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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　选错回归模型致错
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024湖南岳阳月考)某企业为了研究新能源汽车在某地区的月销售量y(单位:千辆)与月份x的关系,统计了今年前5个月该地区的月销售量,得到下面的图、表.
(xi-)(yi-) (ti-)(yi-)
9.5 29.5 185.6
表中ti=(i=1,2,3,4,5).
(1)根据散点图判断两变量x,y的关系用y=a+bx与y=c+dx2中的哪一个比较合适;
(2)根据(1)中的判断结果及表中数据,求y关于x的回归方程(系数精确到0.1),并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆.
附:线性回归方程中,.
2.(2023安徽六安舒城中学模拟)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不断提升.以下是根据2013~2022年年份数xi(i=1,2,…,10)与该机场飞往A地航班放行准点率yi(单位:百分比)的统计数据所作的散点图及经初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中ti=ln(xi-2012),.
(1)根据散点图判断y=bx+a与y=cln(x-2012)+d中哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归模型(给出判断即可,不必说明理由),并根据表中数据建立回归方程,预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率;
(2)已知2023年该机场飞往A地、B地和其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6,若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值,且2023年该机场飞往B地及其他地区航班放行准点率的估计值分别为80%和75%,现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的概率.
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其线性回归方程u中,.
参考数据:ln11≈2.40.
易错点2　用错公式致错
3.(多选题)(2025广东深圳月考)某中学为更好地开展素质教育,现对选修外出研学课程是否与性别有关进行了一项调查,其中被调查的男生和女生人数相同,且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的,女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的.如果有95%的把握认为选修外出研学课程与性别有关,但没有99%的把握认为选修外出研学课程与性别有关,则调查人数中男生可能有(　　)
附:
P(χ2≥k) 0.05 0.01
k 3.841 6.635
χ2=,其中n=a+b+c+d.
A.150人　　　　B.225人
C.300人　　　　D.375人
4.(2025福建泉州月考)一种药用昆虫的产卵数y(单位:个)与一定范围内的温度x(单位:℃)有关,现收集了6组观测数据如下表:
温度x/℃ 21 23 24 27 29 32
产卵数y/个 6 11 20 27 57 77
经计算得=3930,线性回归模型的残差平方和=236.64,e8.0605≈3167,其中xi,yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1,2,3,4,5,6.
(1)若用线性回归模型表示y与x的关系,求y关于x的线性回归方程(精确到0.1);
(2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.
(i)试与(1)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好;
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为,相关指数R2=1-,0≤R2≤1,R2越接近1,
表示模型的拟合效果越好.
思想方法练
一、数形结合思想在统计中的应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025江西上饶骏华中学检测)下图是十年中全国城镇人口、乡村人口的折线图(数据来自国家统计局).
根据该折线图,下列说法错误的是(　　)
A.城镇人口与年份正相关
B.乡村人口与年份的相关系数r接近1
C.城镇人口逐年增长率大致相同
D.可预测乡村人口仍呈现下降趋势
2.经观测,长江中某些鱼类的产卵数y与温度x有关,现将收集到的温度xi和产卵数yi(i=1,2,…,10)的10组观测数据做了初步处理,得到如下散点图及统计量.
xi ti yi zi
360 54.5 1360 44
(xi-)2 (ti-)2 (ti-)(yi-)
384 3 588
(xi-)(zi-) (xi-)(yi-)
32 6430
表中ti=zi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx(a,b为常数),y=n+m(x≥0,n,m为常数)与y=c1(c1,c2为常数,且c1>0,c2≠0)哪一个更适宜作为y与x之间的回归模型,并求出y关于x的回归方程;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵,已知第一批中共有6个鱼卵,其中死卵有2个;第二批中共有8个鱼卵,其中死卵有3个.现随机挑选一批,然后从该批次中随机取出2个鱼卵,求取出死卵个数的分布列及数学期望.
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
二、转化与化归思想在统计中的应用
3.某工厂生产一种不同规格的产品,根据统计分析,其合格产品的质量y(单位:g)与尺寸x(单位:mm)之间的关系可用回归模型y=cxb(b,c都为正实数)进行拟合.现随机抽取6件合格产品,其检测数据如下表:
尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88
质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺 寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)检测标准指出,当产品质量与尺寸的比值在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现从所抽取的6件合格产品中再任选2件,求选中的2件产品均为优等品的概率;
(2)经计算,(lnxi·lnyi)≈75.3,求y关于x的回归方程.
附:对于样本数据(ui,vi)(i=1,2,…,n),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.解析　(1)由题中散点图可知,点分布在一条曲线附近,相邻两点的纵坐标的差值呈增大趋势,故y=c+dx2比较合适.
(2)由t=x2知y关于t的线性回归方程为t,
易得×(1+4+9+16+25)=11,
)2=374,
所以≈0.5,
则≈9.5-0.5×11=4,
故y关于t的线性回归方程为=4+0.5t,
故y关于x的回归方程为=4+0.5x2.
令4+0.5x2≥3.6×10,
解得x≥8或x≤-8(舍去),
故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆.
2.解析　(1)由题图可以看出,y=cln(x-2012)+d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归模型.
令t=ln(x-2012),则y=ct+d,
易得=4,
=80.4-4×1.5=74.4,
所以=4t+74.4,
因此该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的回归方程为=4ln(x-2012)+74.4.
当x=2023时,=4×ln(2023-2012)+74.4=4×ln11+74.4≈4×2.40+74.4=84.
所以预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率为84%.
(2)设A1=“该航班飞往A地”,A2=“该航班飞往B地”,A3=“该航班飞往其他地区”,C=“该航班准点放行”,则P(A1)=0.2,P(A2)=0.2,P(A3)=0.6,
P(C|A1)=0.84,P(C|A2)=0.8,P(C|A3)=0.75,
所以P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)·P(C|A3)=0.2×0.84+0.2×0.8+0.6×0.75=0.778.
易错警示　从题中所给的多个模型中选择一个最合适的模型时,常因选择的不是最佳模型而产生错误.选错模型的原因一般有两种:一是根据散点图选择模型时,由于题中所给散点的个数不多,造成选择错误;二是对数据的分析过于简单,比如仅从变量间的增减关系进行判断,缺乏对线性与非线性、增减快与慢的分析等.
3.BC　设男生人数为5n(n∈N+),根据题意可得2×2列联表如下:
男生 女生 合计
选修外出研学课程 3n
不选修外出研学课程 2n
合计 5n 5n 10n
则χ2=,
因为有95%的把握认为选修外出研学课程与性别有关,但没有99%的把握认为选修外出研学课程与性别有关,
所以3.841≤<6.635,解得38.0259≤n<65.6865,
则190.1295≤5n<328.4325.结合选项判断即可.
4.解析　(1)由题意得≈6.6,
=33-6.6×26=-138.6,
故y关于x的线性回归方程为=6.6x-138.6.
(2)(i)对于线性回归模型,
其相关指数为1-≈1-0.0602=0.9398,
因为0.9522比0.9398更接近1,所以用非线性回归模型拟合效果更好.
(ii)当x=35时,=0.06×e0.2303×35=0.06×e8.0605≈0.06×3167=190.02≈190,
所以预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数为190个.
易错警示　样本相关系数r以及线性回归方程中的计算公式很相似,使用时要分清公式结构,不要弄混,另外,其涉及的数字计算都较为复杂,计算时需仔细.
思想方法练
1.B　由题图知,城镇人口的折线呈现上升趋势,且比较均匀地分布在某条直线附近,所以城镇人口与年份正相关,城镇人口逐年增长率大致相同,所以A,C中说法正确;
乡村人口的折线呈现下降趋势,且比较均匀地分布在某条直线附近,所以乡村人口与年份的相关系数r接近-1,可预测乡村人口仍呈现下降趋势,所以B中说法错误,D中说法正确.
2.解析　(1)根据题中的散点图,选择合适的回归模型,体现了数形结合思想.
根据题中的散点图判断,y=c1更适宜作为y与x之间的回归模型.
由题知,z=lny,则z=c2x+lnc1,
×36
=,则,
所以y关于x的回归方程为.
(2)由题意,设随机挑选一批,取出2个鱼卵,其中死卵个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,
设事件Ai=“所取2个鱼卵来自第i批”(i=1,2),则P(A1)=P(A2)=,
设事件Bj=“所取2个鱼卵有j个死卵”(j=0,1,2),
由全概率公式得,
P(ξ=0)=P(A1)P(B0|A1)+P(A2)P(B0|A2)=××,
P(ξ=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=××,
P(ξ=2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=××,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以Eξ=0×+1×+2×.
思想方法　本章数形结合思想主要体现在两方面,一方面是根据给出的图形特征判断相关性、相关程度,另一方面是通过散点图来刻画相关关系,从而确定并求解回归模型.
3.解析　(1)由题意得随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品,现从抽取的6件合格产品中再任选2件,选中的2件均为优等品的概率为.
(2)本题的函数模型是指数函数模型,通过对y=cxb两边取对数,利用换元的思想将其转化为线性回归模型,体现了转化与化归思想.
对y=cxb两边取自然对数得lny=lnc+blnx,令u=lnx,v=lny,a=lnc,则v=bu+a,由所给统计量得≈≈=3.05,所以≈=3.05-0.5×4.1=1,由得=e,所以y关于x的回归方程为=ex0.5.
思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在解决非线性回归问题时,利用变量间的转换,把非线性回归问题转化为线性回归问题加以解决.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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