(2025年中考数学押题练习)江苏省各地区中考真题重组卷(二)(含解析)

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(2025年中考数学押题练习)江苏省各地区中考真题重组卷(二)
一.选择题(共10小题)
1.(2024 淮安)下列实数中,比﹣2小的数是(  )
A.﹣1 B.0 C. D.﹣3
2.(2024 扬州)在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于坐标原点的对称点P′的坐标为(  )
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(1,2)
3.(2024 常州)若式子有意义,则实数x的值可能是(  )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
4.(2024 南通)2024年5月,财政部下达1582亿元资金,支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制.将“1582亿”用科学记数法表示为(  )
A.158.2×109 B.15.82×1010
C.1.582×1011 D.1.582×1012
5.(2024 无锡)《孙子算经》中有这样一个问题:“今有竿不知长短,度其影得一丈五尺.别立一表,长一尺五寸,影得五寸.问竿长几何?”意思是:今有竿不知其长短.在阳光下,将其垂直立于地面,测得影长为一丈五尺.同一时刻,测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸.问竿的长度是多少?(1丈=10尺;1尺=10寸).设竿的长度为x尺,则下列方程正确的是(  )
A. B.
C.x+15=1.5+0.5 D.x﹣15=1.5﹣0.5
6.(2024 南京)任意两个奇数的平方差总能(  )
A.被3整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被8整除
7.(2024 苏州)如图,点A为反比例函数y(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y(x>0)的图象交于点B,则的值为(  )
A. B. C. D.
8.(2024 无锡)如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=65°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时,∠BAC′的度数为(  )
A.65° B.70° C.80° D.85°
9.(2024 扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为(  )
A.676 B.674 C.1348 D.1350
10.(2024 连云港)已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是(  )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
二.填空题(共6小题)
11.(2022 无锡)分解因式:2a2﹣4a+2=    .
12.(2022 泰州)如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为     .
13.(2022 无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件:    .
14.(2022 南京)如图,四边形ABCD内接于⊙O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1:2:4,则∠D=    °.
15.(2022 徐州)如图,将矩形纸片ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,则AE=    .
16.(2022 扬州)如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为     .
三.解答题(共11小题)
17.(2022 宿迁)解方程:.
18.(2021 苏州)解方程组:.
19.(2022 盐城)先化简,再求值:(x+4)(x﹣4)+(x﹣3)2,其中x2﹣3x+1=0.
20.(2022 淮安)端午节前夕,某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子,两次进货时,两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋,总费用为7000元;第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋,总费用为8100元.
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元;
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时,每天可售出20袋,为了促销,该超市决定对B品牌粽子进行降价销售.经市场调研,若每袋的销售价每降低1元,则每天的销售量将增加5袋.当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时,每天售出B品牌粽子所获得的利润最大?最大利润是多少元?
21.(2022 无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值;
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?
22.(2022 镇江)一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球,这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出一个球,摸到红球的概率等于     ;
(2)搅匀后从中任意摸出一个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出一个球.用列表或画树状图的方法,求2次都摸到红球的概率.
23.(2022 无锡)如图,△ABC为锐角三角形.
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积为     .
24.(2022 苏州)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是的中点,CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点,且CF=EF.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长.
25.(2022 盐城)【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家,他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法.图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线.
在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形.延长IH和FG,交于点L,连接LC并延长交DE于点J,交AB于点K,延长DA交IL于点M.
(1)证明:AD=LC;
(2)证明:正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积;
(3)请利用(2)中的结论证明勾股定理.
【迁移拓展】
(4)如图2,四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形,探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB,使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和.若存在,作出满足条件的平行四边形ADEB(保留适当的作图痕迹);若不存在,请说明理由.
26.(2022 泰州)定义:对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d,我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3,n=1,试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,并说明理由;
(2)设函数y1=x﹣p﹣2与y2=﹣x+3p的图象相交于点P.
①若m+n>1,点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方,求p的取值范围;
②若p≠1,函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的m值,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
27.(2022 苏州)如图,二次函数y=﹣x2+2mx+2m+1(m是常数,且m>0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC,BD.
(1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求∠OBC的度数;
(2)若∠ACO=∠CBD,求m的值;
(3)若在第四象限内二次函数y=﹣x2+2mx+2m+1(m是常数,且m>0)的图象上,始终存在一点P,使得∠ACP=75°,请结合函数的图象,直接写出m的取值范围.
(2025年中考数学押题练习)江苏省各地区中考真题重组卷(二)
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C A D A B D B
一.选择题(共10小题)
1.(2024 淮安)下列实数中,比﹣2小的数是(  )
A.﹣1 B.0 C. D.﹣3
【解答】解:A.∵|﹣1|=1,|﹣2|=2,1<2,∴﹣1>﹣2,故不符合题意;
B.0>﹣2,故不符合题意;
C.2,故不符合题意;
D.∵|﹣3|=3,|﹣2|=2,3>2,∴﹣3<﹣2,故符合题意;
故选:D.
2.(2024 扬州)在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于坐标原点的对称点P′的坐标为(  )
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(1,2)
【解答】解:∵点P(1,2),
∴关于坐标原点的对称点P′的坐标为(﹣1,﹣2).
故选:A.
3.(2024 常州)若式子有意义,则实数x的值可能是(  )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【解答】解:∵式子有意义,
∴x﹣2≥0,
解得:x≥2,
则﹣1,0,1不符合题意,2符合题意,
故选:D.
4.(2024 南通)2024年5月,财政部下达1582亿元资金,支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制.将“1582亿”用科学记数法表示为(  )
A.158.2×109 B.15.82×1010
C.1.582×1011 D.1.582×1012
【解答】解:由题知,
1582亿=1582×108=1.582×103×108=1.582×1011.
故选:C.
5.(2024 无锡)《孙子算经》中有这样一个问题:“今有竿不知长短,度其影得一丈五尺.别立一表,长一尺五寸,影得五寸.问竿长几何?”意思是:今有竿不知其长短.在阳光下,将其垂直立于地面,测得影长为一丈五尺.同一时刻,测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸.问竿的长度是多少?(1丈=10尺;1尺=10寸).设竿的长度为x尺,则下列方程正确的是(  )
A. B.
C.x+15=1.5+0.5 D.x﹣15=1.5﹣0.5
【解答】解:根据题意得.
故选:A.
6.(2024 南京)任意两个奇数的平方差总能(  )
A.被3整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被8整除
【解答】解:设这两个奇数分别为:2m+1和2n+1,
(2m+1)2﹣(2n+1)2
=(2m+1+2n+1)(2m+1﹣2n﹣1)
=(2m+2n+2)(2m﹣2n)
=4(m+n+1)(m﹣n),
∵m﹣n或m+n+1必有一个为偶数,
(2m+1)2﹣(2n+1)2是8的倍数,
故选:D.
7.(2024 苏州)如图,点A为反比例函数y(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y(x>0)的图象交于点B,则的值为(  )
A. B. C. D.
【解答】解:作AG⊥x轴,垂足为G,BH⊥x轴,垂足为H,
∵点A在函数y图象上,点B在反比例函数y图象上,
∴S△AGO,S△BOH=2,
∵∠AOB=90°,
∴∠AOG=∠HBO,∠AGO=∠OHB,
∴△AGO∽△OHB,
∴,
∴.
故选:A.
8.(2024 无锡)如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=65°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时,∠BAC′的度数为(  )
A.65° B.70° C.80° D.85°
【解答】解:由旋转的性质可得出∠B′AC′=∠BAC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°﹣80°﹣65°=35°,
∴∠B′AC′=∠BAC=35°,
∴∠BAC′=∠BAC+∠B′AC′=70°,
故选:B.
9.(2024 扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为(  )
A.676 B.674 C.1348 D.1350
【解答】解:这列数为:1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数,
∵2024÷3=674…2,
即前2024个数共有674组,且余2个数,奇数有:674×2+2=1350(个),
故选:D.
10.(2024 连云港)已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是(  )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
【解答】解:∵顶点为(1,2),
∴,
∴b=﹣2a,
∵a<0,
∴b>0,
∵a+b+c=2,
∴c=2﹣a﹣b=2﹣a﹣(﹣2a)=2+a,
∴c无法判断,故①错误;
∵a<0,
∴抛物线开口向下,
∵对称轴为直线x=1,
∴当x>1时,y随x的增大而减小,故②正确;
∵b=﹣2a,c=2+a,
∴y=ax2﹣2ax+2+a,
∵当x=3时,y=0,
∴0=9a﹣6a+2+a,
∴a,故③正确;
∵y=ax2+bx+c=a(x﹣1)2+2,
∴将抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到y=a(x﹣1+1)2+2﹣2=ax2,故④错误;
故选:B.
二.填空题(共6小题)
11.(2022 无锡)分解因式:2a2﹣4a+2= 2(a﹣1)2  .
【解答】解:原式=2(a2﹣2a+1)
=2(a﹣1)2.
故答案为:2(a﹣1)2.
12.(2022 泰州)如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为    .
【解答】解:如图,第一步到①,第二步到②,
故走两步后的落点与出发点间的最短距离为,
故答案为:.
13.(2022 无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: m>3  .
【解答】解:∵把二次函数y=x2+4x+m=(x+2)2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,
∴平移后的解析式为:y=(x+2﹣3)2+m﹣4+1,
∴平移后的解析式为:y=x2﹣2x+m﹣2,
∴对称轴为直线x=1,
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,
∴Δ=4﹣4(m﹣2)<0,
∴m>3,
故答案为:m>3.
14.(2022 南京)如图,四边形ABCD内接于⊙O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1:2:4,则∠D= 72  °.
【解答】解:如图,延长ED到H,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=∠BAD+∠BCD=180°,
又∵∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1:2:4,
∴∠EAB,∠FBC,∠GCD,∠CDH的度数之比为1:2:4:3,
∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH=360°,
∴∠CDH=360°108°,
∴∠ADC=180°﹣108°=72°,
故答案为:72.
15.(2022 徐州)如图,将矩形纸片ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,则AE=   .
【解答】解:在矩形ABCD中,
∠A=∠D=90°,CD=AB=3,AD=BC=5,
由翻折变换的性质可知,FC=BC=5,EF=BE,
在Rt△CDF中,由勾股定理,得DF4,
∴AF=AD﹣DF=1,
设AE=x,则BE=EF=3﹣x,
在Rt△AEF中,由勾股定理,得EF2=AE2+AF2,
即(3﹣x)2=x2+12,
解得x,即AE,
故答案为:.
16.(2022 扬州)如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为  x<﹣1  .
【解答】解:由图象可得,
当x=﹣1时,y=3,该函数y随x的增大而减小,
∴不等式kx+b>3的解集为x<﹣1,
故答案为:x<﹣1.
三.解答题(共11小题)
17.(2022 宿迁)解方程:.
【解答】解:1,
2x=x﹣2+1,
x=﹣1,
经检验x=﹣1是原方程的解,
则原方程的解是x=﹣1.
18.(2021 苏州)解方程组:.
【解答】解:
由①式得y=3x+4,
代入②式得x﹣2(3x+4)=﹣3
解得x=﹣1
将x=﹣1代入②式得﹣1﹣2y=﹣3,得y=1
∴方程组解为
19.(2022 盐城)先化简,再求值:(x+4)(x﹣4)+(x﹣3)2,其中x2﹣3x+1=0.
【解答】解:原式=x2﹣16+x2﹣6x+9
=2x2﹣6x﹣7,
∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
∴2x2﹣6x=﹣2,
∴原式=﹣2﹣7=﹣9.
20.(2022 淮安)端午节前夕,某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子,两次进货时,两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋,总费用为7000元;第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋,总费用为8100元.
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元;
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时,每天可售出20袋,为了促销,该超市决定对B品牌粽子进行降价销售.经市场调研,若每袋的销售价每降低1元,则每天的销售量将增加5袋.当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时,每天售出B品牌粽子所获得的利润最大?最大利润是多少元?
【解答】解:(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元,B种品牌粽子每袋的进价是y元,
根据题意得,,
解得,
答:A种品牌粽子每袋的进价是25元,B种品牌粽子每袋的进价是30元;
(2)设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时,每天售出B品牌粽子所获得的利润最大,利润为w元,
根据题意得,w=(54﹣a﹣30)(20+5a)=﹣5a2+100a+480=﹣5(a﹣10)2+980,
∵﹣5<0,
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时,每天售出B品牌粽子所获得的利润最大,最大利润是980元.
21.(2022 无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值;
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?
【解答】解:(1)根据题意知:较大矩形的宽为2x m,长为(8﹣x) m,
∴(x+2x)×(8﹣x)=36,
解得x=2或x=6,
经检验,x=6时,3x=18>10不符合题意,舍去,
∴x=2,
答:此时x的值为2;
(2)设矩形养殖场的总面积是y m2,
∵墙的长度为10m,
∴0<x,
根据题意得:y=(x+2x)×(8﹣x)=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48,
∵﹣3<0,
∴当x时,y取最大值,最大值为﹣3×(4)2+48(m2),
答:当x时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为m2.
22.(2022 镇江)一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球,这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出一个球,摸到红球的概率等于    ;
(2)搅匀后从中任意摸出一个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出一个球.用列表或画树状图的方法,求2次都摸到红球的概率.
【解答】解:(1)搅匀后从中任意摸出一个球,摸到红球的概率等于,
故答案为:;
(2)画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中2次都摸到红球的结果有1种,
∴2次都摸到红球的概率为.
23.(2022 无锡)如图,△ABC为锐角三角形.
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积为    .
【解答】解:(1)如图1中,点D即为所求;
(2)过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ABH中,AB=2,∠B=60°,
∴BH=AB cos60°=1,AH=AB sin60°,
∴CH=BC﹣BH=2,
∵∠DAC=∠ACB,
∴AD∥BC,
∵AH⊥CB,CD⊥AD,
∴∠AHC=∠ADC=∠DCH=90°,
∴四边形AHCD是矩形,
∴AD=CH=2,
∴S四边形ABCD(2+3),
故答案为:.
24.(2022 苏州)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是的中点,CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点,且CF=EF.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长.
【解答】(1)证明:如图,连接OC,OD.
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵FC=FE,
∴∠FCE=∠FEC,
∵∠OED=∠FEC,
∴∠OED=∠FCE,
∵AB是直径,D是的中点,
∴∠DOE=90°,
∴∠OED+∠ODC=90°,
∴∠FCE+∠OCD=90°,即∠OCF=90°,
∵OC是半径,
∴CF是⊙O的切线.
(2)解:过点G作GH⊥AB于点H.
设OA=OD=OC=OB=r,则OF=r+2,
在Rt△COF中,42+r2=(r+2)2,
∴r=3,
∵GH⊥AB,
∴∠GHB=90°,
∵∠DOE=90°,
∴∠GHB=∠DOE,
∴GH∥DO,
∴,
∵G为BD的中点,
∴BGBD,
∴BHBO,GHOD,
∴AH=AB﹣BH=6,
∴AG.
25.(2022 盐城)【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家,他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法.图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线.
在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形.延长IH和FG,交于点L,连接LC并延长交DE于点J,交AB于点K,延长DA交IL于点M.
(1)证明:AD=LC;
(2)证明:正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积;
(3)请利用(2)中的结论证明勾股定理.
【迁移拓展】
(4)如图2,四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形,探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB,使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和.若存在,作出满足条件的平行四边形ADEB(保留适当的作图痕迹);若不存在,请说明理由.
【解答】(1)证明:如图1,连接HG,
∵四边形ACHI,ABED和BCGF是正方形,
∴AC=CH,BC=CG,∠ACH=∠BCG=90°,AB=AD,
∵∠ACB=90°,
∴∠GCH=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°,
∴∠GCH=∠ACB,
∴△ACB≌△HCG(SAS),
∴GH=AB=AD,
∵∠GCH=∠CHI=∠CGL=90°,
∴四边形CGLH是矩形,
∴CL=GH,
∴AD=LC;
(2)证明一:∵∠CAI=∠BAM=90°,
∴∠BAC=∠MAI,
∵AC=AI,∠ACB=∠I=90°,
∴△ABC≌△AMI(ASA),
由(1)知:△ACB≌△HCG,
∴△AMI≌△HGC,
∵四边形CGLH是矩形,
∴S△CHG=S△CHL,
∴S△AMI=S△CHL,
∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积;
证明二:∵四边形CGLH是矩形,
∴PH=PC,
∴∠CHG=∠LCH,
∴∠CAB=∠CHG=∠LCH,
∵∠ACH=90°,
∴∠ACK+∠LCH=90°,
∴∠ACK+∠CAK=90°,
∴∠AKC=90°,
∴∠AKC=∠BAD=90°,
∴DM∥LK,
∵AC∥LI,
∴四边形ACLM是平行四边形,
∵正方形ACHI的面积=AC CH, ACLH的面积=AC CH,
∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积;
(3)证明:由正方形ADEB可得AB∥DE,
又AD∥LC,
∴四边形ADJK是平行四边形,
由(2)知,四边形ACLM是平行四边形,
由(1)知:AD=LC,
∴ ADJK的面积= ACLM的面积=正方形ACHI,
延长EB交LG于Q,
同理有 KJEB的面积= CBQL的面积=正方形BFGC,
∴正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积= ADJK的面积+ KJEB的面积=正方形ADEB,
∴AC2+BC2=AB2;
(4)解:作图不唯一,如图2即为所求作的 ADEB.
说明:如图2,延长IH和FG交于点L,以A为圆心CL为半径画弧交IH于点M,在MA的延长线上取AD=AM,作 ADEB,作射线LC交AB于K,交DE于J,由图可知:射线LC把 ADEB分成 ADJK和 BKJE,根据同底等高可得: ADJK, AMLC, ACHI的面积相等,同理 BKKE, CBQL, BCGF的面积相等(Q是直线EB与FG的交点),所以平行四边形ADEB的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和.
26.(2022 泰州)定义:对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d,我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3,n=1,试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,并说明理由;
(2)设函数y1=x﹣p﹣2与y2=﹣x+3p的图象相交于点P.
①若m+n>1,点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方,求p的取值范围;
②若p≠1,函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的m值,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)函数y=5x+2是函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,理由如下:
∵3(x+1)+(2x﹣1)=3x+3+2x﹣1=5x+2,
∴y=5x+2=3(x+1)+(2x﹣1),
∴函数y=5x+2是函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”;
(2)①由得,
∴P(2p+1,p﹣1),
∵y1、y2的“组合函数”为y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p),
∴x=2p+1时,y=m(2p+1﹣p﹣2)+n(﹣2p﹣1+3p)=(p﹣1)(m+n),
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方,
∴p﹣1>(p﹣1)(m+n),
∴(p﹣1)(1﹣m﹣n)>0,
∵m+n>1,
∴1﹣m﹣n<0,
∴p﹣1<0,
∴p<1;
②存在m时,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,Q(3,0),理由如下:
由①知,P(2p+1,p﹣1),
∵函数y1、y2的“组合函数”y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p)图象经过点P,
∴p﹣1=m(2p+1﹣p﹣2)+n(﹣2p﹣1+3p),
∴(p﹣1)(1﹣m﹣n)=0,
∵p≠1,
∴1﹣m﹣n=0,有n=1﹣m,
∴y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p)=m(x﹣p﹣2)+(1﹣m)(﹣x+3p)=(2m﹣1)x+3p﹣(4p+2)m,
令y=0得(2m﹣1)x+3p﹣(4p+2)m=0,
变形整理得:(3﹣4m)p+(2m﹣1)x﹣2m=0,
∴当3﹣4m=0,即m时,x0,
∴x=3,
∴m时,“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,Q(3,0).
27.(2022 苏州)如图,二次函数y=﹣x2+2mx+2m+1(m是常数,且m>0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC,BD.
(1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求∠OBC的度数;
(2)若∠ACO=∠CBD,求m的值;
(3)若在第四象限内二次函数y=﹣x2+2mx+2m+1(m是常数,且m>0)的图象上,始终存在一点P,使得∠ACP=75°,请结合函数的图象,直接写出m的取值范围.
【解答】解:(1)当y=0时,﹣x2+2mx+2m+1=0,
解方程,得x1=﹣1,x2=2m+1,
∵点A在点B的左侧,且m>0,
∴A(﹣1,0),B(2m+1,0),
当x=0时,y=2m+1,
∴C(0,2m+1),
∴OB=OC=2m+1,
∵∠BOC=90°,
∴∠OBC=45°;
(2)如图1中,连接AE.
∵y=﹣x2+2mx+2m+1=﹣(x﹣m)2+(m+1)2,
∴D[m,(m+1)2],F(m,0),
∴DF=(m+1)2,OF=m,BF=m+1,
∵A,B关于对称轴对称,
∴AE=BE,
∴∠EAB=∠OBC=45°,
∵∠ACO=∠CBD,∠OCB=∠OBC,
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACE=∠DBF,
∵EF∥OC,
∴tan∠ACE,
∴m+1,
∴m=1或﹣1,
∵m>0,
∴m=1;
(3)如图,设PC交x轴于点Q.
当点P在第四象限时,点Q总是在点B的左侧,此时∠CQA>∠CBA,即∠CQA>45°,
∵∠ACQ=75°,
∴∠CAO<60°,
∴2m+1,
∴m,
又∵∠CAQ>15°,
同法可得m,
∵m>0,
∴0<m.
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