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5.2简单的轴对称图形 练习
一、单选题
1．如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．6 C． D．15
3．下列叙述正确的语句是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线
D．全等三角形的对应角平分线相等
4．如图，在等腰中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，垂直平分．若，则的长是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
6．如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　）
A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形
C．与面积相等 D．垂直平分
8．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
10．如图，，平分．以下结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
12．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在等边三角形中，为边的中点，以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，则的度数为 ．
14．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ．
15．如图，已知的周长为14，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为 ．
16．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
18．如图，已知，，，．请完成下面的作图和填空．
(1)尺规作图：作的角平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
(2)在第（1）问的条件下，试说明．请将下列解题过程补充完整．
解：（已知）
（①_______）
（已知）
②_______（等量代换）
平分（已知）
③_______（角平分线的定义）
在中，，④_______（已知）
（⑤_______）
（等量代换）
（⑥_______）
19．如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
20．如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D C C A C D B
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解．
【详解】解：∵，是的中点，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
∵，，
∴的面积，
∴图中阴影部分的面积的面积，
故选：C．
3．D
【分析】根据三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，原说法错误，不符合题意；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意；
D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识．熟记相关几何性质是解决问题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键．
直接根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】解：∵在等腰中，，
∴．
故选D．
5．C
【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论．
【详解】解：连接，．
由作图可知，，
垂直平分线段，
，
．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的性质是解题的关键．
由轴对称的性质可知，即可求解．
【详解】解：∵与关于直线对称，
，
∵由轴对称的性质，可知直线的交点一定在上，
∴A选项符合题意；
P为上任一点，
，
∴是等腰三角形，
∴B选项不符合题意；
，
∴与面积相等，
∴C选项不符合题意；
，
∴垂直平分，
∴D选项不符合题意；
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可．
【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且，
，平分，垂直平分线段，
故正确，
条件不足，无法求出的度数，故错误；
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：②的痕迹是作的垂直平分线交于点D，连接，不能得到是的角平分线；①的痕迹是作的平分线；③④均可通过证三角形全等得是的平分线．
故选D．
10．B
【分析】本题可根据平行线的性质、角平分线的定义，对每个选项逐一进行分析判断．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角平分线的定义以及三角形的性质（等角对等边、三边关系）．解题的关键在于熟练运用这些性质，通过角与角之间的等量代换，以及边与边关系的推导，对每个选项进行准确判断．
【详解】解：选项A：
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，该选项成立．
选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立．
选项C：
∵，
∴，又平分，即，
∴． 在中，等角对等边，
∴，该选项成立．
选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∵（已证），
∴，即，也就是，该选项成立．
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于H，
由作图方法可得，平分，
∵，，
∴，
∴点到的距离为3，
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答．
【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小，
∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示：
∴此时，
故选：C．
13．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
先根据等边三角形的性质得，，再根据，即可求解．
【详解】解：∵三角形为等边三角形，为边的中点，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，为半径画弧，与边的交点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
15．10
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，尺规作图线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
由作图得，垂直平分，则，，那么的周长：，再根据的周长为14以及即可求解．
【详解】解：由作图得，垂直平分，
∴，，
∴的周长：，
∵的周长为14，，
∴，
∴的周长为10，
故答案为：10．
16．6
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：6．
17．(1)见详解
(2)
【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质．
（1）利用基本作图作出的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：垂直平分，
，，
∴
的周长为，
即，
，
即，
的周长为．
18．(1)见解析
(2)等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图；
（2）根据等腰三角形的性质得到平分，根据平分，得到，即可证明平行．
【详解】（1）解：如图，射线即为所作：
（2）解：（已知）
（等边对等角）
（已知）
（等量代换）
平分（已知）
（角平分线的定义）
在中，，（已知）
（三线合一）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
（1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出；
（2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，即，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∴垂直平分．
20．证明见解析．
【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论．
【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，，
∴，，
∴．

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