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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
§4　二项式定理
4.1　二项式定理的推导
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　二项式定理的理解
1.(2025上海浦东期中)已知(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+…+cn)(n∈N+,n≥1)展开后共有60项,则n的值为(　　)
A.5　　B.7　　C.10　　D.12
2.(教材习题改编)若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b等于(　　)
A.33　　B.29　　C.23　　D.19
3.(2024河北东光等三县部分学校联考)若 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a-b=(　　)
A.3　　B.2　　C.0　　D.-1
4.(2024河北保定期末)已知3n+3n-1+3n-2+…+×3+=1024,则n=　　　　.
题组二　求二项展开式中的特定项及项的系数
5.(2025黑龙江哈尔滨第三中学校期中)已知直线l:4x+ty-1=0,其中t为的展开式中的常数项,则点P(2,1)到直线l的距离为(　　)
A.1　　B.2　　C.5　　D.10
6.(2024广东茂名月考)在(3x-y)10的展开式中,xy9的系数为(　　)
A.-90　　B.90　　C.-30　　D.30
7.(教材习题改编)若的展开式中的系数是84,则实数a等于(　　)
A.2　　B.　　C.1　　D.
8.(2024重庆八中月考)的展开式的第4项是　　　　.
9.(2025上海期中)已知(1+2024x)50+(2024-x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50,若ak<0,k∈{0,1,2,…,50},则实数k的最大值为　　　　.
10.(2024天津大学附属中学月考)已知(n∈N+)的展开式中,第7项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
题组三　求多项式展开式中的特定项及项的系数
11.(2025贵州贵阳开学考试)(x2+x+y)5的展开式中x3y3的系数是(　　)
A.5　　B.10　　C.20　　D.60
12.(2024福建莆田期末)在(x-1)(x+1)8的展开式中,x5的系数是(　　)
A.-14　　B.14　　C.-28　　D.28
能力提升练
题组一　展开式中的特定项及项的系数
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025湖北华中师范大学第一附属中学调研,)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3项的系数是(　　)
A.74　　B.121　　C.-74　　D.-121
2.(2024江西模拟,)(x-1)7的展开式中的常数项为(　　)
A.147　　B.-147　　C.63　　D.-63
3.(2025四川成都期中,)在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展开式中,含x2项的系数是(　　)
A.　　　　B.-1
C.-1　　　　D.1-
4.(2024河南模拟预测,)已知(其中a>0)的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项共有(　　)
A.6项　　　　B.5项
C.4项　　　　D.3项
5.(2024江西新余期末,)若(a+x)2(1-x)2023的展开式中x2024的系数为2025,则实数a=　　　　.
6.(2025江西模拟预测,)在(a-2b+1)·(2a-b)6的展开式中,a3b4的系数是　　　　.
题组二　二项式定理的应用
7.(2025贵州贵阳第三实验中学月考)十进制计数法简单易懂,方便人们进行计算.当然也可以用其他进制表示数,如十进制下,68÷7=9……5,9÷7=1……2,1÷7=0……1,将余数从下往上排列起来,68=1×72+2×71+5,所以用七进制表示68这个数就是125,个位数为5,那么用七进制表示十进制的611,其个位数是(　　)
A.6　　B.5　　C.2　　D.1
8.定义:两个正整数a,b,若它们除以正整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a≡b(modm),比如:35≡25(mod10).已知n=-10+102-103+…+1010,满足n≡p(mod7),则p可以是(　　)
A.44　　B.32　　C.35　　D.29
9.(2025四川绵阳开学考试)若(+1)99=x+y(x,y∈N+),则x2-2y2=　　　　.
10.(2024吉林BEST合作体期末)
(1)求(1-2x)15的展开式中含x2的项的系数;
(2)求9910除以1000的余数.
答案与分层梯度式解析
§4　二项式定理
4.1　二项式定理的推导
基础过关练
1.C　易知(a1+a2)(b1+b2+b3)的展开式中共有6项,
则乘积(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+…+cn)(n∈N+,n≥1)展开后共有6n项,因此可得6n=60,解得n=10.
2.B　(1+)4=()0+()1+()2+()3+()4=1+4+12+8+4=17+12=a+b,
则a=17,b=12,故a+b=17+12=29.
3.C　由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.
4.答案　5
解析　3n+3n-1+3n-2+…+×3+=3n×10+3n-1×11+3n-2×12+…+31×1n-1+30×1n=(3+1)n=4n=1024=210,即22n=210,解得n=5.
5.B　的二项式通项为Tr+1=x3-r=x3-3r(r=0,1,2,3),
令3-3r=0,得r=1,∴展开式中的常数项为=3,
∴t=3,∴直线l:4x+3y-1=0,
故点P(2,1)到直线l的距离为=2.
6.C　(3x-y)10的二项式通项为Tr+1=(3x)10-r(-y)r
=(-1)r310-rx10-ryr(r=0,1,2,…,10),
令r=9,得xy9的系数为(-1)9×3×=-30.
7.C　的二项式通项为
Tr+1=(2x)7-r=27-rarx7-2r(r=0,1,2,…,7),
令7-2r=-3,得r=5,
故展开式中的系数是22a5,则22a5=84,解得a=1.
8.答案　-20x2
解析　的二项式通项为Tr+1=x6-r
=(-1)r,r=0,1,…,6,
则展开式的第4项是T4=(-1)3=-20x2.
9.答案　23
解析　因为(1+2024x)50的展开式中xk的系数为2024k,
(2024-x)50的展开式中xk的系数为202450-k(-1)k,
所以(1+2024x)50+(2024-x)50的展开式中xk的系数为
2024k+202450-k(-1)k=2024k[1+202450-2k·(-1)k],
要使ak<0,需满足k为奇数,且202450-2k>1,
所以50-2k>0,解得k<25,
所以k的最大值为23.
10.解析　(1)的二项式通项为Tk+1=·=··,k=0,1,2,…,n,
∴T7=··xn-9,
∵第7项为常数项,∴n-9=0,∴n=9.
(2)由(1)知Tk+1=··,k=0,1,2,…,9,
要使Tk+1为有理项,只需为整数,
又k=0,1,2,…,9,
∴当k=0,2,4,6,8时,Tk+1为有理项,
则T1=··x9=,
T3=··x6=x6,
T5=··x3=x3,
T7=··x0=,
T9=··x-3=x-3,
∴有理项为,x6,x3,,x-3.
11.C　解法一:(x2+x+y)5的二项式通项为Tr+1=(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,3,4,5),令r=3,得T4=(x2+x)2y3=10(x4+2x3+x2)y3,故x3y3的系数为10×2=20.
解法二:(x2+x+y)5的展开式中含x3y3的项是5个多项式x2+x+y中取3个用y,取1个用x2,最后1个用x的积,即y3·x2·x=20x3y3,
所以(x2+x+y)5的展开式中x3y3的系数是20.
12.B　∵(x-1)(x+1)8=x(x+1)8-(x+1)8,
∴(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数等于(x+1)8的展开式中x4的系数减去x5的系数,
又(x+1)8的二项式通项为Tr+1=x8-r,
∴x5的系数是-=14.
能力提升练
1.D　在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项为(+++)·(-x)3,所以含x3项的系数是-(+++)=-(10+20+35+56)=-121.
2.C　(x-1)7的展开式中,含x2,x3的项分别为x2(-1)5,x3(-1)4,所以(x-1)7的展开式中的常数项为2(-1)5+3(-1)4=63.
3.C　(1+x)n的展开式中第(r+1)项为Tr+1=xr(r=0,1,2,…,n),∴(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2中含x2项的系数为++…+=+++…+-1=++…+-1=-1.
4.D　展开式中的第7项为T7=(x2)n-6
=(-a)6x2n-14,
由题意得2n-14=0,所以n=7,又由(-a)6=7(a>0),得a=1,则的二项式通项为
Tk+1=(-1)kx14-2k
=(-1)k,k=0,1,2,…,7,
令∈Z,则k=0,3,6,所以展开式中的有理项共有3项.
5.答案　-1
解析　因为(a+x)2=a2+2ax+x2,(1-x)2023的二项式通项为Tk+1=(-1)kxk,k=0,1,2,…,2023,
所以x2024的系数为2a×(-1)2023+1×(-1)2022=-2a+2023=2025,解得a=-1.
6.答案　380
解析　(2a-b)6的二项式通项为Tr+1=(2a)6-r(-b)r(r=0,1,2,…,6),
又(a-2b+1)(2a-b)6=a(2a-b)6-2b(2a-b)6+(2a-b)6,
a(2a-b)6中含a3b4的项为a(2a)6-4(-b)4=60a3b4,
-2b(2a-b)6中含a3b4的项为-2b(2a)6-3(-b)3=320a3b4,
(2a-b)6中不含a3b4项,
故a3b4的系数为60+320=380.
7.A　611=(7-1)11=711+710(-1)+…+72(-1)9+·71(-1)10+(-1)11,
且711+710(-1)+…+72(-1)9能被7整除,
71(-1)10+(-1)11=77-1=76,76=1×72+3×71+6,
故76在七进制下是136,其个位数为6.
8.A　n=-10+102-103+…+1010=(1-10)10=910=(7+2)10=710+79×2+78×22+…+7×29+210,
所以n除以7的余数是1024除以7的余数,为2.
选项中44除以7的余数是2,32除以7的余数是4,35除以7的余数是0,29除以7的余数是1,A符合题意.
9.答案　-1
解析　(+1)99=()99+()98+()97+…+()1+()0
=[()98+()96+…+()0]+[()99+·()97+…+()1]=x+y①,
则x=()98+()96+…+()0,
y=()99+()97+…+()1,
(-1)99=()99(-1)0+()98(-1)1+·()97(-1)2+…+()1(-1)98+()0(-1)99
=[()98(-1)1+()96(-1)3+…+()0·(-1)99]+[()99(-1)0+()97(-1)2+…+·()1(-1)98]
=-[()98+()96+…+()0]+[()99+()97+…+()1]
=-x+y②,
①×②得(+1)99×(-1)99=(x+y)×(-x+y),
即1=-x2+2y2,因此x2-2y2=-1.
10.解析　(1)(1-2x)15的二项式通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk,k=0,1,2,…,15,
令k=2,得T3=(-2)2x2=420x2,即含x2的项的系数为420.
(2)9910=(100-1)10=10010+1009(-1)1+…+100(-1)9+(-1)10=1020-1019+…-103+1
=1000(1017-1016+…-1)+1,
所以9910除以1000的余数为1.
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