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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
第七章　统计案例
(全卷满分150分　考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.对两个变量x,y的三组数据进行统计,得到以下散点图,关于两个变量相关系数的比较,正确的是(　　)
A.r1>r2>r3 B.r2>r3>r 1 C.r1>r3>r2 D.r3>r2>r1
2.某村庄对该村内的50名老年人和年轻人每年是否体检的情况进行了调查,统计数据如表所示:
每年体检 不是每年都体检 总计
老年人 a 7 c
年轻人 6 b d
总计 e f 50
已知抽取的老年人、年轻人各25名,则对列联表数据的分析错误的是(　　)
A.a=18 B.b=19
C.c+d=50 D.f-e=-2
3.已知变量x和y的统计数据如下表:
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
根据上表可得线性回归方程,据此可以预测当x=15时,=(　　)
A.7.8 B.6.5 C.9.6 D.8.2
4.假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为
X Y
y1 y2 合计
x1 10 18 28
x2 m 26 m+26
合计 10+m 44 m+54
则当整数m取　　　时,X与Y的关系最弱(　　)
A.8 B.9 C.14 D.19
5.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理与性别的关系,随机调查了100名高一学生,得到2×2列联表如下:
选择物理 不选择物理 总计
男 35 20 55
女 15 30 45
总计 50 50 100
由此得出的正确结论是(　　)
A.有99%的把握认为“是否选择物理与性别有关”
B.有99%的把握认为“是否选择物理与性别无关”
C.有99.9%的把握认为“是否选择物理与性别有关”
D.有99.9%的把握认为“是否选择物理与性别无关”
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
6.某手机商城统计了1~5月某品牌手机的实际销售量,如下表所示:
时间x/月 1 2 3 4 5
销售量y/万部 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是(　　)
A.样本点的中心为(3,1.0)
B.由表中数据可知,变量y与x正相关
C.=0.28
D.预测x=7时该品牌手机的销售量为1.86万部
7.在对具有线性相关关系的两个变量x和y进行统计分析时,得到如表所示的数据:
x 4 m 8 10 12
y 1 2 3 5 6
由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x-1.8,则(4,1),(m,2),(8,3)这三个样本点中,距离回归直线最近的点是(　　)
A.(4,1) B.(m,2)
C.(8,3) D.(4,1)或(m,2)
8.在某活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据(i,yi),其中i=1,2,3,4,5,yi为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关于i的回归方程为log2(i+1)+5.已知=9,根据回归方程,预测下午4点时入口游客的人流量数据(单位:百人)为(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)(　　)
A.9.6 B.11.0 C.11.3 D.12.0
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x(单位:年)与当年所需要支出的维修费用y(单位:万元)有如下统计数据:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得y关于x的线性回归方程为,则(　　)
A.y与x的样本相关系数r>0
B.=0.08
C.表中维修费用的第60百分位数为6
D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10.某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题,从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高,测量数据的列联表如下:
性别 身高
低于170 cm 不低于170 cm 总计
女 80 16 96
男 20 84 104
总计 100 100 200
下列说法正确的有(　　)
A.该样本是由分层随机抽样而得
B.该中学高三年级学生身高最高的是男生
C.有99.9%的把握认为该中学高三年级学生的身高与性别有关
D.若该样本中男生身高h(单位:cm)服从正态分布N(175,25),则该样本中身高在区间(175,180]内的男生超过30人
附:① χ2=,其中n=a+b+c+d.
②若X~N(μ,σ2),则随机变量X的取值落在区间(μ-σ,μ+σ]上的概率约为68.3%.
临界值表:
P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
11.某农科所针对耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量y(单位:t)的关系进行研究,所得部分数据如下表:
耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18
每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12
已知m参考数据:两个变量x,y之间的相关系数r=;
参考公式:.
A.m+n=17 B. C. D.ε1+ε2=-1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某市大力发展科技创新,其科技创新投入资金x(单位:百万元)与回报资金y(单位:百万元)满足一元线性回归模型+e,已知投入200万元时,回报450万元,且每多投入100万元,回报资金多130万元.若2025年该市计划科技创新投入350万元,则预估回报资金为　　　　万元.
13.某单位为了调查对工作的满意程度与性别是否具有相关性,随机抽取了若干名员工,所得数据统计如表所示,其中x∈N+,且x<16,若有90%的把握可以认为对工作的满意程度与性别具有相关性,则x的值是　　　　.
对工作满意 对工作不满意
男性 5x 5x
女性 4x 6x
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
14.某网购公司统计了近5年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据:(其中“x=1”表示2020年,“x=2”表示2021年,且x为整数,依次类推;y表示人数)
x 1 2 3 4 5
y/万人 20 50 100 150 180
根据表中的数据,可以求出=42,若预测该公司的网购人数能超过300万,则x的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩进行统计,得到如下数据:数学成绩的方差为=10,化学成绩的方差为=500 500,其中xi,yi(i∈N且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩,y关于x的线性回归方程为.
(1)求x与y的样本相关系数r;
(2)从概率统计规律来看,本次考试高三(1)班学生的数学成绩η服从正态分布N(μ,σ2),用样本平均数作为μ的估计值,用样本方差作为σ2的估计值.试估计该校800名高三学生中,数学成绩位于区间(96.84,106.32]的人数.
附:①线性回归方程x中,;
②样本相关系数r=;
③若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ<η≤μ+2σ)≈0.95;
④≈3.16.
16.(15分)2024年6月25日14时07分,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域,工作正常,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,实现世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况,随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查,调查结果如下表:
关注 不关注 合计
男生 55 60
女生
合计 75
(1)完成上述列联表,依据该统计数据判断,能否有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关;
(2)为了激发同学们对探月工程的关注,该校举办了一次探月知识闯关比赛,比赛有两个答题方案可供选择:
方案一:回答4个问题,至少答对3个问题才能晋级;
方案二:在4个问题中随机选择2个问题作答,都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为,他回答这4个问题正确与否相互独立,则振华选择哪种方案晋级的可能性更大
附: χ2=.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17.(15分)电机与变压器中绕组常用的绝缘材料的耐热等级根据绝缘耐温(绝缘材料的极限允许工作温度)分为如下7个级别:
耐热等级 Y A E B F H C
绝缘耐温/℃ [90, 105) [105, 120) [120, 130) [130, 155) [155, 180) [180, 200) [200, 230)
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响,分别从采用两种工艺生产的产品中各随机抽取50件,测量各件产品的绝缘耐温(单位:℃),其频率分布直方图如下:
甲
乙
(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件,估计其中耐热等级达到C级的产品数;
(2)若规定产品耐热等级达到C级为合格,除此之外均为不合格.完成以下表格,并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.
合格 不合格
甲
乙
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05
k 1.323 2.072 2.706 3.841
18.(17分)抽球试验规则如下:盒子中初始装有1个白球和2个红球,每次有放回地任取1个,连续取两次,将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的2个球都是白球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中,如果某一轮成功,则停止;否则,在盒子中再放入一个红球,然后接着进行下一轮抽球,如此继续下去,直至成功.
(1)某人进行该抽球试验时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止抽球,记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过,有1 500名数学爱好者独立进行该抽球试验,记t表示成功时抽球试验的轮次数,y表示对应的人数,部分统计数据如表所示:
t 1 2 3 4 5
y 256 100 66 48 30
求y关于t的回归方程,并预测成功的总人数(精确到1).
参考公式:在线性回归方程中,.
参考数据:≈1.46,≈0.46,≈0.212其中xi=xi.
19.(17分)某大型企业对F产品进行研发与创新,根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与研发创新的直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66
当017时,确定y与x满足的线性回归方程为.
(1)根据下列表格中的数据,比较当0回归模型 模型① 模型②
回归方程 =4.1x+11.8 -14.4
)2 182.4 79.2
(2)为鼓励科技创新,当研发的投入不少于20亿元时,国家给予该企业补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较研发投入17亿元与20亿元时该企业实际收益的大小;
(3)研发改造后,该企业F产品的效率X大幅提高,已知X服从正态分布N(0.52,0.012),该企业对研发团队的奖励方案如下:若F产品的效率不超过50%,不予奖励;若F产品的效率超过50%但不超过53%,每件F产品奖励2万元;若F产品的效率超过53%,每件F产品奖励5万元.求每件F产品获得奖励的数学期望(保留两位小数).
附:①决定系数R2=1-,R2越大,说明拟合效果越好;②中,;③若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ答案与解析
第七章　统计案例
1.C　由散点图可知图1表示的是正相关,故r1>0;图2和图3表示的是负相关,且图2中的点比图3中的点分布更为集中,因此r2<0,r3<0,且|r2|>|r3|,所以r2综上,r1>r3>r2.
2.D　由已知得a+7=c=25,6+b=d=25,a+6=e,7+b=f,e+f=50,c+d=50,
所以a=18,b=19,e=24,f=26,f-e=2.
3.D　根据题表中的数据得=4,
∴=0.7x-2.3,
当x=15时,=0.7×15-2.3=8.2.
4.C　在两个分类变量的列联表中,当|ad-bc|的值越小时,认为两个分类变量有关的可能性越小.令|ad-bc|=0,得10×26=18m,解得m≈14.4,又m为整数,所以当m=14时,X与Y的关系最弱.
5.A　因为χ2=≈9.09>6.635,所以有99%的把握认为“是否选择物理与性别有关”.
6.D　由题表中的数据得,=1.0,则样本点的中心为(3,1.0),故A中说法正确;
由题表中的数据可得,y随着x的增大而增大,所以变量y与x正相关,故B中说法正确;
将(3,1.0)代入,得=0.28,故C中说法正确;
由选项C可知线性回归方程为=0.24x+0.28,
将x=7代入=0.24x+0.28,得=0.24×7+0.28=1.96,故D中说法不正确.
7.B　由题表中的数据,可得×(1+2+3+5+6)=3.4,
将代入=0.65x-1.8,得3.4=0.65×-1.8,解得m=6.
当x=4时,=0.65×4-1.8=0.8,1-0.8=0.2;
当x=6时,=0.65×6-1.8=2.1,2.1-2=0.1;
当x=8时,=0.65×8-1.8=3.4,3.4-3=0.4.
因为0.1<0.2<0.4,所以(4,1),(6,2),(8,3)这三个样本点中距离回归直线最近的点是(6,2),即(m,2).
8.C　设x=log2(i+1),i=1,2,3,4,5,则x+5,
≈=1.9,又=9,所以9=×1.9+5,得,
所以log2(i+1)+5,
下午4点对应的i=7,预测此时入口游客的人流量数据(单位:百人)为×log28+5≈11.3.
9.ABC　根据题表中的数据可得=5,
所以样本中心点为(4,5).
对于A,由题表中的数据可得y随着x的增大而增大,所以y与x正相关,所以样本相关系数r>0,故A正确;
对于B,将(4,5)代入方程,得=0.08,故B正确;
对于C,维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,则第60百分位数为=6,故C正确;
对于D,由B知=1.23x+0.08,当x=10时,=12.3+0.08=12.38,故所需要支出的维修费用大概是12.38万元,故D错误.
10.CD　对于A,由已知信息不能确定样本是不是由分层随机抽样而得,故A错误;对于B,没有给出具体的身高数据,所以不能推出该中学高三年级学生身高最高的是男生,故B错误;对于C, χ2=≈82.05>10.828,所以有99.9%的把握认为该中学高三年级学生的身高与性别有关,故C正确;对于D,因为σ2=25,所以σ=5,所以P(17511.ABD　∵=24,
∴=9,∴m+n=17,因此A正确;
由题表数据得=13,
∴r=)=40,
∴,
∴,
则ε1+ε2=m-=m+n-18=17-18=-1,因此B,D正确,C错误.
12.答案　645
解析　由题意得,当x=2时,=4.5,故4.5=2+e.
又每多投入100万元,回报资金多130万元,故=1.3,则+e=1.9,
所以=1.3x+1.9,当x=3.5时,=1.3×3.5+1.9=6.45,故预估回报资金为645万元.
13.答案　14或15
解析　根据题表中数据可得χ2=,由已知得≥2.706,解得x≥13.394 7,
因为x∈N+,且x<16,所以x=14或x=15.
14.答案　8
解析　由已知得,=100,
将(3,100)代入线性回归方程,得100=42×3+,解得=-26,则=42x-26,
令42x-26>300,可得x>≈7.76,
因为x为整数,所以x的最小值为8.
15.解析　(1)因为=8,
所以=400,(3分)
又=0.4,
所以)=200,(5分)
所以r=.(7分)
(2)因为=500 500,
所以500 500-50=500,解得=100,即μ=100,
因为σ2=10,所以σ≈3.16,(10分)
所以数学成绩η服从正态分布N(100,10),
则P(96.84<η≤106.32)=P(μ-σ<η≤μ+2σ)
=P(μ-σ<η≤μ+σ)+P(μ-2σ<η≤μ+2σ)
≈×0.95=0.815,(12分)
所以该校高三学生中数学成绩位于区间(96.84,106.32]的大约有800×0.815=652人.(13分)
16.解析　(1)列联表如下:
关注 不关注 合计
男生 55 5 60
女生 20 10 30
合计 75 15 90
故χ2==9>6.635,(5分)
所以能有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.(7分)
(2)记这4个问题分别为a,b,c,d,振华答对a,b,c,d的事件分别为A,B,C,D,按方案一、二晋级的概率分别为P1,P2,(8分)
则P1=P(ABCBCD)+P(ABCD)
=,(11分)
P2=P(CD)
=,(14分)
因为,所以振华选择方案一晋级的可能性更大.(15分)
17.解析　(1)由题中的频率分布直方图知,采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的频率为(0.06+0.02)×10=0.8,(3分)
∴估计10月份采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的产品为65×0.8=52(万件).(6分)
(2)由题中的频率分布直方图知,采用甲工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的为50×0.8=40(件),则未达到C级的为10件;(9分)
采用乙工艺生产的产品中,耐热等级达到C级的为50×(0.02+0.04)×10=30(件),则未达到C级的为20件.(12分)
由此可得表格如下:
合格 不合格
甲 40 10
乙 30 20
∴χ2=≈4.762>3.841,(14分)
∴有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关.(15分)
18.解析　(1)记事件A1表示“第一轮成功”,事件A2表示“第一轮失败”,
则P(A1)=;
记事件B1表示“第二轮成功”,事件B2表示“第二轮失败”,
则P(B1)=;
记事件C1表示“第三轮成功”,事件C2表示“第三轮失败”,
则P(C1)=,(3分)
由题意可知X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=P(A1)=,
P(X=3)=P(A2)P(B2)=,(6分)
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
EX=1×.(8分)
(2)xi=(i=1,2,3,4,5),由题知,=100,
×30=346,
则≈=290,
≈100-290×0.46=-33.4,(11分)
所以=290x-33.4,则-33.4.
当t=6时,-33.4≈15;当t=7时,-33.4≈8;
当t=8时,-33.4≈3;当t=9时,-33.4≈-1<0,
根据反比例函数的单调性,易知当t≥9时,<0,(15分)
而256+100+66+48+30+15+8+3=526,
故预测成功的总人数为526.(17分)
19.解析　(1)由题表得182.4>79.2,即,所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数,说明模型②的拟合精度更高、更可靠.(3分)
当x=17时,-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93,
所以预测该企业对产品研发的投入为17亿元时的直接收益为72.93亿元.(5分)
(2)当x>17时,由已知得=7.2,所以=67.2,
所以=67.2+0.7×23=83.3,(8分)
所以当x>17时,y与x满足的线性回归方程为=-0.7x+83.3.
当x=20时,=-0.7×20+83.3=69.3.
所以当x=20时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3(亿元),
因为79.3>72.93,
所以研发投入20亿元时该企业的实际收益更大.(12分)
(3)因为P(0.52-0.02所以P(X>0.50)≈0.5+=0.977 2,所以P(X≤0.50)=1-P(X>0.50)=0.022 8,
因为P(0.52-0.01所以P(X>0.53)≈0.5-=0.158 7,
所以P(0.50设每件F产品获得的奖励为Y万元,则Y的分布列为
Y 0 2 5
P 0.022 8 0.818 5 0.158 7
所以EY=0×0.022 8+2×0.818 5+5×0.158 7≈2.43(万元).(17分)
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