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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
2.2　空间向量的运算
第1课时　空间向量的加减法与数乘运算
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间向量的加减法
1.(教材习题改编)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.a+b-c　　　　B.-a+b-c
C.-a+b+c　　　　D.a-b+c
2.(2025浙江绍兴会稽联盟期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,(+)-运算的结果为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为的有(　　)
A.++　　　　B.++
C.-+　　　　D.++
题组二　空间向量的数乘运算
4.(多选题)(2025江西赣州十八县二十四校期中)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则(　　)
A.=　　　　B.+=
C.++=　　　　D.-(+)=
5.(2025江西宜春第一中学期中)在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在上,且满足=2,点N为BC的中点,则=(　　)
A.a-b+c　　　　B.-a+b+c
C.a+b-c　　　D.a+b-c
6.(多选题)(2025河北衡水中学月考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M为CD1的中点,Q为CA1上靠近点A1的五等分点,则(　　)
A.=++
B.2=+2+
C.=++
D.5=++4
7.(2025江西新余第一中学段考)在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,化简下列各表达式.
(1)++;
(2)(+-).
题组三　共线向量基本定理
8.(2024江苏南京六校联合体期中)已知向量e1,e2是空间中两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则(　　)
A.A,B,C三点共线　　　　B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线　　　　D.B,C,D三点共线
9.(2025陕西渭南月考)设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k=　　　　.
第2课时　空间向量的数量积
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间向量的数量积的概念及运算
1.(2025江西部分高中联考)关于空间向量a,b,c,下列运算错误的是(　　)
A.a·b=b·a
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.(λa)·b=λ(a·b)
D.(a·b)c=a(b·c)
2.(多选题)(2025河南洛阳创新联盟月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则(　　)
A.·=1　　　　B.·=1
C.·=1　　　　D.·=1
3.(2025江西八校协作体联考)在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=2,M为空间中的一点,则·(++)的最小值为(　　)
A.-16　　B.-14　　C.-12　　D.-8
4.(教材习题改编)(2025山东菏泽外国语学校月考)已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k(其中i,j,k是两两垂直的单位向量),则5a与3b的数量积等于　　　　.
5.(2025江西上饶余干月考)如图所示,已知正三棱锥D-ABC,AC=BC=AB=2,AD=3,点D在平面ABC内的投影为E,F为线段BD上靠近点B的三等分点.
(1)若=x+y+z,求x,y,z的值;
(2)求·的值.
题组二　利用空间向量求模或夹角
6.(2025广东名校联盟质量检测)已知空间向量a,b,c满足a+2b+c=0,|a|=|b|=|c|=1,则a与b的夹角为(　　)
A.30°　　B.150°　　C.60°　　D.120°
7.(2025江西华东师范大学上饶实验中学检测)如图,在棱长为6的正四面体ABCD中,点P与Q满足=,=2,则||为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2025山东德州五校联考)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处.已知库底与水坝所成的二面角为150°,测得从D,C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=20m,CB=40m,若AB=20m,则甲、乙两人相距(　　)
A.10m　　　　B.10m　　
C.70m　　　　D.10m
9.(2024山西吕梁期中)在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,∠ABC=90°,·=-,则∠CBD=　　　　.
10.(易错题)已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=1,=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是　　　　.
11.如图,已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=.
(1)求B1D的长;
(2)求与夹角的余弦值.
题组三　利用空间向量解决垂直问题
12.(2025山东潍坊昌邑期中)A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　)
A.钝角三角形　　　　B.锐角三角形
C.直角三角形　　　　D.不确定
13.(2024湖南邵阳月考)在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,M为PA的中点,=μ.若MN⊥AD,则μ=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
14.如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.
(1)证明:AE⊥BC;
(2)求直线AE与DC夹角的余弦值.
题组四　空间向量的投影向量与投影数量
15.(教材习题改编)(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是(　　)
A.在方向上的投影向量为
B.在方向上的投影向量为
C.在方向上的投影向量为
D.在方向上的投影向量为
16.(2024河北唐山十县一中联盟期中)在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在方向上的投影向量为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
能力提升练
题组　空间向量的数量积的应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025河南洛阳创新联盟月考)如图,在八面体ABCDEF中,平面ABE,ACF均垂直于底面ABC,且AE=BE=AF=CF,则下列向量中与向量在平面ABC上的投影向量相等的是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.--
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD夹角的余弦值为(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
3.(多选题)(2024辽宁沈阳重点高中期中)已知空间单位向量,,两两之间的夹角均为60°,=2,=2,则下列说法中正确的是(　　)
A.·=1　　　　B.·(+)=-
C.||=　　　　D.cos<,>=
4.(2025安徽皖南八校联考)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,AC'是正方体的一条体对角线,P为正方体表面上的动点,若·=-6,则点P的轨迹长度总和为(　　)
A.2π　　B.12π　　C.12π　　D.12π
5.(2025山东菏泽第一中学月考)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算a×b,规定:①a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图1);③|a×b|=|a||b|sin.如图2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列说法中错误的是(　　)
　
A.×=
B.×=×
C.(+)×=×+×
D.=(×)·
6.(2025东北三省联考,)正四棱台在中国古代被称为“方亭”,在古代建筑中有着广泛的应用.在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中,AA'=1,AB=2,∠BAA'=,则||=　　　.
7.(2025江西宜春第一中学期中,)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.
(1)求A1C的长;
(2)求A1到直线BC的距离;
(3)动点P在线段CD1上运动,求·的最小值.
答案与分层梯度式解析
2.2　空间向量的运算
第1课时　空间向量的加减法与数乘运算
基础过关练
1.B　由题意可得=+=++=++=-a+b-c.
2.C　(+)-=+=.
3.BCD　A.++=≠;
B.++=++=;
C.-+=++=++=;
D.++=++=.
4.ACD　因为E,F分别为BC,CD的中点,所以=,故A正确;
由+=得=-=,由题图可知,不共线,矛盾,故B错误;
++=+=,故C正确;
-(+)=-×2=-=,故D正确.
5.B　由题意得=++=+-+=
-++-=-++=-a+b+c.
6.BD　由题意得=++=++(+)=+-+=++,
则2=+2+,故A错误,B正确;
=+=+=+(++)
=+(+-)=++,
则5=++4,故C错误,D正确.
7.解析　(1)++=+++=+++=++=+=++==.
(2)分别取AB,AC的中点P,Q,连接PH,QH,则四边形APHQ为平行四边形,
则(+-)=+-=+-=-=.
8.C　对于A,若A,B,C三点共线,则存在唯一的实数λ,使得=λ,即e1+2e2=λ(-3e1+2e2),则无解,所以A,B,C三点不共线,故A错误;
对于B,若A,B,D三点共线,则存在唯一的实数μ,使得=μ,即e1+2e2=μ(3e1-6e2),则无解,所以A,B,D三点不共线,故B错误;
对于C,易得=+=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=,且AC,AD有公共点A,所以A,C,D三点共线,故C正确;
对于D,易得=+=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,若B,C,D三点共线,则存在唯一的实数k,使得=k,即4e1-4e2=k(-3e1+2e2),则无解,所以B,C,D三点不共线,故D错误.
9.答案　-8
解析　由题意得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
又=2e1+ke2,且A,B,D三点共线,所以存在唯一的实数λ,使得=λ,
即2e1+ke2=λe1-4λe2,则解得k=-8.
第2课时　空间向量的数量积
基础过关练
1.D　
2.AB　·=·=||||cos∠CAB=1××=1,A正确;
·=·(+)=·+·=·=1,B正确;
·=·(+)=·+·=-1,C错误;
因为AB⊥平面ADD1A1,A1D 平面ADD1A1,所以AB⊥A1D,故·=0,D错误.
3.C　记△ABC的重心为O,D是BC的中点,G是PO的中点,则AO=AD=2.
又PO⊥平面ABC,AO 平面ABC,所以PO⊥AO,则PO==4,
则++=+2=++2(+)=3,
所以·(++)=·3=3(+)·(+)=3(+)·(-)=3(-)=3(-4),
所以当M与G重合时,取得最小值0,
此时·(++)取得最小值-12.
4.答案　-15
解析　由题意得5a·3b=15a·b=15(3i+2j-k)·(i-j+2k)=15(3i2-2j2-2k2)=15×(3-2-2)=-15.
5.解析　(1)=+=-+=-(+)+-=-+,
又=x+y+z,故x=,y=-,z=.
(2)在△ADC中,由余弦定理得cos∠DAC==,
在△DAB中,由余弦定理得cos∠DAB==,
故·=·=·-·+=×2×3×-×2×3×+×32=3.
6.C　设a与b的夹角为θ.
由a+2b+c=0,得a+2b=-c,
两边平方得a2+4a·b+4b2=7c2,即1+4×1×1×cosθ+4=7,解得cosθ=.又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
7.D　由题意得||=||=||=6,∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,
所以·=·=·=6×6×cos60°=18.
因为=-=(+)-=-++,
所以||2==||2+||2+||2-·-·+·
=16+9+9-12-12+9=19,
故||=.
8.B　由已知可得∠DAB=∠CBA=90°,与的夹角为150°,且,,不共面,则=++,即=(++)2=+++2·+2·+2·
=(20)2+202+402+0+2×20×40×cos(180°-150°)+0=5600,
所以||=10,即甲、乙两人相距10m.
9.答案　30°
解析　因为∠ABC=90°,所以·=0,
又=-,所以·=·(-)=·-·=-,所以·=.
又BC=1,BD=2,所以·=||||cos∠CBD=2cos∠CBD=,
所以cos∠CBD=.
又0°<∠CBD<180°,所以∠CBD=30°.
10.答案　(-1-,-1+)
解析　由题意知(a+λb)·(λa-2b)<0,且cos≠-1,即λa2+(λ2-2)a·b-2λb2<0,且(a+λb)·(λa-2b)≠-|a+λb||λa-2b|,(易错点)即λ2+2λ-2<0,且λ2+2λ-2≠-2·,解得-1-<λ<-1+.
11.解析　(1)由题可知,=++=--,则==++-2·-2·+2·=12+22+32-2×(1×2+1×3-2×3)×=15,所以||=,
因此B1D的长为.
(2)连接A1B,由题可知,==-,
则||==
==,
所以·=(-)·(--)=·-·+-=1×3×-1×2×+22-32=-,
所以cos<,>===-.
12.C　因为M为BC的中点,所以=(+),
则·=(+)·=·+·=0,
所以⊥,即AM⊥AD,所以△AMD是直角三角形.
13.C　在正四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,又PA=AB,所以其侧面均为等边三角形,
则·=(-)·=·=·=·=·+·-·-·=-·×=0,故=,则μ=4.
14.解析　(1)证明:连接DE,则=-=(+)-,=-,
则·=·(-)=·-·+·-·-·+·=0-2+2-0-0+0=0,
所以AE⊥BC.
(2)·=·=·+·-·=0+2-0=2,
||==,
所以cos<,>===,
即直线AE与DC夹角的余弦值为.
15.AC　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面ABB1A1,而A1B 平面ABB1A1,所以BC⊥A1B,所以在方向上的投影向量为,A正确;
在Rt△A1BC中,∠A1BC=90°,所以BC与A1C不垂直,所以在方向上的投影向量不是,B错误;
因为B1B⊥BC,D1C⊥BC,所以在方向上的投影向量为,C正确;
虽然B1B⊥B1D1,但是CD1与B1D1不垂直,所以在方向上的投影向量不是,D错误.
16.B　设AC=2,则BD=1,由题可知·=·=0,=++,则·=(++)·=||2,所以在方向上的投影向量为·=·=.
能力提升练
1.C　分别取AC,AB的中点P,Q,连接FP,EQ,PQ,因为AE=BE=AF=CF,所以EQ⊥AB,FP⊥AC,因为平面ABE⊥平面ABC,平面ABE∩平面ABC=AB,EQ 平面ABE,所以EQ⊥平面ABC,同理可得FP⊥平面ABC,所以向量在平面ABC上的投影向量为,且=.
2.D　∵PD⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,
∴PD⊥DA,PD⊥DC.
∵底面ABCD为正方形,∴DA⊥DC.
易知=-,=+,
∴·=(-)·(+)=+·-·-·=1,
||====,
||====,
∴|cos<,>|===,
∴异面直线PA与BD夹角的余弦值为.
3.BC　·=·=·=1×1×cos60°=,故A错误;
·(+)=·(-+-)=·(2--)=1--1=-,故B正确;
由=2,得=,由=2,得-=2-2,所以=,所以=-=,
则||==
=
=×=,故C正确;
=-=,
所以·=-=-=-,故cos<,><0,故D错误.
4.C　设O为AC'的中点,
则|OA|=|OC'|=|AC'|=×=2,
则·=(+)·(+)=+·(+)+·=+0-=-12,
又·=-6,故=6,即|PO|=<|OA|,
故点P在以O为球心,为半径的球面上,又点P在正方体表面上运动,故点P的轨迹为上述球面与正方体各面的交线,
所以点P在每个表面上的轨迹是以各面中心为圆心,=为半径的圆,
所以点P的轨迹长度总和为6×2×π×=12π.
5.B　对于A,|×|=||||sin<,>=2×2×sin90°=4=||,且,,构成右手系,即×=成立,A中说法正确;
对于B,×=,×=-,则×≠×,B中说法错误;
对于C,|(+)×|=|×|=2×4×sin90°=8,×与共线,且方向相同,
|×|=2×4×sin90°=8,×与共线,且方向相同,
|×|=2×4×sin90°=8,×与共线,且方向相同,
则|×+×|=8,×+×与共线,且方向相同,
因此(+)×=×+×,C中说法正确;
对于D,=2×2×4=16,(×)·=·=42=16,
因此=(×)·,D中说法正确.
6.答案　
解析　如图,连接A'C',AC.
在四边形ABB'A'中,A'B'=AB-2AA'cos=2-2×1×=1,
由==,得A'C'=AC,
设=a,=b,=c,则|a|=2,|b|=2,|c|=1,
所以=+=+=+(+)=a+b+c,
则||=
=
==.
7.解析　(1)由题意得=-=+-,
所以||=,
=,
而·=||||cos60°=2×1×=1,
·=||||cos60°=2×2×=2,
·=||||cos60°=1×2×=1,
所以||=,即A1C的长为.
(2)连接A1D,在△ADA1中,A1D=
==,所以AD2+A1D2=A,即A1D⊥AD,
又AD∥BC,所以A1D⊥BC,
连接BD,在△ABD中,BD=
==,
所以AD2+BD2=AB2,即BD⊥AD,则BD⊥BC,
又A1D∩BD=D,A1D,BD 平面A1BD,
所以BC⊥平面A1BD,
而A1B 平面A1BD,所以A1B⊥BC,即A1B的长为A1到直线BC的距离,
而AA1=AB=2,∠A1AB=60°,所以△AA1B为等边三角形,则A1B=2,即A1到直线BC的距离为2.
(3)由题可设=λ(λ∈[0,1]),
则·=·=(++)·
=(λ--)·λ=(λ--)·λ=[(λ-1)-λ-]·λ(-)=λ[(λ-1)-(λ-1)·-λ·+λ-·+·]=λ[(λ-1)×22-(2λ-1)||||cos60°+λ×22-||||cos60°+||||cos60°]
=λ
=4λ2-2λ=4-,
故当λ=时,·取得最小值,为-.
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