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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　空间向量在基下的坐标表示
1.(2024广东东莞期中)已知i,j,k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为(　　)
A.(1,-1,1)　　　　B.(-1,1,1)　　
C.(1,-1,2)　　　　D.(-1,1,2)
2.(2025福建部分优质高中质检)已知{a,b,c}是空间向量的一组基,{a+b,a-b,c}是空间向量的另一组基,若向量p在基{a,b,c}下的表示为p=4a+2b+3c,记p的坐标为(4,2,3),则向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　.
题组二　空间向量运算的坐标表示
3.(2025安徽蚌埠五河一中月考)已知空间向量a=(3,4,0),b=(-3,1,4),则b在a方向上的投影向量的坐标是(　　)
A.(-3,-4,0)　　　　
B.
C.　　　　
D.(3,-1,-4)
4.(2025河北邯郸联考)已知向量a=(3,-2,3),b=(-1,3,-2),c=(7,0,λ),若a,b,c共面,则λ=　　　　.
5.(2025江西上饶余干第二中学检测)已知a=(cosα,-1,sinα),b=(sinα,1,-cosα),若α∈R,则(a+b)·(a-b)=　　　　.
6.(2025山东菏泽第一中学月考)已知点A(-1,1,0),B(1,3,2),与向量不共线的向量a=(x,y,z)在方向上的投影向量为(1,1,1),请给出a的一个坐标:　　　　.
题组三　空间向量的平行与垂直
7.(2025江西学情检测)已知向量a=(1,-2,1),b=(3,λ,μ),若a∥b,则λμ=(　　)
A.-18　　B.18　　C.-　　D.
8.(2025江西师范大学附属中学素养测评)已知空间向量a=(6,2,1),b=(2,x,-3),若(a-2b)⊥a,则x=(　　)
A.4　　B.6　　C.　　D.
9.(2025湖南岳阳一中月考)已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.(多选题)(2025广东深圳外国语学校月考)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则(　　)
A.|a-b|=6　　　　B.(a+3b)·(b+c)=7
C.(a+4b)⊥c　　　　D.a∥(b-c)
11.(2024广东阳江期中)某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,若∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
题组四　空间向量的长度和夹角
12.(易错题)(2025江苏淮安十校联考)已知a=(1,2,-1),b=(-1,x,1),且a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是(　　)
A.(-2,1)　　　　
B.(-∞,1)
C.(-∞,-2)∪(-2,1)　　　　
D.(1,+∞)
13.(多选题)(2025福建泉州期中质量检测)已知向量a=(m-1,2m,2),b=(2,m,1),m∈R,则下列结论正确的是(　　)
A.若a∥b,则m=3　　　　
B.若m=-1,则a⊥b
C.|a|的最小值为　　　　
D.|a|无最大值
14.(2025江西八校协作体联考)已知空间中的三点A(1,-2,4),B(-1,-1,7),C(-2,2,3).
(1)设|c|=2,c∥,求c的坐标;
(2)求△ABC的面积.
15.(2024河北邯郸武安三中开学考试)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,F1D1=C1D1.
(1)求线段AM的长;
(2)求BE1与DF1夹角的余弦值.
能力提升练
题组　空间向量运算的坐标表示及应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025广东广州奥林匹克中学月考,)已知空间中的三点A(3,2,0),B(6,1,-2),C(5,-1,1),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A.　　B.7　　C.　　D.7
2.(2025河北沧州沧县中学等校联考,)如图,在圆锥SO中,AB是底面圆的直径,SO=AB=4,AC=BC,D为SO的中点,点M,N分别在直线SC,AD上,则线段NM的长的最小值为　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(多选题)(2025山东部分名校质量检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=2,|AA1|=6,P为长方体ABCD-A1B1C1D1表面上一动点,则·的值可能是(　　)
A.-15　　B.-10　　C.-5　　D.2
4.(2025辽宁锦州期末质量检测,)记空间中的一些点构成的集合为A,原点为O,且对任意P1,P2,P3∈A,都存在不全为零的实数x,y,z,使得x+y+z=0,若(1,1,1)∈A,则下列结论可能成立的是(　　)
A.(1,0,1)∈A,且(1,0,-1)∈A
B.(0,0,1)∈A,且(2,2,3)∈A
C.(1,2,1)∈A,且(2,2,3)∈A
D.(3,2,1)∈A,且(1,0,1)∈A
5.(2025江西师大附中月考,)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BD1,B1C1的中点,点P在正方体表面上运动,且满足MP⊥CN,则点P轨迹的长度是(　　)
A.(2+)a　　　　B.(3+)a
C.(3+)a　　　　D.4a
6.(多选题)(2024河北秦皇岛期中,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是(　　)
A.=
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
7.(多选题)(2025江西南昌第一中学期中,)“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图①是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为4的正四棱柱构成,在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　)
　
A.|GE|=
B.点C的坐标为(-2,2,2)
C.O,E,F,A四点共面
D.直线CE与DG夹角的余弦值为
8.(2024上海曹杨二中期中)在空间直角坐标系中,已知A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1).
(1)若点P满足=2,求||;
(2)求△ABD的面积.
9.(创新题)(2025福建福州长乐第一中学阶段考试)空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“空间斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,其中任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”.类比空间直角坐标系,定义:在“空间斜60°坐标系”下,i,j,k分别为三条坐标轴(x轴、y轴、z轴)正方向上的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z].
(1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标;
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,如图,以{,,}为基建立“空间斜60°坐标系”.
①若=,求向量的斜60°坐标;
②若=[2,t,0],且⊥,求||.
答案与分层梯度式解析
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
基础过关练
1.D　由题意可知,=(0,0,3),=(-1,1,-1),
设B(x,y,z),则=-,即(-1,1,-1)=(x,y,z-3),所以x=-1,y=1,z=2,故B(-1,1,2).
2.答案　(3,1,3)
解析　设向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,
整理得4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,
由空间向量基本定理中的唯一性得∴
∴向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(3,1,3).
3.B　∵a·b=-9+4+0=-5,|a|==5,|b|==,
∴b在a方向上的投影向量的坐标是·=×(3,4,0)=.
4.答案　5
解析　因为a,b,c共面,所以存在实数x,y,使得c=xa+yb,即(7,0,λ)=x(3,-2,3)+y(-1,3,-2)=(3x-y,-2x+3y,3x-2y),即解得
5.答案　0
解析　由题意可得a+b=(sinα+cosα,0,sinα-cosα),
a-b=(cosα-sinα,-2,sinα+cosα),
则(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+0+sin2α-cos2α=0.
6.答案　(1,2,0)(答案不唯一)
解析　由题意得=(2,2,2),又a=(x,y,z)在方向上的投影向量为(1,1,1),
∴·=·(2,2,2)
=(2,2,2)=(1,1,1),则x+y+z=3,
∵向量与a不共线,∴==不成立,
则可令x=1,y=2,z=0,即a=(1,2,0).(答案不唯一)
7.A　因为a∥b,所以==,得λ=-6,μ=3,所以λμ=-18.
8.C　由题意得a-2b=(6,2,1)-2(2,x,-3)=(2,2-2x,7),
因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=12+4-4x+7=0,解得x=.
9.D　易得=-=(1,λ-2,0),=-=(3,0,k-3).
因为OA⊥平面ABC,AB,AC 平面ABC,所以OA⊥AB,OA⊥AC,即⊥,⊥,
所以·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,
所以λ=,k=2,故λ+k=.
10.BD　对于A,a-b=(2,-1,-1),所以|a-b|==,A错误;
对于B,a+3b=(-2,-1,3),b+c=(1,-3,2),
所以(a+3b)·(b+c)=-2+3+6=7,B正确;
对于C,a+4b=(-3,-1,4),所以(a+4b)·c=-6+3+4=1≠0,C错误;
对于D,b-c=(-3,3,0)=-3a,所以a∥(b-c),D正确.
11.证明　以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D为BC的中点,∴点D的坐标为(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.又A1A,AD 平面A1AD,A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.又BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
12.D　若a∥b,则==,解得x=-2,此时b=-a,
a与b的夹角为180°,所以a与b的夹角不可能为0°.
当a与b的夹角为锐角时,有a·b=1×(-1)+2x+(-1)×1>0,解得x>1,则x的取值范围是(1,+∞).
易错警示　a与b的夹角为锐角,不能等价转化为a·b>0,要注意排除两向量共线的情况.
13.BCD　若a∥b,则==,解得m=5,故A错误;
若m=-1,则a=(-2,-2,2),b=(2,-1,1),则a·b=-4+2+2=0,所以a⊥b,故B正确;
|a|===≥,当且仅当m=时取等号,所以|a|的最小值为,没有最大值,故C,D正确.
14.解析　(1)由已知得=(-2,1,3),
由c∥,可设c=λ(λ∈R),所以|c|=|λ|·||=|λ|×=|λ|=2,解得λ=±2,
所以c=2=(-4,2,6)或c=-2=(4,-2,-6).
(2)由题可得=(3,-4,1),=(1,-3,4),
所以·=3×1+(-4)×(-3)+1×4=19,
||==,
||==,
所以cos<,>===,
又<,>∈[0,π],所以sin<,>==,
所以△ABC的面积S=||||sin<,>=×××=.
15.解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)A(1,0,0),M,
则=,
所以||==,即线段AM的长为.
(2)B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1,
所以=-(1,1,0)=,=-(0,0,0)=,
所以||=,||=,
·=0×0+×+1×1=,
所以cos<,>==,
所以BE1与DF1夹角的余弦值为.
能力提升练
1.D　由题意得=(3,-1,-2),=(2,-3,1),
所以·=7,||=,||=,
所以cos<,>===,
又因为0°≤<,>≤180°,所以∠BAC=60°,
所以S△ABC=||||sin∠BAC=,
所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为2S△ABC=7.
2.B　连接OC,易知OC,OA,OS两两垂直.以O为原点,OC,OA,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则S(0,0,4),C(2,0,0),所以=(2,0,-4),
由N在直线AD上,可设N(0,n,2-n),n∈R,由M在直线SC上,可设=λ=(2λ,0,-4λ),λ∈R,则M(2λ,0,4-4λ),所以=(2λ,-n,2-4λ+n),
则NM=||=,
令2-4λ=2t,
则NM=
=≥=,
当且仅当t=,n=-,即λ=,n=-,
即N,M时,等号成立.
故线段NM的长的最小值为.
3.BC　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C1(0,4,6).
设P(x,y,z),则=(2-x,-y,-z),=(-x,4-y,6-z),
所以·=-2x+x2-4y+y2-6z+z2=(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2-14.
记长方体的中心为Q,则Q(1,2,3),连接PQ,则|PQ|2=(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2,
易知|PQ|2∈,
又因为|AD|=2,|AC1|==2,所以|PQ|2∈[1,14],所以·∈[-13,0].
4.B　对于A,设P1(1,1,1),P2(1,0,1),P3(1,0,-1),
假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(1,0,-1)=(0,0,0),
则解得与假设矛盾,故A错误;
对于B,设P1(1,1,1),P2(0,0,1),P3(2,2,3),
假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2,3)=(0,0,0),
则令z=-1,则x=2,y=1,满足假设,故B正确;
对于C,设P1(1,1,1),P2(1,2,1),P3(2,2,3),
假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(1,2,1)+z(2,2,3)=(0,0,0),
则解得与假设矛盾,故C错误;
对于D,设P1(1,1,1),P2(3,2,1),P3(1,0,1),
假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(3,2,1)+z(1,0,1)=(0,0,0),
则解得与假设矛盾,故D错误.
5.A　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则M,N,C(0,a,0),
∴=,
设P(x,y,z),则=,
∵MP⊥CN,∴⊥,
∴·=+a=0,得2x+4z-3a=0,
当x=a时,z=,当x=0时,z=,
取E,F,H,G,
连接EF,FG,GH,HE,
则==(0,a,0),==,
∴四边形EFGH为平行四边形,
又·=0,∴四边形EFGH为矩形,
∵·=0,·=0,即EF⊥CN,EH⊥CN,
且EF∩EH=E,EF,EH 平面EFGH,
∴CN⊥平面EFGH.
连接EG,∵=,=,
∴M为EG的中点,则M∈平面EFGH,
为使MP⊥CN,则必有点P∈平面EFGH,
又点P在正方体表面上运动,∴点P的轨迹为矩形EFGH,∴点P轨迹的长度即为矩形EFGH的周长,
又EF=GH=a,EH=FG=a,
∴点P轨迹的长度为(2+)a.
6.BD　∵P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,为正方体的棱长,
∴=·CD=××1×1×1=,故A中结论错误.
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),∴=(x-1,1,z),=(-1,-1,1),=(-1,0,-1).
∵AP⊥BD1,∴·=1-x-1+z=0,∴x=z,
∴P(x,1,x),∴=(x,0,x),∴=-x,即B1,P,C三点共线,又0≤x≤1,∴P必在线段B1C上,故B中结论正确.
易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=(x-1,1,x),∴·=1-x+x=1≠0,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误.
易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(-1,1,0),=(1,0,1),又=(x-1,1,x),∴=x+(0≤x≤1),
∴,,共面,又DA1,A1C1 平面A1C1D,AP 平面A1C1D,且DA1与A1C1有交点A1,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确.
7.ACD　连接BD,依题意知正方形ABCD的对角线BD的长为2,则ED=,
所以O(0,0,0),G(2,2,2),E(0,2,3),A(0,4,2),
F(0,2,),D(-1,3,3),B(-1,3,).
对于A,|GE|==,故A正确;
对于B,由==(-1,-1,-),得C(-2,2,2),故B错误;
对于C,=(0,4,2),=(0,2,3),=(0,2,),则=2,即O,A,F三点共线,
又O为向量,的公共起点,所以O,E,F,A四点共面,故C正确;
对于D,=(2,0,),=(3,-1,-),
所以直线CE与DG夹角的余弦值为=,故D正确.
8.解析　(1)设P(x,y,z),
∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1),
∴=(x,y-1,z-2),=(3-x,-2-y,-1-z),
∵=2,
∴解得∴P(2,-1,0),
∴=(1,-2,-1),
∴||==.
(2)∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1),
∴=(3,-3,-3),=(1,0,-1),
∴cos∠BAD=
==,
∴sin∠BAD==,
∴△ABD的面积S=||||sin∠BAD=×3××=.
9.解析　(1)∵a=[1,2,3],b=[-1,1,2],
∴a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k=[0,3,5],
∴a+b的斜60°坐标为[0,3,5].
(2)设i,j,k分别为与,,同方向的单位向量,
则=2i,=2j,=3k,cos=cos=cos=cos60°=.
①由题意得点E为BB1的中点.
连接AD1,AE,则=-=(+)-
=-++=-2i+2j+k=,
∴的斜60°坐标为.
②由题意得=++=2i+2j+3k,
∵=[2,t,0],∴=2i+tj,
由⊥得·=(2i+tj)·(2i+2j+3k)=0,
∴4i2+2tj2+(4+2t)i·j+6k·i+3tk·j=0,
∴4+2t+(4+2t)+3+=0,解得t=-2,
则||=|2i-2j|====2.
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