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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　变量的相关关系与线性(非线性)回归模型
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024天津,3)下列图中,相关系数最大的是(　　)
　　　　
　　　　
2.(2024上海,13)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是　(　　)
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
3.(2020全国Ⅰ理,5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A.y=a+bx　　　　B.y=a+bx2
C.y=a+bex　　　　D.y=a+blnx
4.(2022全国乙理,19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本 号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 和
根部横 截面 积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积 量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得xiyi=0.2474.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=≈1.377.
考点2　独立性检验及其应用
5.(2024上海,19)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
学业成绩 时间范围
[0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5)
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1);
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
附:χ2=,P(χ2≥3.841)≈0.05.
6.(2024全国甲理,17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有99%的把握①认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率②,如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了 (≈12.247)
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
①关键点拨　独立性检验,代入公式求K2
②关键点拨　用频率估计概率
7.(2023全国甲理,19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1
32.6　　34.3　　34.8　　35.6　　35.6　　35.8　　36.2　　37.3　　40.5　　43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　　9.2　　11.4　　12.4　　13.2　　15.5　　16.5　　18.0　　18.8　　19.2
19.8　　20.2　　21.6　　22.8　　23.6　　23.9　　25.1　　28.2　　32.3　　36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
8.(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(i)证明:R=·;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
三年模拟练
　　　　　　　　　　　　　
应用实践
1.(2024江西南昌模拟)一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况,先设了1个原点,又确定了5个采样点,这5个采样点到原点的距离分别为xi,其中xi=i(i=1,2,3,4,5),并得到了各采样点金属锂的含量yi,得到一组数据(xi,yi),i=1,2,3,4,5,经计算得到如下统计量的值:ui≈4.79,)2≈1.615,)·(yi-)≈19.38,其中u=lnx.
(1)利用相关系数判断y=a+bx与y=c+dlnx哪一个更适宜作为y关于x的回归模型;
(2)根据(1)中的模型求y关于x的回归方程.
参考公式:回归直线t的斜率、截距的最小二乘估计分别为,相关系数r=;参考数据:=232.56.
2.(2025江西宜春月考)健身运动可以提高心肺功能,增强肌肉力量,改善体态和姿势,降低患病风险.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况,随机抽取200人进行调查,得到如下列联表:
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4小时 不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁 及以上 25 75 100
合计 65 135 200
(1)能否有95%的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关 (χ2精确到0.001);
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时长是否少于4小时,用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈,再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取的5人中周平均锻炼时长不少于4小时的人数为X,求X的分布列和数学期望.
参考公式及数据:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3.(2024江西上饶第一中学开学考试)某品牌商家入驻一家购物平台后,销售额大幅提升,为了答谢顾客并进一步提升销售额,该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌某商品的促销活动.促销活动规则如下:
a.“价由客定”,即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与该商品促销活动的总人数;
b.报价时间截止后,系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额,按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额;
c.每人限购一件,且参与人员分配到名额时必须购买.
某位顾客拟参加2024年“跨年夜”该商品促销活动,他为了预测该商品最低成交价,根据该购物平台的公告,统计了最近5年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数(单位:十万),如表.
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号t 1 2 3 4 5
参与人数y (单位:十万) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合参与人数y(单位:十万)与年份编号t之间的相关关系,请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程,并预测2024年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数;
(2)该购物平台调研部门对2000位拟参与2024年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价(单位:千元)进行抽样调查,得到如下的一份频数表:
报价/ 千元 [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7]
频数 200 600 600 300 200 100
①求这2000位参与人员报价的平均值和样本方差s2(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);
②假设所有参与该商品促销活动人员的报价X服从正态分布N(μ,σ2),且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均值和样本方差s2估值.若预计2024年“跨年夜”该商品最终销售量为31730件,请你合理预测(需说明理由)该商品的最低成交价.
参考公式及数据:(i);
(ii)≈1.3;
(iii)若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A　观察题图可知,A选项的图中散点分布比较集中,且大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,两变量呈明显的正相关关系,相关系数相比于其他3幅图更接近1.
2.C　成对数据相关分析中,若相关系数为正,则两变量之间正相关,即气候温度上升,海水表层温度上升,故C正确,D错误;相关系数体现的是两变量的变化趋势,不是相关数值,故A,B错误.
3.D　观察散点图可知,散点用光滑曲线连接起来后比较接近对数型函数的图象.
4.
思路探究
(1)已知总数量(10棵树木)和总和,根据求平均值;
(2)把相关数据代入已知公式求样本相关系数;
(3)由成正比关系求出关系式,再代入数据进行估计.
解析　(1)0.6×=0.06(m2),3.9×=0.39(m3),故该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平均一棵的材积量为0.39m3.
(2)由题可知,r=
=
=≈≈0.97.
(3)设y=kx,将(0.6,3.9)代入,得k=6.5,∴y=6.5x,
令x=186,则y=6.5×186=1209,
∴该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.
5.
解题关键
第一问读懂表格,明确频率与概率的转化关系;第二问用分层抽样的平均数求出均值;第三问分清表格中的数据,代入独立性检验的公式运算对照应用.
解析　(1)580人中体育锻炼时长不少于1小时的人数占比为,
故该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为29000×=12500.
(2)该地区初中学生日均体育锻炼的时长约为××0.5×(5+134)+×(44+147)+×(42+137)+×(3+40)+×(1+27)=≈0.9h.
(3)由题意可得2×2列联表如下:
[1,2) 其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
易得χ2=≈3.976>3.841.
∴有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.
6.
思路探究
(1)代入K2的公式求K2,再对照表格进行独立性检验,得出结论.
(2)由频率估计概率的思想求,代入已知关系式得到结果.
解析　(1)
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
K2=
==4.6875,
∵3.841<4.6875<6.635,
∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题知=0.64,p=0.5,n=150,
p+1.65=0.5+1.65×≈0.5+≈0.567.
∵0.64>0.567,∴,
∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.
7.解析　(1)X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴EX=0×+1×+2×=1.
(2)(i)m==23.4.
完成的列联表如下:
对照组 6 14
试验组 14 6
(ii)由(i)可得K2==6.4>3.841.
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
8.解析　(1)由题中数据可知K2==24>6.635,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)证明:因为R=····,
且····,
所以R=·.
(ii)由题表中数据可知P(A|B)=,
所以R=·×=6.
解后反思　本题难度不大,但胜在一个“新”字.学生已经习惯了直接用概率的相关公式解决问题,看到本题需要证明公式时可能有些懵,但只要稳定心态就很容易找到解题思路.此题的考查也说明了“吃透”教材的重要性,学习时不能仅仅掌握公式本身,还要重视公式的推导过程.
三年模拟练
1.解析　(1)若用y=a+bx作为回归模型,
易得=3,
)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,
所以相关系数r1=.
若用y=c+dlnx作为回归模型,由u=lnx,得y=c+du,
则相关系数r2=≈,
比较与,
,
≈,
因为,所以y=c+dlnx更适宜作为y关于x的回归模型.
(2)≈=12,
ui≈×4.79=0.958,×62=12.4,
所以≈12.4-12×0.958=0.904,则=0.904+12u,
故y关于x的回归方程为=0.904+12lnx.
2.解析　(1)由已知数据得χ2=≈5.128>3.841,
所以有95%的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关.
(2)抽取的10人中,周平均锻炼时长少于4小时的有10×=4人,不少于4小时的有10×=6人,
所以X的所有可能取值为1,2,3,4,5,
P(X=1)=,
P(X=3)=,
P(X=5)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
EX=1×+2×+3×+4×+5×=3.
3.解析　(1)由题意可知×(1+2+3+4+5)=3,
×(0.5+0.6+1+1.4+1.7)=1.04,
所以=0.32,
=1.04-0.32×3=0.08,
所以y关于t的线性回归方程为=0.32t+0.08.
当t=6时,=0.32×6+0.08=2,
所以预测2024年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数为20万.
(2)①由题表中的数据可得平均值×1.5+×2.5+×3.5+×4.5+×5.5+×6.5=3.5千元,
样本方差s2=(-2)2×+(-1)2×+0+12×+22×+32×=1.7.
②由①可知X~N(3.5,1.7),σ=≈1.3,
所以P(3.5-1.3则P(X≥4.8)≈=0.1587,
又=0.15865≈0.1587,
所以该商品的最低成交价为4.8千元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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