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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.2　空间两点间的距离公式
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间两点间的距离公式
1.(2025江西新余第一中学第二次段考)在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,2,3),点C是点B(2,0,1)关于z轴的对称点,则|AC|=(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.3
2.(2025河南许昌第二高级中学联考)在△ABC中,已知A(3,2,6),B(5,4,0),C(0,7,1),则AB边上的中线长为(　　)
A.　　B.6　　C.4　　D.7
3.(教材习题改编)已知点M在z轴上,且点M到点A(-1,0,2)与点B(3,-1,1)的距离相等,则点M的坐标为(　　)
A.(0,0,3)　　　　B.(0,0,-3)
C.(3,0,0)　　　　D.(-3,0,0)
4.(2025江西南昌第十九中学期中)已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2),B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点间的最短距离是(　　)
A.　　B.　　C.3　　D.
题组二　空间两点间的距离公式的应用
5.在空间直角坐标系中,以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形,其中m∈Z,则m的值为(　　)
A.-4　　 　　B.4
C.-6或4　　　　D.6或4
6.(教材习题改编)(多选题)已知x,y,z∈R且x2+y2+z2=1,则(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2的值可能是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
7.(2025江苏启东中学月考)已知圆台OO'的高为1,圆O和圆O'的半径分别为1和2,点P在圆O上运动,A,B,C是圆O'上三点,且△ABC是等腰直角三角形,则|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是　　　　.
8.(2025广东佛山段考)在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记|CM|=|BN|=a(0答案与分层梯度式解析
1.2　空间两点间的距离公式
基础过关练
1.C　因为点C是点B(2,0,1)关于z轴的对称点,所以点C的坐标为(-2,0,1),
所以|AC|==.
2.B　设AB的中点为D,则点D的坐标为(4,3,3),所以|CD|==6.
3.B　设M(0,0,m),由题意可得=,解得m=-3,所以点M的坐标为(0,0,-3).
4.B　∵B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点,
∴可设点B(m,1-m,0),
则|AB|==
=,
∴当m=时,|AB|的值最小,为=.
5.B　若△ABC是以AB为底边的等腰三角形,
则|AC|=|BC|,即
=,m∈Z,
整理,得m2-4m-49=0,m∈Z,无解;
若△ABC是以AC为底边的等腰三角形,
则|AB|=|BC|,即
=,m∈Z,
整理,得m2-20m+15=0,m∈Z,无解;
若△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
则|AB|=|AC|,即
=,m∈Z,
即m2-20m+113=m2-4m+49,m∈Z,解得m=4.
6.CD　∵x2+y2+z2=1,∴(x,y,z)是以原点为球心,1为半径的球面上的点,
又(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2表示点(x,y,z)与点(1,1,2)之间距离的平方,
∴(-1)2≤(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2≤(+1)2,
即7-2≤(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2≤7+2.
结合≈1.414,≈1.732,可得≈2.449,则7+2≈11.898,7-2≈2.102.
结合选项知C,D满足条件.
7.答案　[14,22]
解析　因为△ABC是等腰直角三角形,所以CO'⊥AB,|O'A|=|O'B|=|O'C|=2,
以O'为原点,O'C,O'B,O'O所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(2,0,0),设P(x,y,1),且x2+y2=1,-1≤x≤1,
则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+(y+2)2+1+x2+(y-2)2+1+(x-2)2+y2+1=x2+y2+4y+4+1+x2+y2-4y+4+1+x2-4x+4+y2+1=18-4x,-1≤x≤1,
则|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是[14,22].
8.解析　因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,CB⊥AB,CB 平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,如图,以B为原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,0,1),又|CM|=|BN|=a,所以M,同理可得N,
所以|MN|===,
又021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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