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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
4.2　二项式系数的性质
基础过关练
题组一　二项式系数的和与对称性
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024江苏无锡模拟预测)在(a+b)n的展开式中,若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和,则n=　(　　)
A.16　　B.15　　C.14　　D.13
2.计算++…+的值为(　　)
A.2048　　B.1024　　C.1023　　D.512
3.(多选题)(2025江苏宿迁期中)在的展开式中,下列说法正确的是(　　)
A.x的系数为10
B.第4项的二项式系数为10
C.没有常数项
D.各项系数的和为32
4.(2025山西五所学校教学质量检测)若的展开式的二项式系数之和为32,且x-2的系数为80,则实数a的值为　　　　.
5.(2025全国课后作业)已知(+)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数之和是第10项的二项式系数的2倍.
(1)求n的值;
(2)写出该二项式的展开式中所有的有理项.
题组二　二项式系数的增减性与最值
6.(2025广东江门月考)若的二项展开式中,第5项是二项式系数最大的项,则其展开式中的系数为(　　)
A.8　　B.28　　C.70　　D.252
7.(2025上海嘉定期中)在(1-2x)8的展开式中,系数最大的项为　　　　.
8.(2025上海交通大学附属中学月考)的展开式中仅有第5项系数最大,则它的展开式中的常数项为　　　　(用数字作答).
9.(2024四川内江月考)用二项式定理展开.
(1)求展开式中的常数项;
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.(用数字作答)
题组三　赋值法求系数和
10.(2024河北张家口月考)若(2-x)2023=a0+a1·(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a2023(x-2)2023,则a0-a1+a2-a3+…-a2023=(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1
11.(2025广东汕头澄海中学月考)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(　　)
A.40　　B.41　　C.-40　　D.-41
12.(多选题)(2025山东青岛期中)已知,则其展开式中(　　)
A.x4y-2的系数为15
B.各项系数之和为1
C.二项式系数最大的项是第3项
D.系数最大的项是第3项和第5项
13.(2025广东模拟)若(x+2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则=　　　　.
14.(2024广西贵港、百色、河池联考)在的展开式中,所有的二项式系数之和为64,则各项的系数的绝对值之和为　　　　.
15.(2025福建龙岩期中)已知(x-2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
(1)求a6的值;
(2)求a1+a2+a3+…+a10的值.
题组四　杨辉三角
16.(多选题)(2024湖南长沙第一中学月考)如图所示,在“杨辉三角”中,下列命题正确的是(　　)
A.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想:=+
B.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+++…+=2n
C.第20行中,第10个数最大
D.第15行中从左到右第7个数与第8个数的比为7∶9
17.(2025上海浦东期中)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家,杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角的部分内容的改写形式如图所示.
(1)求图中第11行的各数之和;
(2)从图中第2行开始,取每一行的第3个数,一直取到第100行的第3个数,求取出的所有数之和;
(3)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14 若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组一　二项式系数的性质及应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)(2025福建泉州模拟)已知(n∈N+)的展开式中共有8项,则下列结论正确的是(　　)
A.所有项的二项式系数之和为128
B.所有项的系数之和为
C.系数最大项为第2项
D.有理项共有4项
2.(2024安徽合肥期末)在的展开式中,二项式系数的和为64,把展开式中所有的项重新排成一列,奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
3.(多选题)已知的展开式中第2项与第3项的系数的绝对值之比为1∶8,则(　　)
A.n=4
B.展开式中所有项的系数之和为1
C.展开式中二项式系数之和为24
D.展开式中不含常数项
题组二　赋值法求系数和
4.(2024陕西模拟预测)若(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展开式中的各项系数和为243,则++…+=(　　)
A.32　　　　B.31　　
C.16　　　　D.15
5.(2024广东广州期中)已知(2+kx)·(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,其中a2=25,则a0+a2+a4+a6=(　　)
A.16　　B.32　　C.24　　D.48
6.(多选题)(2024辽宁新高考联盟月考)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有(　　)
A.a0=1　　　　
B.a6=14
C.a0+a1+…+a7=1　　　　
D.a1+a3+a5+a7=-364
7.(多选题)(2024山西模拟)已知函数f(x)=(4x-1)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则(　　)
A.a3=43
B.f(x)的展开式中,二项式系数的最大值为
C.a1+a2+a3+…+a12=312
D.f(5)的个位数字是1
题组三　杨辉三角问题
8.(多选题)(2024广东广州荔湾月考)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角,如图所示,这是数学史上的一个伟大成就.该图中的表蕴含着许多的数学规律,下列结论正确的是(　　)
A.+++…+=
B.111=11,112=121,……,115=15101051
C.从左往右逐行数,第2024项在第63行第8个
D.第5行到第10行的所有数字之和为2024
答案与分层梯度式解析
4.2　二项式系数的性质
基础过关练
1.D　由题意可得+=+,
则=,所以n+1=14,解得n=13.
2.C　由二项式系数的性质知++…++=(++…++)=×211=210,
∴++…+=210-=1024-1=1023.
3.BC　的二项式通项为Tr+1=(2x)5-r=25-rx5-r3-rx-r=25-r3-rx5-2r,r=0,1,2,3,4,5.
对于A,令5-2r=1,得r=2,则233-2x=x,∴x的系数为,A错误;
对于B,第4项的二项式系数为=10,B正确;
对于C,令5-2r=0,得r= N,∴展开式中无常数项,C正确;
对于D,令x=1,得≠32,∴各项系数的和不是32,D错误.
4.答案　-2
解析　因为的展开式的二项式系数之和为32,
所以2n=32,解得n=5.
的二项式通项为Tk+1=()5-k=(-a)k,k=0,1,2,3,4,5,
令=-2,得k=3,
所以x-2的系数为(-a)3=-10a3=80,解得a=-2.
5.解析　(1)(+)n(其中n<15)的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数分别是,,.
依题意得+=2,
即+=2·,
化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8),
即n2-37n+322=0,解得n=14或n=23.
因为n<15,所以n=14.
(2)由(1)知n=14,则(+)14的二项式通项为Tr+1==,0≤r≤14,r∈N.当是整数,即r是6的倍数时,该项是有理项,
所以展开式中的有理项共3项,分别是:
当r=0时,T1=x7=x7;
当r=6时,T7=x6=3003x6;
当r=12时,T13=x5=91x5.
6.D　因为第5项是二项式系数最大的项,即最大,
所以由二项式系数的性质可知,展开式中共9项,故n=8,
则=(3-x-1)8的二项式通项为
Tr+1=(3)8-r(-x-1)r=(-1)r38-r,r=0,1,2,…,8.
令=-5,得r=6,所以其展开式中的系数为×32=252.
7.答案　1792x6
解析　(1-2x)8的二项式通项为Tk+1=(-2x)k
=(-2)kxk,k=0,1,2,…,8,
其项的系数为(-2)k,故当k为偶数时,项的系数才有可能最大,
当k=0,2,4,6,8时,项的系数分别为1,112,1120,1792,256,故系数最大的项为1792x6.
8.答案　28
解析　的二项式通项为Tr+1=xn-r=,因为展开式中仅有第5项系数最大,
所以展开式共有9项,故n=8,
令8-r=0,解得r=6,
所以展开式中的常数项为=28.
9.解析　的二项式通项为Tr+1=(2x)12-r·=212-r,r=0,1,2,…,12.
(1)令12-=0,解得r=8,
则展开式中的常数项为T9=24=7920.
(2)设展开式中第(r+1)项的系数最大,则
解得≤r≤,
因为r∈N,所以r=4,所以展开式中系数最大的项的二项式系数为495.
解题模板　求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题.
10.D　令x=1,得(2-1)2023=a0+a1(1-2)+a2(1-2)2+a3·(1-2)3+…+a2023(1-2)2023,
所以a0-a1+a2-a3+…-a2023=12023=1.
11.B　令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1①,
令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=81②,
由得a4+a2+a0=41.
12.AD　的二项式通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-ry-r,r=0,1,2,…,6.
对于A,令6-r=4,则r=2,故x4y-2的系数为(-1)2=15,故A正确;
对于B,令x=y=1,则各项系数之和为=0,故B错误;
对于C,因为n=6,所以二项式系数最大项是第4项,故C错误;
对于D,由二项式通项可得展开式中各项的系数依次为1,-6,15,-20,15,-6,1,故系数最大项是第3项和第5项,故D正确.
13.答案　
解析　令x=1,得(1+2)5=243=a5+a4+a3+a2+a1+a0,
令x=-1,得(-1+2)5=1=-a5+a4-a3+a2-a1+a0,
则a5+a3+a1
=
==121,
a4+a2+a0
=
==122,
故=.
14.答案　729
解析　由题意得2n=64,∴n=6,
设的展开式中各项的系数为a0,a1,a2,…,a6,则各项的系数的绝对值之和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|,即为的展开式中各项的系数之和,
令x=1,得(1+2)6=36,
故各项的系数的绝对值之和为36=729.
15.解析　(1)(x-2)10的二项式通项为Tr+1=x10-r(-2)r(0≤r≤10,r∈N),
因为(x-2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
所以a6=(-2)4=3360.
(2)令x=0,则(-2)10=1024=a0,
令x=1,则(1-2)10=1=a0+a1+a2+…+a10,
因此a1+a2+…+a10=1-1024=-1023.
16.ABD　易知A,B正确;对于C,第20行的数是(i=0,1,2,…,20),最大的数是,而是第11个数,故C错误;
对于D,易知第n行从左到右第k个数是,则第15行中从左到右第7个数与第8个数分别是和,则==,故D正确.
17.解析　(1)题图中第11行的各数之和为+++…+=211=2048.
(2)题图中第2行到第100行,各行第3个数之和为
+++…+=+++…+=++…+===166650.
(3)存在,理由如下:
设第n行存在三个相邻的数,,,其中k,n∈N+,且k+1≤n,n≥2,
使得,,之比为3∶8∶14,则=,=,化简得=,=,
即解得
所以这三个数为=45,=120,=210.
能力提升练
1.AD　因为的展开式中共有8项,所以n=7.
对于A,所有项的二项式系数之和为27=128,故A正确;
对于B,令x=1,可得所有项的系数之和为≠,故B错误;
的二项式通项为Tr+1=x7-r=,r=0,1,2,…,7.
对于C,设第(r+1)项的系数最大,
则解得≤r≤,所以r=2,
所以第3项的系数最大,故C错误;
对于D,由7-为整数,且r=0,1,2,…,7可知,r的取值可以为0,2,4,6,所以有理项共有4项,故D正确.
2.A　在的展开式中,二项式系数的和为2n=64=26,所以n=6.
的二项式通项为Tr+1=(2)6-r=(-1)r26-rx3-r,r=0,1,2,…,6,
展开式共有7项,当r=0,2,4,6时,为奇次项,
把展开式中所有的项重新排成一列,奇次项都互不相邻,即把3个偶次项先任意排,再把这4个奇次项插入形成的4个空中,共有种排法,
故奇次项都互不相邻的概率为=.
3.AD　的二项式通项为Tr+1=··(-2x)r=(-2)rx2r-2n-1,
由题意得=,
即=,所以n=4,故A正确;
因为n=4,所以=,
令x=1,得所有项的系数之和为-1,故B错误;
二项式系数之和为+++…+=29,故C错误;
的二项式通项为Tr+1=(-2)rx2r-9,若Tr+1为常数项,则2r-9=0,解得r= N,所以不存在常数项,故D正确.
4.B　(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
令x=1,得a0+a1+a2+…+an=(2+1)n=243,解得n=5,
令x=0,得a0=1,
令x=,得a0+++…+==32,
所以++…+=31.
5.D　(1+x)5的二项式通项为Tr+1=xr(0≤r≤5且r∈N),
所以(2+kx)·(1+x)5的展开式中含x2的项为2x2+kxx=(20+5k)x2,
所以a2=20+5k=25,解得k=1,
所以(2+x)·(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3×25=96,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0,
所以a0+a2+a4+a6==48.
6.BC　令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7.
对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,因此A错误;
对于B,(2-t)7的二项式通项为Tr+1=27-r(-t)r=(-1)r27-rtr,r=0,1,…,7,
令r=6,则a6=(-1)6·2=14,因此B正确;
对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,因此C正确;
对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②,
由①②得a1+a3+a5+a7==-1093,因此D错误.
7.BD　对于A,(4x-1)12的二项式通项为Tr+1=(4x)12-r·(-1)r=(-1)r412-rx12-r,r=0,1,2,…,12,
令r=9,得T10=(-1)943x3=-43x3,所以a3=-43,故A错误;
对于B,n=12为偶数,所以二项式系数的最大值为,故B正确;
对于C,令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=312,故a1+a2+a3+…+a12=312-1,故C错误;
对于D,f(5)=(20-1)12,(20-1)12的二项式通项为Tk+1=2012-k(-1)k,k=0,1,2,…,12,
可知当k=0,1,2,…,11时,Tk+1均为20的倍数,即个位数为0,当k=12时,T13=1,所以f(5)的个位数字是1,故D正确.
8.AC　对于A,已知+=(m,n∈N+,m则+++…+=+++…+=++…+=…=+=,故A正确;
对于B,115=(1+10)5=15+×10+×102+×103+×104+105=1+50+1000+10000+50000+100000=161051,故B错误;
对于C,第n(n∈N)行共有(n+1)项,
从左往右逐行数,第n行最后一项对应的项数为1+2+3+…+n+(n+1)=,
因为=2016,且2024=2016+8,
所以从左往右逐行数,第2024项在第63行第8个,故C正确;
对于D,第n(n∈N)行所有项之和为++…+=2n,
所以第5行到第10行的所有数字之和为25+26+…+210=32+64+…+1024=2016,故D错误.
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