30
B.可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生比男生多
C.有95%的把握认为性别与对数学的兴趣有关
D.有99%的把握认为性别与对数学的兴趣有关
2.(2024山东潍坊昌邑第一中学月考)为了调查学生对网络课程是否喜欢,研究人员随机调查了相同人数的男、女学生,发现男生中有80%喜欢网络课程,女生中有40%不喜欢网络课程,且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关,但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N+),则k=　　　　.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3.(2025江西上饶清源学校测试)随着科技的进步和人民生活水平的提高,电脑已经走进了千家万户,成为人们生活、学习、娱乐的常见物品,便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行.某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关,在街头随机抽取了50人做调查研究,调查数据如下表所示.
男性 女性 合计
喜欢“台式机” 20 5 25
喜欢“笔记本” 10 15 25
合计 30 20 50
(1)问:喜欢哪种机型与性别是否有关
(2)该公司对男性客户做了调查,某季度男性客户中有324个青年人,216个中年人,108个老年人,用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人,从这12人中随机抽出3人进行答谢,这3人中的青年人人数设为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4.(2025河北十县联考)某商场将年度消费总金额不低于10万的会员称为尊享会员,超过5万不足10万的会员称为星级会员.该商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各100名进行调研统计,其中抽到男性尊享会员20名,女性尊享会员40名.
(1)完成下面的2×2列联表,并判断是否可以认为会员类型与性别有关;
会员类型 会员性别 合计
男 女
尊享会员
星级会员
合计
(2)该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动,该活动以抽奖的形式进行,参与抽奖的会员从放有4个红球和3个白球(每个球除颜色不同外,其余完全相同)的抽奖箱中抽奖.抽奖规则:①每次抽奖时,每名会员从抽奖箱中随机摸出2个球,若摸出的2个球颜色相同即为中奖,若颜色不同即为不中奖;②每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖,抽奖方案如下:
方案一:共进行两次抽奖,第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖;
方案二:共进行两次抽奖,第一次抽奖后将球不放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖.
会员甲欲参加本次抽奖活动,请从中奖次数的期望与方差的角度分析,会员甲选择哪种方案较好.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
5.(2024江苏兴化中学期末)为培养学生的阅读习惯,某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读时长不少于1小时为达标,达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长X~N(1.5,σ2)(X的单位:小时),达标学生是“阅读之星”的概率为.
(1)从该校学生中随机选出1人,求达标的概率;
(2)为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关,随机调查了90名学生,其中男生占,已知不达标的人数恰是其期望值,且不达标的学生中男生占,是否有99%的把握认为不达标与性别有关
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(χ2≥k) 0.050 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828
答案与分层梯度式解析
§3　独立性检验问题
3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
基础过关练
1.D　依题意,得,解得c=20,由10+b+20+30=105,得b=45.
补全列联表如下:
优秀 非优秀 总计
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
总计 30 75 105
甲班的优秀率为,乙班的优秀率为,所以成绩与班级有关系.
2.答案　18;24
解析　依题意可得列联表为
爱运动 不爱运动 合计
男生 18 12 30
女生 8 12 20
合计 26 24 50
因此m=18,n=24.
3.C　对于A,;
对于B,;
对于C,;
对于D,.
显然最大,故C正确.
4.C　由已知得χ2=≈9.259,
因为9.259>6.635,所以有99%的把握判断服用该新药对7天内治愈病人有关,
即在犯错误的概率不大于0.01的前提下,可以认为服用该新药与7天内治愈病人有关,故C正确,A错误.
因为9.259<10.828,所以没有99.9%的把握判断服用该新药对7天内治愈病人有关,
即在犯错误的概率不大于0.001的前提下,不可以认为服用该新药与7天内治愈病人有关,故B,D错误.
5.A　设男生人数为6n(n∈N+),则女生人数也为6n(n∈N+),
根据题意列出列联表如下:
男生 女生 合计
喜欢冰雪运动 5n 4n 9n
不喜欢冰雪运动 n 2n 3n
合计 6n 6n 12n
则χ2=,
因为有95%的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关,
所以χ2≥3.841,即≥3.841,所以6n≥51.8535,又n∈N+,故通过分析选项,可知被调查的学生中男生的人数不可能为48.
6.解析　由题意得调查的男游客人数为×100=40,所以调查的女游客人数为100-40=60,2×2列联表如下:
满意 不满意 合计
男游客 35 5 40
女游客 45 15 60
合计 80 20 100
则χ2=≈2.344<2.706,
因此认为游客对公园新设施满意与否与性别无关.
7.解析　(1)由题意得,(0.75×2+1.25×2+1.75+2.25+b)×0.1=1,解得b=2,
所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为(0.45×0.75+0.55×1.25+0.65×1.75+0.75×2.25+0.85×2+0.95×1.25+1.05×0.75)×0.1≈0.75(t).
(2)χ2=≈6.154>3.841,
所以有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源有关.
能力提升练
1.AC　由题可知,抽取的男生人数为600×=60,女生人数为400×=40,
由题图知,抽取的男生中对数学感兴趣的人数为60×0.5=30,不感兴趣的人数为60×0.5=30,抽取的女生中对数学感兴趣的人数为40×0.3=12,不感兴趣的人数为40×0.7=28,
故2×2列联表如下:
性别 对数学的兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 12 28 40
男生 30 30 60
合计 42 58 100
由此表可知,a=12,c=30,故A正确;
用样本估计总体,可知该校高一新生中,对数学不感兴趣的女生人数约为400×=280,对数学不感兴趣的男生人数约为600×=300,
所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生比男生少,故B错误;
易得χ2=≈3.941>3.841,
所以有95%的把握认为性别与对数学的兴趣有关,故C正确;
由C中分析知χ2≈3.941<6.635,
所以没有99%的把握认为性别与对数学的兴趣有关,故D错误.
2.答案　5或6
解析　根据题意,2×2列联表如下:
性别 是否喜欢网络课程 合计
喜欢 不喜欢
男生 8k 2k 10k
女生 6k 4k 10k
合计 14k 6k 20k
所以χ2=.
因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关,但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关,
所以3.841≤<6.635,所以4.03305≤k<6.96675,又k∈N+,所以k=5或k=6.
3.解析　(1)由表中数据可得χ2=≈8.333,
因为8.333>7.879,所以有99.5%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关.
(2)因为324∶216∶108=3∶2∶1,所以12人中有6个青年人,4个中年人,2个老年人,
所以X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=0×+1×+2×+3×.
4.解析　(1)2×2列联表如下:
会员类型 会员性别 合计
男 女
尊享会员 20 40 60
星级会员 80 60 140
合计 100 100 200
由表中数据可得χ2=≈9.524,
因为9.524>6.635,所以有99%的把握认为会员类型与性别有关.
(2)设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为X,Y,
则X的所有可能取值为0,1,2,
会员甲每次中奖的概率为,则X~B,
所以EX=2×,DX=2××.
Y的所有可能取值为0,1,2,
P(Y=0)=·,
P(Y=1)=···,
P(Y=2)=··,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以EY=0×+1×+2×,
DY=×××,
因为EX=EY,DX5.解析　(1)从该校学生中随机选出1人,记其达标为事件A,是“阅读之星”为事件B,
则P(A)=P(X≥1),P(B)=P(AB)=P(X≥2).
因为X~N(1.5,σ2),所以P(B)=1-P(A).
又达标学生是“阅读之星”的概率为,
所以P(B|A)=,得P(A)=,
即从该校学生中随机选出1人,达标的概率为.
(2)依题意,随机调查的90名学生中,男生人数为40,女生人数为50.
设这90名学生中,不达标的学生人数为Y.
由(1)知,不达标的概率为,则Y~B,
所以EY=90×=18,即不达标的人数为18.
因为不达标的学生中有是男生,所以不达标的男生人数为3,不达标的女生人数为15,
则达标的男生人数为37,达标的女生人数为35,得如下2×2列联表.
男生 女生 合计
达标 37 35 72
不达标 3 15 18
合计 40 50 90
所以χ2==7.03125.
因为7.03125>6.635,所以有99%的把握认为不达标与性别有关.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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